辽宁省锦州市新海新区实验学校2023年数学八年级第一学期期末达标测试试题【含解析】

这是一份辽宁省锦州市新海新区实验学校2023年数学八年级第一学期期末达标测试试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了若函数是正比例函数，则的值为，要使分式有意义，则的取值应满足等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图所示，OP平分，，，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（ ）．
A．B．PO平分
C．D．AB垂直平分OP
2．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事方法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去
3．等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则另两条边的长是（ ）
A．5、5B．2、8
C．5、5或2、8D．以上结果都不对
4．如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（ ）
A．7cmB．9cmC．9cm或12cmD．12cm
5．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．y2﹣2y+4＝（y﹣2）2
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
C．a（x+y）＝ax+ay
D．t2﹣16+3t＝（t+4）（t﹣4）+3t
6．若函数是正比例函数，则的值为（ ）
A．1B．0C．D．
7．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，那么的周长是（ ）
A．B．C．D．无法确定
8．要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF=1：4：4，则AO的长度是（ ）
A．10B．9C．D．
10．等腰三角形有一个外角是110°，则其顶角度数是（ ）
A．70°B．70°或40°C．40°D．110°或40°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块．
12．把“全等三角形对应角相等”改为“如果……那么……”的形式________________________．
13．如图，，，，在上分别找一点，当的周长最小时，的度数是_______．
14．若a﹣b＝6，ab＝2，则a2+b2＝_____．
15．计算的结果是 ______．
16．（2016湖南省株洲市）已知A、B、C、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌△COD．设直线AB的表达式为y1=k1x+b1，直线CD的表达式为y2=k2x+b2，则k1k2=______．
17．某童装店销售一种童鞋，每双售价80元．后来，童鞋的进价降低了4%，但售价未变，从而使童装店销售这种童鞋的利润提高了5%．这种童鞋原来每双进价是多少元？
（利润=售价-进价，利润率=）若设这种童鞋原来每双进价是x元，根据题意，可列方程为_________________________________________．
18．若实数，满足，则______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）在四边形中，，，是对角线，于点，于点
(1)如图1，求证：
(2)如图2，当时，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于四边形面积的．
20．（6分）如图，在中，，点为直线上一动点，连接，以为直角边作等腰直角三角形．
（1）如图1，若当点在线段上时（不与点重合），证明：；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
21．（6分）过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝10，EC＝，求EF的长．
22．（8分）（1）作图发现：
如图1，已知，小涵同学以、为边向外作等边和等边，连接，．这时他发现与的数量关系是 ．
（2）拓展探究：
如图2，已知，小涵同学以、为边向外作正方形和正方形，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，米，，则 米．
23．（8分）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
24．（8分）（1）如图①，直线经过正三角形的顶点，在直线上取两点、，使得，，求证：．
（2）将（1）中的直线绕着点逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置，并使，，通过观察或测量，猜想线段，与之间满足的数量关系，并予以证明．
25．（10分）如图，四边形ABCD中，，，，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止；点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ分原四边形为两个新四边形；则当P，Q同时出发_____秒后其中一个新四边形为平行四边形．
26．（10分）化简：
（1）；
（2）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB，再利用“HL”证明△AOP和△BOP全等，可得出，OA=OB，即可得出答案．
【详解】解：∵OP平分，，
∴，选项A正确；
在△AOP和△BOP中，
，
∴
∴，OA=OB，选项B，C正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．
2、C
【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
3、C
【分析】根据腰的情况分类讨论，再根据等腰三角形的周长求另两条边的长即可.
【详解】当腰长为1时，底长为：11﹣1×2＝2；2+1＞1，能构成三角形；
当底长为1时，腰长为：（11﹣1）÷2＝5；5+5＞1，能构成三角形．
故另两条边的长是5、5或2、1．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的定义和构成三角形的条件，根据等腰三角形腰的情况分类讨论和掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解决此题的关键.
4、D
【解析】因为题中没有说明已知两边哪个是底，哪个是腰，所以要分情况进行讨论．
【详解】解：当三边是2cm，2cm，5cm时，不符合三角形的三边关系；
当三角形的三边是5cm，5cm，2cm时，符合三角形的三边关系，
此时周长是5+5+2=12cm．
故选：D．
【点睛】
考查了等腰三角形的性质，此类题注意分情况讨论，还要看是否符合三角形的三边关系．
5、B
【解析】根据因式分解的意义，可得答案．
【详解】A．分解不正确，故A不符合题意；
B．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；
C．是整式的乘法，故C不符合题意；
D．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
6、A
【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的方程组，求出k的值即可．
【详解】∵函数y=（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，
∴，
解得：k=1．
故选A．
【点睛】
本题考查的是正比例函数的定义，即形如y=kx（k≠0）的函数叫正比例函数．
7、C
【分析】根据中垂线可得出AN=CN,即可将BC转换成AN+BN．
【详解】∵MN是AC的垂直平分线,
∴AN=CN,
∵AB=3,BC=13,
∴△ABN的周长=AB+AN+BN=AB+AN+BN=AB+BC=3+13=1．
故选C．
【点睛】
本题考查线段中垂线的计算,关键在于利用中垂线的性质转换线段的长度．
8、A
【分析】根据分式的分母不为0可得关于x的不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：要使分式有意义，则，所以．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，属于应知应会题型，熟知分式的分母不为0是解题的关键．
9、D
【分析】连接OA,OB,OC，由，设，根据得到AO为的角平分线，再根据得到，根据三线合一及勾股定理求出AD=8，再根据得到方程即可求解.
【详解】解：连接OA,OB,OC,由题意知：，设,
，
∴AO为的角平分线，又，
，
∴AD为△ABC的中线，∴BD=6
在,AD==8,
,
,
.
故选D
【点睛】
此题主要考查角平分线的判定及性质，解题的关键是熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式.
10、B
【分析】题目给出了一个外角等于110°，没说明是顶角还是底角的外角，所以要分两种情况进行讨论．
【详解】解：①当110°角为顶角的外角时，顶角为180°﹣110°＝70°；
②当110°为底角的外角时，底角为180°﹣110°＝70°，
顶角为180°﹣70°×2＝40°．
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第1块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
12、如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
【解析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．
解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，
结论是：对应角相等，
∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
13、140°
【分析】作点A关于CD、BC的对称点E、F，连接EF交CD、BC于点N、M，连接AN、MN、AM，此时的周长最小，先利用求出∠E+∠F=70，根据轴对称关系及三角形外角的性质即可求出∠AMN+∠ANM=2(∠E+∠F).
【详解】如图，作点A关于CD、BC的对称点E、F，连接EF交CD、BC于点N、M，连接AN、MN、AM，此时的周长最小，
∵，，
∴∠ABC=∠ADC=90，
∵,
∴∠BAD=110，
∴∠E+∠F=70，
∵∠AMN=∠F+∠FAM,∠F=∠FAM,∠ANM=∠E+∠EAN,∠E=∠EAN,
∴∠AMN+∠ANM=2(∠E+∠F)=140，
故答案为：140.
【点睛】
此题考查最短路径问题，轴对称的性质，三角形外角性质，四边形的内角和，正确理解将三角形的最短周长转化为最短路径问题来解决是解题的关键.
14、
【分析】将代数式化成用（a-b）与ab表示的形式，然后把已知代入即可求解．
【详解】a2+b2
把a﹣b＝6，ab＝2整体代入得：
原式
故答案是：
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握公式及公式的变形是解题的关键．
15、0
【分析】先计算绝对值、算术平方根，再计算减法即可得．
【详解】解：原式＝＝0，
【点睛】
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序与运算法则及算术平方根、绝对值性质．
16、1．
【详解】试题解析：设点A（0，a）、B（b，0），
∴OA=a，OB=-b，
∵△AOB≌△COD，
∴OC=a，OD=-b，
∴C（a，0），D（0，b），
∴k1=，k2=，
∴k1•k2=1，
【点睛】本题考查了两直线相交于平行，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
17、
【分析】由等量关系为利润=售价-进价，利润率=%，由题意可知童鞋原先的利润率+5%=进价降价后的利润率．
【详解】解：根据题意，得
；
故答案为：．
【点睛】
列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
18、1.5
【解析】根据非负数的性质列式求出m，n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得：
，
∴
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，解题的关键是利用非负性正确求值.
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）根据平行线的性质可得，然后根据AAS即可证得结论；
（2）由已知条件、直角三角形的性质和平行线的性质可依次得出∠BAE=30°，∠ABE＝60°，∠ADB＝30°，然后利用30°角的直角三角形的性质可得BE与AB，AE与AD的关系，进而可得△ABE的面积=四边形ABCD的面积，即得△CDF的面积与四边形ABCD的面积的关系；作EG⊥BC于G，由直角三角形的性质得出EG与AB的关系，进而可得△BCE的面积＝四边形ABCD的面积，同理可得△ADF的面积与四边形ABCD的面积的关系，问题即得解决．
【详解】（1）证明：，，
，，
，
≌（AAS），
；
（2）△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝四边形ABCD面积的．理由如下：
∵AD=BC，，DB=BD，∴△ADB≌△CBD，∴四边形ABCD的面积=2×△ABD的面积= AB×AD，
∵，∴∠BAE=30°，
∴∠ABE＝60°，∠ADB＝30°，
∴BE＝AB，AE＝AD，
∴△ABE的面积＝BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝四边形ABCD的面积；
∵△ABE≌△CDF，∴△CDF的面积═四边形ABCD的面积；
作EG⊥BC于G，如图所示：∵∠CBD＝∠ADB＝30°，∴EG＝BE＝×AB＝AB，
∴△BCE的面积＝BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝四边形ABCD的面积，
同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握30°角的直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20、（1）证明见解析；（2）CF=BD，CF⊥BD．理由见解析．
【分析】（1）根据已知条件证明∠CAF=∠BAD，即可得到△ACF≌△ABD；
（2）根据等腰三角形的性质证明∠CAF=∠BAD，证明△ACF≌△ABD，CF=BD，∠ACF=∠B，即可得结果；
【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，AD=AF，
∴∠CAF=∠BAD ，
在△ACF和△ABD中，
AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
（2）CF=BD，CF⊥BD． 理由如下：
∵△ADF是等腰直角三角形，
∴AD=AF，
∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD，
∴CF=BD，CF⊥BD．
【点睛】
本题主要考查了三角形知识点综合，准确根据全等证明是解题的关键．
21、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由矩形的性质可得∠ACB＝∠DAC，然后利用“ASA”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE＝OF，即可证四边形AECF是菱形；
（2）由菱形的性质可得：菱形AECF的面积＝EC×AB＝AC×EF，进而得到EF的长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，且AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵菱形AECF的面积＝EC×AB＝AC×EF，
又∵AB＝6，AC＝10，EC＝，
∴×6＝×10×EF，
解得EF＝．
【点睛】
考核知识点：菱形性质.理解性质是关键.
22、（1）BE=CD；（2）BE=CD，理由见解析；（3）200．
【分析】（1）利用等边三角形的性质得出，然后有，再利用SAS即可证明，则有；
（2）利用正方形的性质得出，然后有，再利用SAS即可证明，则有；
（3）根据前（2）问的启发，过作等腰直角，连接，，同样的方法证明，则有，在中利用勾股定理即可求出CD的值，则BE的值可求．
【详解】（1）如图1所示：
和都是等边三角形，
，
，
即，
在和中，
，
．
（2），
四边形和均为正方形，
，，，
，
在和中，
，
，
（3）如图3，
过作等腰直角，，
则米，，
米，
连接，，

∴
即
在和中，
，
，
，
，
在中，米，米，
根据勾股定理得：（米），
则米．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
23、（1）见解析；（2）68°
【分析】（1）根据条件即可证明△BDE≌△CEF，由全等三角形的性质得到DE=EF，即可得是等腰三角形；
（2）先求出∠B的值，由（1）知∠BDE=∠CEF，由外角定理可得∠DEF=∠B．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，则是等腰三角形；
（2）解：∵，，
∴∠B=∠C=，
由（1）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE=∠CEF，
∵∠DEC=∠BDE+∠B，
∴∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B，即∠BDE+∠DEF=∠BDE+∠B，
∴∠DEF=∠B=68°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及角度的转换．
24、（1）证明见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）通过等边三角形的性质和等量代换得出,利用AAS可证≌，则有，，则结论可证；
（2）通过等边三角形的性质和等量代换得出,利用AAS可证≌，则有，，则可以得出；
【详解】（1）∵在正三角形中，，
∴
又∵
∴
在和中，
∴≌()
∴，
∴
（2）猜想：
证明：∵在正三角形中，
∴
∵
∴
∴
在和中
∴≌()
∴，
∴
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
25、4或5
【分析】结合题意，根据平行四边形的性质，列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】设点P和点Q运动时间为t
∵，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止
∴点P运动时间秒
∵，点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止
∴点Q运动时间秒
∴点P和点Q运动时间
直线PQ分原四边形为两个新四边形，其中一个新四边形为平行四边形，分两种情况分析：
当四边形PDCQ为平行四边形时

结合题意得：，
∴
∴，且满足
当四边形APQB为平行四边形时

结合题意得：，
∴
∴，且满足
∴当P，Q同时出发秒4或5后其中一个新四边形为平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形、一元一次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、一元一次方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
26、（1）1；（2）
【分析】（1）根据平方差公式计算即可得解；
（2）先利用乘法公式进行计算，然后合并同类项即可得解.
【详解】（1）原式
（2）原式
.
【点睛】
本题考查了乘法公式和二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键.