高中数学人教A版((2019)必修第二册第八章立体几何初步测试卷（Word版附解析）

这是一份高中数学人教A版((2019)必修第二册第八章立体几何初步测试卷（Word版附解析），共10页。
第八章　立体几何初步全卷满分150分　考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是(　　)A.多面体至少有3个面B.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.棱柱的侧棱相等,侧面是平行四边形2.若一个平面图形的直观图是边长为2的正三角形,则该平面图形的面积为　　(　　)A.64　　　　B.26　　　　C.24　　　　D.223.已知圆锥侧面展开图的圆心角为60°,底面圆的半径为8,则该圆锥的侧面积为(　　)A.384π　　　　B.392π　　　　C.398π　　　　D.404π4.圆台的上、下底面半径分别是r=1,R=4,且圆台的母线长为5,则该圆台的体积是(　　)A.30π　　　　B.28π　　　　C.25π　　　　D.24π5.已知一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长度分别为3 cm,2 cm和3 cm,则该三棱锥的外接球的体积为(　　)A.1233π cm3　　　　B.1633π cm3　　　　C.163π cm3　　　　D.323π cm36.在直三棱柱ABD-A1B1D1中,AB=AD=AA1,∠ABD=45°,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　)A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90°7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为96,点P为线段AA1的中点,若点D1∈平面α,且CP⊥平面α,则平面α截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形的周长为(　　)A.43+65　　　　B.63+45　　　　C.42+65　　　　D.62+458.如图,已知多面体ABCDFE的底面ABCD是边长为22的正方形,四边形ACFE为等腰梯形,平面ABCD⊥平面ACFE,且EF=12AC,AE=12AB,则该几何体外接球的表面积为(　　)A.12π　　　　B.16π　　　　C.20π　　　　D.24π二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径及高都与一个球的直径相等,已知球的直径为2R,则下列结论正确的是(　　)A.圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶210.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则下列四个命题中正确的是(　　)A.直线BC与平面ABC1D1所成的角为π4B.点C到平面ABC1D1的距离为22C.异面直线D1C和BC1所成的角为π4D.二面角C-BC1-D的余弦值为-3311.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F∥平面AED1,则(　　)A.点F的轨迹是一条线段B.直线A1F与BE可能相交C.直线A1F与D1E不可能平行D.三棱锥F-ABD1的体积为定值12.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,将△ADE,△CDF,△BEF分别沿DE,DF,EF折起,使A,B,C重合于点P,则下列结论正确的是(　　)A.PD⊥EFB.三棱锥P-DEF的外接球的体积为26πC.点P到平面DEF的距离为23D.二面角P-EF-D的余弦值为14三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.在四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,且AB=2.若PD与底面ABCD所成的角大于60°,则PB的长度的取值范围为　　　　. 14.下图是一个无盖的正方体盒子的展开图,A,B,C,D是展开图上的四点,则在正方体盒子中,AD与平面ABC所成角的正弦值为　　　　. 15.如图所示,在三棱柱A'AD-B'BC中,四边形ABCD和 AA'B'B都是矩形,平面 AA'B'B⊥平面ABCD.若 AA'=AD=2,则直线AB到平面DA'C 的距离为　　　. 16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3,AA1=1,点P为线段A1B上的一个动点.当P为A1B的中点时,三棱锥P-AA1D1外接球的表面积为　　　　　;当AP+D1P取最小值时,A1PPB=　　　　　. 四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)现需要设计一个仓库,由上下两部分组成,如图所示,上部分是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,求仓库的容积(含上下两部分);(2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6 m,当PO1为多少时,下部分正四棱柱的侧面积最大,最大面积是多少? 18.(12分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均相等,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥C1D;(2)求证:A1B∥平面AC1D;(3)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值. 19.(12分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2,∠A1AC=60°,A1B=6.(1)证明:平面A1ACC1⊥平面ABC;(2)求直线CC1到平面A1ABB1的距离. 20.(12分)如图,P为圆锥的顶点,AB,CD为底面圆中两条互相垂直的直径,E为PB的中点.(1)证明:平面PAB⊥平面PCD;(2)若AB=4,且直线CE与平面PCD所成角的正切值为55,求该圆锥的体积. 21.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,∠ADP=90°,平面ADP⊥平面ABCD,点F为棱PD的中点.(1)证明:平面FAC⊥平面PBD;(2)当二面角D-FC-B的余弦值为24时,求直线PB与平面ABCD所成的角. 22.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB,现将四边形ABEF沿EF折起,使BE⊥EC.(1)若BE=3,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出APPD的值;若不存在,说明理由.(2)求三棱锥A-CDF的体积的最大值,并求出此时点F到平面ACD的距离. 答案全解全析1.D　一个多面体至少有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项A错误;由图1知选项B错误;如图2,该几何体上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,但它不是正方体,故选项C错误;根据棱柱的定义,知选项D正确.故选D.图1　 图22.B　由斜二测画法可知直观图的面积是平面图形的面积的24.因为直观图是边长为2的正三角形,所以直观图的面积为34×22=3,所以平面图形的面积为324=26.故选B.3.A　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则r=8,由题意知,2πr=π3l,解得l=48,所以圆锥的侧面积为πrl=8×48π=384π.故选A.4.B　由题意得圆台的高为52-(4-1)2=4,则该圆台的体积是13π×(42+12+4×1)×4=28π.故选B.5.D　由题意可得,该三棱锥的外接球即长、宽、高分别为3 cm,2 cm和3 cm的长方体的外接球,该长方体的体对角线长为外接球的直径,所以外接球的半径R=32+22+(3)22=2,故外接球的体积V=43πR3=323π cm3.故选D.6.A　取BD的中点E,连接ED1,AE,易得PD1∥BE且PD1=BE,所以四边形BED1P为平行四边形,所以PB∥D1E,故∠AD1E(或其补角)为直线PB与AD1所成的角.设AB=AD=AA1=2,因为E为BD的中点,所以AE⊥BD,因为∠ABD=45°,所以AE=BE=22AB=2.易得AD1=AD2+DD12=22,D1E=DE2+DD12=6,因为AD12=AE2+D1E2,所以AE⊥D1E.故cos∠AD1E=D1EAD1=622=32,又0°26,所以PB的长度的取值范围为(26,+∞).14.答案　22解析　还原后的正方体如图所示.设A,B,D所在正方形余下的一个顶点为M.连接DM,则DM⊥平面ABC,故∠DAB为AD与平面ABC所成的角,易知∠DAB=45°,故AD与平面ABC所成角的正弦值为22.15.答案　2解析　取B'C的中点E,连接BE.因为四边形ABCD和AA'B'B都是矩形,所以AB⊥BC,AB⊥BB',又BC∩BB'=B,所以AB⊥平面BCB',又BE⊂平面BCB',所以AB⊥BE,又AB∥CD,所以CD⊥BE.因为AA'=AD,所以BC=BB',又E为B'C的中点,所以B'C⊥BE,又CD⊥BE,CD∩B'C=C,所以BE⊥平面DCB'A',所以直线AB到平面DA'C的距离即为BE的长.因为平面AA'B'B⊥平面ABCD,且平面AA'B'B∩平面ABCD=AB,BC⊥AB,所以BC⊥平面AA'B'B,又BB'⊂平面AA'B'B,所以BC⊥BB'.在Rt△BCB'中,BC=BB'=2,所以BE=2.16.答案　13π3;15解析　当P为A1B的中点时,取AA1的中点E,连接PE.∵四边形ABB1A1为矩形,∴PA=PA1,∴PE⊥AA1.又平面ABB1A1⊥平面ADD1A1,平面ABB1A1∩平面ADD1A1=AA1,PE⊂平面ABB1A1,∴PE⊥平面AA1D1.∵AA1⊥A1D1,∴△AA1D1的外接圆圆心为AD1的中点.设AD1的中点为G,三棱锥P-AA1D1的外接球的球心为O,连接OG,则OG⊥平面AA1D1.作OM⊥PE于M,连接EG,则四边形OMEG为矩形.设OG=h,OP=OD1=R,易得PA=PA1=12AB2+AA12=1,PE=32,EG=12A1D1=32,在Rt△OMP中,OP2=OM2+PM2,即R2=34+32-h2①,在Rt△OGD1中,OD12=D1G2+OG2,即R2=1+h2②,由①②可得R2=1312,∴三棱锥P-AA1D1的外接球的表面积S=4πR2=13π3.将平面AA1B和平面A1BCD1沿A1B展开,如图所示,则AP+D1P的最小值为AD1的长,此时P为AD1与A1B的交点.∵AA1=1,AB=3,AB⊥AA1,∴∠BA1A=π3,∴∠AA1D1=5π6,∴AD12=AA12+A1D12-2AA1·A1D1cos∠AA1D1=7,∴AD1=7.设AP=m,则D1P=7-m,∴1sin∠APA1=msinπ3,即sin∠APA1=32m,3sin∠A1PD1=7-msinπ2,即sin∠A1PD1=37-m.∵∠APA1+∠A1PD1=π,∴sin∠APA1=sin∠A1PD1,即32m=37-m,解得m=73,即AP=73,D1P=273,∴A1P=D1P2-A1D12=13,则PB=A1B-A1P=2-13=53,∴A1PPB=15.17.解析　(1)∵PO1=2 m,正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍,∴O1O=8 m.(1分)∴仓库的容积为13×62×2+62×8=312(m3).(4分)(2)连接A1O1,设PO1=x m,0