陕西省西安市2024年中考数学一模试卷附答案

这是一份陕西省西安市2024年中考数学一模试卷附答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1． 抛物线y＝x2-2的顶点坐标是（ ）
A．（-2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，-2）
2． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（ ）
A．B．3C．D．
3． 下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4． 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝64cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．76cmB．（64+12）cm
C．（64+12）cmD．64cm
5． 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4，若⊙C与AB相离，则半径为r满足（ ）
A．r＞2B．r＜2C．0＜r＜2D．0＜r＜2
6．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
A．19B．17C．22D．20
7． 扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为135°，AB的长为30cm，贴纸部分的宽BD为20cm，则扇面面积为（ ）
A． cm2B．300πcm2C．600πcm2D．30πcm2
8． 若二次函数y＝x2+2x+3m-1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ）
A．m＞B．m＜2
C．m＜-2或m≥-D．≤m＜2
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9． 在△ABC中，若|sinA-|+（-csB）2＝0，则∠C的度数是 ．
10．在Rt△ABC中，若两直角边长为6cm、8cm，则它的外接圆的面积为 ．
11． 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的一部分经过点A（-1，0），且其对称轴是直线x＝2，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
12．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．
13． 已知抛物线C1：y＝2x2-4x-1，抛物线C2是由抛物线C1向右平移3个单位得到的，那我们可以得到抛物线C1和抛物线C2一定关于某条直线对称，则这条直线为 ．
14．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为 ．
三、解答题（共11小题，计78分．解答题应写出过程）
15． 计算：
（1）2cs60°+|1-2sin45°|+（）0．
（2）-tan60°．
16．如图，点P是⊙O外一点．请利用尺规过点P作⊙O的一条切线PE．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
17． 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）若P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数；
（2）已知△ADF的面积为，求⊙O的面积．
18．如图，在中，，，分别是边上的中线和高，，，求，的长．
19． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径．
20． 如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝127°．已知小华的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（参考数据：，）
21． 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m．按如图所示建立平面直角坐标系．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）有一条船以6km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
22． 如图所示，要在底边，BC＝160cm，高AD＝120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．
（1）设矩形EFGH的长HG＝y，宽HE＝x，确定y与x的函数关系式；
（2）设矩形EFGH的面积为S，当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？并求出最大值．
23．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
24． 已知抛物线y＝ax2+bx-4经过点A（-2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的左侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．
25． 问题发现
（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则△ABC面积的最大值为 ；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．
（3）问题解决
有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；若不存在，请说明理由．
答案
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】105°
10．【答案】25πcm2
11．【答案】x1＝-1，x2＝5
12．【答案】3π
13．【答案】
14．【答案】（-14，0）
15．【答案】（1）解：原式
＝
＝
＝.
（2）解：原式＝
＝
＝
＝-1．
16．【答案】解：如图，直线PE即为所求．
17．【答案】（1）解：如图所示，在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴，
∵AF＝AB，
∴∠APB＝∠APF＝30°，
∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝60°；
（2）解：∵∠AOF＝60°，AO＝FO，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠DAF＝60°；
∵，
∴△ADF是直角三角形.
∴DF=AF，AD＝2AF，
∴S△ADF=AF×DF= AF2 =，
∴AF＝2，
即⊙O的半径为2，
∴⊙O的面积＝π×22＝4π．
18．【答案】解：∵是的中线，
∴
∴
∴，
∵，
∴在Rt△ABC中，，
∴设，，
由勾股定理得：，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴的长为，的长为10．
19．【答案】（1）证明：∵∠P＝∠C，∠1＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD.
（2）解：连接OC，如图，
∵∠1＝30°，
∴∠P＝30°，
∵CD⊥AB，
∴，
∴∠BOC＝2∠P＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB＝BC＝3，
∴⊙O的直径为6．
20．【答案】解：过点E作EF⊥BD交BD的延长线于F，
设EF＝x米，
∵∠CDE＝127°，
∴∠DEF＝127°－90°＝37°，
在Rt△EDF中，tan∠DEF＝，
则DF＝EF•tan∠DEF≈x，
由题意得：∠ACB＝∠ECF，
∵∠ABC＝∠EFC＝90°，
∴△ABC∽△EFC，
∴，即，
解得：x＝22.4，
∴，
∴（米），
答：DE的长度约为28米．
21．【答案】（1）解：由题意得，B（20，0），C（5，3），
设抛物线解析式为y＝ax（x-20），
∴5a（5-20）＝3，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：船行驶到桥下的时间为：36÷6＝6小时，
水位上升的高度为：0.3×6＝1.8m．
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为（10，4），
∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为4-1.8＝2.2m＞2m，
∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．
22．【答案】（1）解：∵S△ABC＝S△AHG+S梯形BCGH，
∴，
化简得：；
（2）解：把代入S＝xy，
得：；
∵，0