辽宁省抚顺市新抚区2023-2024学年八年级数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题【含解析】

这是一份辽宁省抚顺市新抚区2023-2024学年八年级数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题【含解析】，共24页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，8的平方根是等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列各数中为无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．若长度分别为的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．8
4．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有；其中正确的有( )
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
5．9的算术平方根是（ ）
A．3B．-3C．D．以上都对
6．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15B．18C．21D．24
7．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝( )
A．45°B．54°C．56°D．66°
8．在，0，，﹣，0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐渐增加1）这六个数中，无理数的个数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．8的平方根是（）
A．4B．±4C．2D．
10．在化简分式的过程中，开始出现错误的步骤是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为，…，第个正方形和第个直角三角形的面积之和为．
设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1）______．
（2）通过探究，用含的代数式表示，则______．
12．分解因式：x－x3＝____________．
13．命题“如果，则，”的逆命题为____________.
14．平面上有三条直线两两相交且不共点，那么平面上到此三条直线距离相等的点的个数是_____．
15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是_____cm1．
16．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+3的图象与x轴和y轴交于A、B两点将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′则直线A′B′的解析式是_____．
17．已知x2－2（m＋3）x＋9是一个完全平方式，则m＝____________．
18．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为_____cm时，线段CQ+PQ的和为最小．
三、解答题(共66分)
19．（10分）尺规作图：如图，已知．
（1）作的平分线；
（2）作边的垂直平分线，垂足为．(要求:不写作法，保留作图痕迹) ．
20．（6分）先化简,再求值:其中
21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）求证：BD=MN．
22．（8分）问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE的数量关系．
操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．
类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．
23．（8分）如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积.
24．（8分）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB＝QC；
（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．
25．（10分）如图1，已知直线AO与直线AC的表达式分别为：和．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）若点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，MN=OA，求点N的坐标；
（3）如图2，若点B在x轴正半轴上，当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，求∠ACO+∠BCO的大小．
26．（10分）如图，在中，，点是边上的动点，连接，以为斜边在的下方作等腰直角三角形．
（1）填空：的面积等于 ；
（2）连接，求证：是的平分线；
（3）点在边上，且， 当从点出发运动至点停止时，求点相应的运动路程．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】无理数就是无限循环小数，依据定义即可作出判断．
【详解】A．是有理数，不符合题意；
B． 是有理数，不符合题意；
C． 是无限不循环小数，是无理数，正确；
D．=2是整数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2、C
【分析】首先根据Rt△ABC的勾股定理得出AB的长度，根据AM=AC得出BM的长度，然后根据BN=BC得出BN的长度，从而根据MN=BN－BM得出答案．
【详解】∠ACB=90°，AC=40，CB=9
AB===41
又AM=AC，BN=BC
AM=40，BN=9
BM=AB-AM=41-40=1
MN=BN-BM=9-1=8
故选C
考点：勾股定理
3、C
【分析】根据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．
【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
由此可得，符合条件的只有选项C，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
4、B
【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．
【详解】解：①∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，
∴∠1=∠3，故本选项正确．
②∵∠2=30°，
∴∠1=90°-30°=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故本选项正确．
③∵∠2=30°，
∴∠3=90°-30°=60°，
∵∠B=45°，
∴BC不平行于AD，故本选项错误．
④由∠2=30°可得AC∥DE，从而可得∠4=∠C，故本选项正确．
故选B.
【点睛】
此题主要考查了学生对平行线判定与性质、余角和补角的理解和掌握，解答此题时要明确两种三角板各角的度数．
5、A
【分析】根据算术平方根的定义解答即可.
【详解】∵，
∴9的算术平方根是3，
故选：A.
【点睛】
此题考查算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数即是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键.
6、A
【分析】此题涉及的知识点是平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．
【详解】解：∵▱ABCD的周长为32，
∴2（BC+CD）=32，则BC+CD=1．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=2．
又∵点E是CD的中点，DE=CD，
∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=2+9=3，
即△DOE的周长为3．
故选A
【点睛】
此题重点考察学生对于平行四边形的性质的理解，三角形的中位线，平行四边形的对角对边性质是解题的关键．
7、D
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ABF，根据三角形的外角性质求出即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝42°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝48°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠ABD＝24°，
∴∠BFD＝∠BAD+∠ABF＝42°+24°＝66°，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟记概念与定理并准确识图．
8、A
【解析】根据无理数的定义对每个数进行判断即可．
【详解】在，1，，﹣，1．1111111111…（相邻两个1之间的1的个数逐渐增加1）这六个数中，无理数有：，1．1111111111…（相邻两个1之间的1的个数逐渐增加1）共2个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义以及判定方法是解题的关键．
9、D
【分析】直接根据平方根的定义进行解答即可解决问题．
【详解】∵(±2)2＝8，
∴8的平方根是±2．
故选D．
【点睛】
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10、B
【分析】根据题意直接将四选项与正确的解题步骤比较，即可知错误的步骤．
【详解】解：∵正确的解题步骤是：，
∴开始出现错误的步骤是．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分式的加减法，熟练掌握分式的加减法运算法则是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 （为整数）
【分析】根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．
【详解】解：（1）∵第一个正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是，
∴三角形的面积为，
∴S1=；
（2）∵第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，
∴S2=（）•，依此类推，S3=（）••，即S3=（）•，
Sn=（n为整数）．
故答案为：（1） ；（2）（为整数）
【点睛】
本题考查勾股定理的运用，正方形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．能够发现每一次得到的新的正方形和直角三角形的面积与原正方形和直角三角形的面积之间的关系是解题的关键．
12、x(1＋x)(1－x)
【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】x−x3＝x（1−x2）＝x（1−x）（1＋x）．故答案为x（1−x）（1＋x）．
【点睛】
本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键．
13、若，则
【分析】根据逆命题的定义即可求解.
【详解】命题“如果，则，”的逆命题为若，，则
故填：若，，则.
【点睛】
此题主要考查逆命题，解题的关键是熟知逆命题的定义.
14、1
【分析】根据角平分线性质的逆定理，结合三角形内角平分线和外角平分线作出图形即可解答．
【详解】解：到三条直线的距离相等的点应该有A、B、C、D共1个，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了角平分线性质的逆定理，掌握角平分线性质的逆定理是解题的关键．
15、1
【分析】根据30°的直角三角形，30°所对的边是斜边的一半，可得AC=1cm，进而求出阴影三角形的面积.
【详解】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴AC＝1cm，
∵∠AED=∠ACB＝90°，
∴BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝1cm．
故S△ACF＝×1×1＝1（cm1）．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了30°的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
16、
【分析】根据y＝x+3求出点A、B的坐标，得到OA、OB的值，即可求出点A′（0，4），B′（3，0），设直线A′B′的解析式为y＝kx+b，代入求值即可.
【详解】由＝x+3，当y=0时，得x=-4，∴（﹣4，0），
当x=0时，得y=3，∴B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴OA′＝OA＝4，OB′＝OB＝3，
∴A′（0，4），B′（3，0），
设直线A′B′的解析式为y＝kx+b，
∴．
解得．
∴直线A′B′的解析式是．
故答案为：．
【点睛】
此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，待定系数法求一次函数的解析式.
17、－6或1．
【解析】由题意得-2（m+3）=2,
所以解得m=－6或1.
18、1．
【分析】连接AQ，依据等边三角形的性质，即可得到CQ＝AQ，依据当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，即可得到BP的长．
【详解】如图，连接AQ，
∵等边△ABC中，BD为AC边上的中线，
∴BD垂直平分AC，
∴CQ＝AQ，
∴CQ+PQ＝AQ+PQ，
∴当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，
此时，P为BC的中点，
又∵等边△ABC的周长为18cm，
∴BP＝BC＝×6＝1cm，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三、解答题(共66分)
19、（1）图见解析；（2）图见解析
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法即可；
（2）根据线段垂直平分线的尺规作图方法即可．
【详解】（1）AF为∠BAC的平分线；
（2）MN为AC的垂直平分线，点E为垂足．
【点睛】
本题考查了角平分线及线段垂直平分线的尺规作图方法，解题的关键是掌握相应的尺规作图．
20、－2
【分析】先利用完全平方式展开化简，再将x,y的值代入求解即可.
【详解】解：原式＝（＋2x－2xy＋y－－y）
＝(－4xy＋2x)
＝－2x＋8y－4,
代入得该式＝－2.
【点睛】
本题主要考察整式化简，细心化简是解题关键.
21、见解析
【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AD与BC的关系，根据MD与NC的关系，可得证明结论；
（2）根据根据等边三角形的判定与性质，可得∠DNC的度数，根据三角形外角的性质，可得∠DBC的度数，根据正切函数，可得答案．
证明：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD=NC，MD∥NC，
∴MNCD是平行四边形；
（2）如图：连接ND，
∵MNCD是平行四边形，
∴MN=DC．
∵N是BC的中点，
∴BN=CN，
∵BC=2CD，∠C=60°，
∴△NCD是等边三角形．
∴ND=NC，∠DNC=60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，
∵DN=NC=NB，
∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，
∴∠BDC=90°．
∵tan，
∴DB=DC=MN．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数．
22、（1）AD＝DE，见解析；（2）AD＝DE，见解析；（3）见解析，△ADE是等边三角形，
【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明即可得解；
（2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明即可得解；
（3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.
【详解】（1）如下图，数量关系：AD＝DE.
证明：∵是等边三角形
∴AB＝BC，
∵DF∥AC
∴，∠BDF＝∠BCA
∴
∴是等边三角形，
∴DF＝BD
∵点D是BC的中点
∴BD＝CD
∴DF＝CD
∵CE是等边的外角平分线
∴
∵是等边三角形，点D是BC的中点
∴AD⊥BC
∴
∵
∴
在与中
∴
∴AD＝DE；
（2）结论：AD＝DE.
证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F
∵是等边三角形
∴AB＝BC，
∵DF∥AC
∴
∴
∴是等边三角形，
∴BF＝BD
∴AF＝DC
∵CE是等边的外角平分线
∴
∵∠ADC是的外角
∴
∵
∴∠FAD＝∠CDE
在与中
∴
∴AD＝DE；
（3）如下图，是等边三角形.
证明：∵
∴
∵CE平分
∴CE垂直平分AD
∴AE=DE
∵
∴是等边三角形.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.
23、1．
【解析】试题分析：由AB=4，BC=3，∠B=90°可得AC=2．可求得S△ABC；再由AC=2，AD=13，CD=4，可得△ACD为直角三角形，进而求得S△ACD，可求S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD．
解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，则有AC==2．
∴S△ABC=AB•BC=×4×3=3．
在△ACD中，AC=2，AD=13，CD=4．
∵AC2+CD2=22+42=139，AD2=132=139．
∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，
∴S△ACD=AC•CD=×2×4=6．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=3+6=1．
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．
24、（1）证明见解析；（2）1.
【分析】（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案；
（2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=110°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可 .直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴PB=QC；
（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，
∵∠APB=110°，
∴∠PQC=110°﹣60°=90°，
∵PB=QC，
∴QC=4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC==1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理 .证明△BAP≌△CAQ是解（1）的关键，证明∠PQC=90°是解（2）的关键 .
25、（1）A点的坐标为（4，2）；（2）N的坐标为（），（）；（3）∠ACO+∠BCO=45°
【分析】（1）利用直线AO与直线AC交点为A即可求解；
（2）先求出MN的长，再设设M的坐标为（a，2a-6），则则N的坐标为（a，），表示出MN的长度解方程即可；
（3）作∠GCO=∠BCO，把∠ACO+∠BCO转化成∠ACG。题目条件没出现具体角度，但结论又要求角度的，这个角度一定是一个特殊角，即∠ACG的度数一定是个特殊角；即∠ACG处于一个特殊的三角形中，于是有了作DE⊥GC的辅助线思路，运用勾股定理知识即可解答．
【详解】（1）联立和得：
解得
A点的坐标为（4，2）；
（2）∵A点的坐标为（4，2）
∴OA=，
∴MN=OA=2，
∵点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，
∴设M的坐标为（a，2a-6），则N的坐标为（a，），
则存在以下两种情况：
①当M在N点下方时，如图3，
则MN=-（2a-6）=2，解得a=，
∴N点的坐标为（）；
②当M在N点上方时，如图4，
则MN=（2a-6）-=2，解得a=，
∴N点的坐标为（）；
综上所述，N的坐标为（），（）
（3）∵△BOC与△AOC有相同的底边OC，
∴当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，△BOC的高OB的长度是△AOC的高的一半，
∴OB=2，
设直线AC与x轴的交点为点D，则D（3，0），
作点B关于y轴的对称点G，则OG=0B=2，GD=5，∠BCO=∠GCO，
则∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠GCO=∠ACG，
连接GC，作DE⊥GC于点E，如图5
由勾股定理可得：GC=，DC=，
在△CGD中，由等面积法可得：OC•DG=DE•GC，
可得DE=，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得EC=，
∴ED=EC，∴∠ECD=45°，即∠ACO+∠BCO=45°．
【点睛】
本题考查一次函数的综合运用，坐标结合勾股定理计算边长是解题的关键.
26、（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；
（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分线的判定证明；
（3）由（2）可知点E在∠ACB的平分线上，当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=，根据CD的长度计算出CE的长度即可．
【详解】解：（1）
∴，
故答案为：
（2）连接CE，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，
∴∠EMA=∠END=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠MEN=90°，
∴∠MED+∠DEN=90°，
∵△ADE是等腰直角三角形
∴∠AED=90°，AE=DE
∴∠AEM+∠MED=90°，
∴∠AEM=∠DEN
∴在△AEM与△DEN中，
∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE
∴△AEM≌△DEN（AAS）
∴ME=NE
∴点E在∠ACB的平分线上，
即是的平分线
（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，
∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，
∵△AEM≌△DEN
∴AM=DN，
即AC-CM=CN-CD
在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，
∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）
∴CM=CN
∴CN=，
又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，
∴CE=，
当AC=3，CD=CO=1时，
CE=
当AC=3，CD=CB=7时，
CE=
∴点E的运动路程为：，
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．