2023-2024学年浙江省杭州市萧山区七年级（下）5月月考数学试卷（含详解）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市萧山区七年级（下）5月月考数学试卷（含详解），共16页。

1．（3分）时间单位阿秒是目前已知的最小的时间单位，它是根据量子力学中的光子运动规律定义的，可以用来描述光子和其他微观粒子的运动和相互作用．已知1阿秒＝1×10﹣18，则60阿秒用科学记数法可表示为（ ）
A．6×10﹣17B．6×10﹣18C．0.6×10﹣17D．6×10﹣19
2．（3分）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝3B．3x﹣y＝2zC．D．
3．（3分）如图，下列说法正确的是（ ）
A．∠1和∠B是同位角B．∠2和∠3是内错角
C．∠3和∠4是对顶角D．∠B和∠4是同旁内角
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．2ax2﹣4ax＝2a（x2﹣2x）
B．﹣ax2+4ax﹣4a＝﹣a（x﹣2）2
C．x2+2xy+4y2＝（x+2y）2
D．﹣m2+n2＝（﹣m+n）（﹣m﹣n）
5．（3分）已知方程，用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，则■的内容可能是（ ）
A．4B．9x2C．9xD．9
7．（3分）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．36°B．54°C．82°D．72°
8．（3分）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有x只，则下列各值中x不能取的数是（ ）
A．4B．8C．12D．16
9．（3分）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…．若250＝x用含x的式子表示；250+251+252+…+299+2100，结果是（ ）
A．x2﹣2xB．2x2﹣2C．2x2﹣xD．x2﹣2
10．（3分）如图，AB∥CD，PG平分∠FPE，∠CFP+∠FPH＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；⑤若∠BEP＞∠DFP，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）用三角尺和直尺按如下4个步骤画出的直线b与已知直线a是平行的依据是： ．
12．（3分）计算：＝ ．
13．（3分）下表中每一对x，y的值都是二元一次方程ax﹣by＝2的一个解，则t的值为 ．
14．（3分）已知，则分式的值为 ．
15．（3分）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝45°，∠BCE＝10°，则∠CEF的度数为 ．
16．（3分）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B（A≥B），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“幸运数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“成功分解”．例如，因为575＝23×25，23和25的十位数字相同，个位数字之和为8；所以575是“幸运数”．
（1）最小的“幸运数”是 ；
（2）把一个“幸运数”M进行“成功分解”，即M＝A×B，A与B的和记为P（M），A与B的差记为Q（M），若能被9整除，则M的值为 ．
三.解答题（共8个小题，共72分）
17．（6分）如图，点P是∠ABC内一点．
（1）过点P画直线a平行AB，画直线b平行于BC；
（2）若∠ABC＝α°，请直接写出直线a，b的夹角度数．
18．（6分）先化简，然后从﹣1，1，﹣2，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
19．（8分）把下列各式分解因式：
（1）16x2﹣1；
（2）4a2+12ab+9b2；
（3）﹣ab+2a2b﹣a3b；
（4）（x2+4）2﹣16x2．
20．（8分）解方程或方程组
（1）；
（2）．
21．（10分）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
（1）＝ ；
（2）对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k＝ ；
（3）对于有理数x、y，若x+y＝10，x＝22，求的值．
22．（10分）如图，已知CD⊥AB，FH⊥AB，若∠FHC与∠EDC互补．
（1）请判断DE与BC的位置关系？并说明理由；
（2）若∠ADE＝2∠BHF，求∠DCB的度数．
23．（12分）根据信息，完成下列活动任务：
素材：商店通常用以下来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．
任务1：若a＝18，b＝30，求10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价．
任务2：在任务1的前提下，商店要使什锦糖的价格降低1元，则需加入哪一种糖，多少千克？
任务3：现有甲、乙两种什锦糖，均由A、B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的A，B两种糖果混合而成；乙种什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合而成，请选择合适的方法比较甲、乙两种什锦糖哪一种什锦糖的单价较高？
24．（12分）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DEF＝60°，∠DFE＝30°．
（1）若将三角尺△DEF如图①摆放，当ED平分∠PEF时，判断∠DFE与∠MFE的数量关系，并说明理由；
（2）若将三角尺△DEF和三角尺△ABC如图②摆放，△DEF的顶点D恰好在直线PQ上，三角尺△ABC的一边在直线MN上，且边EF与边AC在同一直线上，作∠QDF和∠DFA的平分线交于点H，求∠DHF的度数；
（3）若图②中三角尺△EDF固定，将三角尺△ABC绕点B逆时针旋转（如图③），旋转到边BC与直线MN首次重合时停止，在这旋转的过程中，请求出当三角尺△ABC的一边与三角尺△DEF的一边平行时∠ABN的度数．
参考答案
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．解：60阿秒＝60×10﹣18＝6×10﹣17（秒），
故选：A．
2．解：根据二元一次方程的定义，C是二元一次方程．
故选：C．
3．解：A．∠1和∠B不是同位角，原说法错误，故此选项不符合题意；
B．∠2和∠3是内错角，原说法正确，故此选项符合题意；
C．∠3和∠4是邻补角，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．∠B和∠4不是同旁内角，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．解：2ax2﹣4ax＝2a（x2﹣2x）＝2ax（x﹣2），
x2+2xy+4y2不是完全平方公式，
﹣m2+n2＝﹣（m+n）（m﹣n），
故选：B．
5．解：方程﹣＝5，
去分母得：3x﹣2y＝30，
移项得：﹣2y＝30﹣3x，
解得：y＝x﹣15，
故选：B．
6．解：当■表示4时，＝，它的值与原分式的值相等，则A不符合题意；
当■表示9x2时，＝，它的值是原分式的值的4倍，则B不符合题意；
当■表示9x时，＝，它的值是原分式的值的2倍，则C符合题意；
当■表示9时，＝，它的值与原分式的值相等，则D不符合题意；
故选：C．
7．解：∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠1＝36°，∠2＝∠BDE，
由折叠的性质得到：∠ADB＝∠BDE，
∵∠ADE＝180°＝36°＝144°，
∴∠BDE＝∠ADE＝72°，
∴∠2＝72°．
故选：D．
8．解：设公鸡x只，母鸡y只，则小鸡（100﹣x﹣y）只，由题意得，
5x+3y+＝100，
即7x+4y＝100，
由于x，y，100﹣x﹣y均为正整数，
所以方程7x+4y＝100的正整数解只有或或，
故选：D．
9．解：∵：2+22＝23﹣2，
2+22+23＝24﹣2，
22+22+23+24＝25﹣2．
…．
∴2+22+23+24+……+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+⋯⋯+299+2100
＝2+22+……2100﹣（2+22+⋯⋯+249）
＝2101﹣2﹣（250﹣2）
＝2101﹣250
＝2×（250）2﹣250
＝2x2﹣x，
故选：C．
10．解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，故①正确；
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误：
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠HPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠FDG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FDG
＝∠A+∠FPG+∠PHG﹣∠EPG
＝∠A+∠PHG，
∵AB∥PH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°，故④正确；
∵∠BEP﹣∠DFP＝∠EPH﹣∠FPH＝（EPG+∠GPH）﹣∠FPH＝∠FPG+∠GPH﹣∠FPH＝∠GPH+∠GPH＝2∠GPH，
∴＝2为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．解：用三角尺和直尺画出的直线b与已知直线a是平行的依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
12．解：原式＝1﹣＝，
故答案为：．
13．解：将x＝1，y＝0和x＝﹣2，y＝2分别代入ax﹣by＝2，
得，
解得，
∴该二元一次方程是2x+3y＝2，
将x＝3，y＝t代入2x+3y＝2，
得6+3t＝2，
解得t＝﹣．
故答案为：﹣．
14．解：∵＝＝3，
∴x+y＝3xy，
∴
＝
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
15．解：∵AB∥EF∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝45°，∠CEF+∠DCE＝180°，
∵∠BCE＝10°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝35°，
∴∠CEF＝145°．
故答案为：145°．
16．解：（1）∵自然数M的个位数字不为0，12×16＝192，13×15＝195，14×14＝196，当两个数的和一定时，差越大积越小，
所以根据“幸运数”的定义，可得最小的“幸运数”为M＝11×17＝187，
故答案为：187．
（2）由题意，设两位数A和B的十位数字均为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为（8﹣n），且m为1至9的自然数，
∴A＝10m+n，B＝10m+8﹣n，
∴P（M）＝A+B＝20m+8，
Q（M）＝A﹣B＝2n﹣8，
∵A≥B，自然数M的个位数字不为0，
∴n为7、6、5或者4．
∵Q（M）＝A﹣B＝2n﹣8≠0，
∴n为7或6或5，
∴，
∵能被9整除．
∴当n＝7时，
＝，
即能被9整除，因为m为1至9的自然数，
满足条件的整数m只能是5．
此时A＝57，B＝51，
M＝57×51＝2907；
当n＝6时，
，
即5m+2能被9整除，因为m为1至9的自然数，
满足条件的整数m只能是5．
此时A＝56，B＝52，
M＝56×52＝2912；
当n＝5时，
，
即10m+4能被9整除，因为m为1至9的自然数，
满足条件的整数m只能是5．
此时A＝55，B＝53，
M＝55×53＝2915；
故答案为：2907或2912或2915．
三.解答题（共8个小题，共72分）
17．解：（1）如图，直线a、b为所作；
（2）直线b交BA于E点，如图，
∵BC∥b，
∴∠AEP＝∠ABC＝α°，
∵BA∥a，
∴∠NPM＝∠AEP＝α°，
即直线a，b的夹角度数为α°．
18．解：原式＝•
＝•
＝，
∵x﹣2≠0且x+2≠0且x﹣1≠0，
∴在﹣1，1，﹣2，2中x只能取﹣1，
当x＝﹣1时，原式＝＝﹣．
19．解：（1）原式＝（4x+1）（4x﹣1）；
（2）原式＝（2a+3b）2；
（3）原式＝﹣ab（1﹣2a+a2）
＝﹣ab（1﹣a）2；
（4）原式＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）
＝（x+2）2（x﹣2）2．
20．解：（1）方程组整理得：，
②﹣①×2得：x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①得：﹣6+5y＝0，
解得：y＝，
则方程组的解为；
（2）去分母得：x﹣2（x﹣3）＝3，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：x﹣3＝0，
∴x＝3是增根，分式方程无解．
21．解：（1）根据新运算法则，可得：
＝12+（﹣1）2﹣2×3＝1+1﹣6＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）＝x2+（4y）2﹣kxy＝x2﹣kxy+16y2，
∵是一个完全平方式，
∴（x﹣4y）2＝x2﹣8xy+16y2，或（x+4y）2＝x2+8xy+16y2，
∴k＝8，或k＝﹣8
故答案为：8或﹣8；
（3）∵x+y＝10，x＝22，
∴y＝﹣12，
∴
＝（2x﹣y）2+y2﹣（3x﹣y）（x﹣y）
＝4x2﹣4xy+y2+y2﹣（3x2﹣4xy+y2）
＝4x2﹣4xy+y2+y2﹣3x2+4xy﹣y2
＝x2+y2
＝222+（﹣12）2
＝628．
22．解：（1）DE∥BC，理由如下：
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴∠CDB＝∠HFB＝90°，
∴CD∥FH，
∴∠FHC+∠HCD＝180°，
∵∠FHC与∠EDC互补，
即∠FHC+∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝∠HCD，
∴DE∥BC；
（2）∵CD∥FH，DE∥BC，
∴∠BHF＝∠DCB，∠ADE＝∠B，
∵∠ADE＝2∠BHF，
∴∠B＝2∠DCB，
∵∠CDB＝90°，
∴∠B+∠DCB＝90°，
∴∠DCB＝30°．
23．解：任务1：＝27（元/千克），
答：10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克；
（2）若加A种糖x千克，则＝27﹣1，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是这个方程的解；
若加B种y千克，则＝27﹣1，
解得：y＝﹣10，
经检验：y＝﹣10是原分式方程的解，当时y＝﹣10不合题意，舍去；
答：加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元；
（3）甲糖的价格为：，
乙糖果的价格为：＝，
∴﹣＝≥0，只有当a＝b时取等号，
∴当a≠b时，甲种糖果的价格高，当a＝b时，两种糖果的价格一样．
24．解：（1）∠DFE与∠MFE的数量关系是：∠DFE＝∠MFE，理由如下：
∵ED平分∠PEF，
∴∠PED＝∠DEF＝60°，
∴∠PEF＝∠PED+∠DEF＝120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MFE＝180°﹣∠PEF＝180°﹣120°＝60°，
∵∠DFE＝30°，
∴∠DFE＝∠MFE；
（2）过点H作HR∥PQ交DF于R，过点F作FL∥MN，如图2所示：
设∠QDH＝α，∠HFL＝β，
∵DH平分∠QDF，
∴∠QDH＝∠FDH＝α，∠QDF＝2∠QDH＝2α，
∵PQ∥MN，HR∥PQ，FL∥MN，
∴PQ∥HR∥FL∥MN，
∴∠DHR＝∠QDH＝α，∠RHF＝∠HFL＝β，∠LFA＝∠BAC＝45°，∠QDF+∠DFL＝180°，
∴∠HFA＝∠HFL+∠LFA＝β+45°，
∴∠DHF＝∠DHR+∠RHF＝α+β，
∵FH平分∠DFA，
∴∠DFH＝∠HFA＝β+45°，
∴∠DFL＝∠DFH+∠HFL＝β+45°+β＝2β+45°，
∴2α+2β+45°＝180°，
∴α+β＝67.5°，
∴∠DHF＝α+β＝67.5°；
（3）设EF的延长线交MN于K，
∵在原始状态下，边EF与边AC在同一直线上，
∴∠EKB＝∠BAC＝45°，
依题意，在旋转的过程中，△ABC的一边与三角尺△DEF的一边平行时，有以下四种情况：
①AC∥DE时，设AB交EF于点J，AC交EF于S，如图3①所示：
则∠ASJ＝∠DEF＝60°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BJK＝∠AJS＝180°﹣（∠ASJ+∠BAC）＝180°﹣（60°+45°）＝75°，
∴∠ABN＝180°﹣（∠BJK+∠EKB）＝180°﹣（75°+45°）＝60°；
②当BC∥EF时，如图3②所示：
则∠CBN+∠EKB＝180°，
∵∠EKB＝45°，
∴∠CBN＝180°﹣∠EKB＝180°﹣45°＝135°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABN＝∠CBN﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°；
③当AB∥DF时，沿DF交MN于T，如图3③所示：
则∠ABN＝∠FTK，
∵∠EKB＝45°，∠TFK＝∠DFE＝30°，
∴∠FTK＝180°﹣（∠EKB+∠TFK）＝180°﹣（45°+30°）＝105°，
∴∠ABN＝∠FTK＝105°；
④当AB∥EF时，如图3④所示：
则∠ABN+∠EKB＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣∠EKB＝180°﹣45°＝135°，
综上所述：∠ABN的度数为60°或90°或105°或135°．
x
1
﹣2
3
…
y
0
2
t
…