青岛版九年级上册2.1 锐角三角比达标测试

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一、单选题
1．如图，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cs∠ADC=，则BD的长是( )
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】在直角△ACD中，根据cs∠ADC=得到 =，已知CD=3，从而求得AD、BC的长，结合BD=BC-CD即可求得BD的长.
【详解】在直角△ACD中，cs∠ADC= =，
∵CD=3，
∴AD=BC=5，
∴BD=5-3=2.
故选C.
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握余弦函数的定义.
2．中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据勾股定理求出a边的长，再运用三角函数的定义解答．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，b=3，c=5，
，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．如图，是的边上一点，且点的坐标为，则 )
A．B．45C．D．43
【答案】A
【分析】过点P作PQ⊥x轴于点Q，那么在直角△OPQ中，OQ=3，PQ=4，由勾股定理可得OP=5，再由余弦函数的定义得出csα的值.
【详解】解：过点P作PQ⊥x轴于点Q，则OQ=3，PQ=4，
在直角△OPQ中，由勾股定理，可得OP=5，
∴csα==.
故选A.
【点睛】本题主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式有机地和图形结合起来求解，并熟练运用三角函数求解.
4．中，，，，的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可．
【详解】在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，
∴＝=，
故选：C．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数是定义．
5．如图，在中，为上一点，且，过点作于，连结，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，设，，则，再利用平行线分线段成比例定理求出BC和AC，再利用线段的和差求出CE即可解答
【详解】解：在中，
∵，
∴设，则，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D.
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解题关键是学会利用参数解决问题．
6．如图，网格的小正方形边长为1，△ABC在网格中，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作AD⊥BC交BC延长线于D，解Rt△ABD，先由勾股定理得出AB=5，再根据三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：作AD⊥BC交BC延长线于D，如图所示：
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD=3，BD=4，
∴AB===5，
∴cs∠ABC==．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．
7．如图，在中，，，，将沿方向平移得到，若平分，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】，从而，，，在中，，设，则，，再证，由，求解得，从而即可得解．
【详解】解：由平移得：，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
∴设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，角平分线的定义，正切，勾股定理以及等腰三角形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
8．在如图的正方形网格中，sin ∠AOB的值为( )
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】先在∠AOB的两边上找出两点C、D，使△DOC构成直角三角形，再根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长，由锐角三角函数的定义即可求出sin∠AOB的值．
【详解】由图可知连接C、D两点，此时△DOC恰好构成直角三角形，
设正方形网格的边长为1，则CD=2，OD=1，OC=,
由锐角三角函数的定义可知：sin∠AOB=.
故选D.
【点睛】考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知正方形网格的特点，能在∠AOB的边上找出两点使△DOC恰好构成直角三角形是解答此题的关键．
9．在中，，若，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图在中，，
，，
∴，
∴．故选B.
【点睛】本题主要考查三角函数，解决此类问题主要是根据已知画出图形，然后根据图形进行解答，熟练掌握勾股定理、三角函数等知识是解题的关键.
10．如图，在中，，，将绕顶点C旋转得到，且使得恰好落在AB边上，与AC交于点D，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图（见解析），设，先根据余弦三角函数得出BE的长，再根据等腰三角形的三线合一可得的长，从而可得的长，然后根据旋转的性质可得，，最后根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点C作于点E
在中，，
可设，则，
是等腰三角形
（等腰三角形的三线合一）
由旋转的性质可知，，
在中，，即
解得
在和中，
故选：B．

【点睛】本题考查了余弦三角函数、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点，通过作辅助线，运用余弦三角函数求出BE的长是解题关键．
二、填空题
11．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，则sinB等于 ．
【答案】/0.75
【分析】根据正弦函数的定义“在直角三角形中，任意一锐角的对边比斜边的比叫做这个角的正弦”进行解答即可得．
【详解】解：在中，，AC=6，AB=8，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是熟记正弦函数的定义．
12．在边长为1的正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则csA＝ ．
【答案】
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于D．利用勾股定理求出AC即可解决问题.
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于D．
在RtACD中，根据勾股定理得AC＝＝5，
csA＝＝，
故答案为:．
【点睛】本题考查了余弦的求值，构造直角三角形正确表示角的余弦是解题的关键.
13．如图，已知中，斜边上的高，，则 ．
【答案】3
【分析】根据题意可得，即可得出，则，求出，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵为直角三角形，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，解题的关键是掌握等角的三角函数值相等．
14．在等腰中，，点D在线段上，且，若，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的三线合一、相似三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．分别过点作的垂线，垂足分别为点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再设，则，，根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后在中，根据正切的定义可得，最后在中，根据正切的定义求解即可得．
【详解】解：如图，分别过点作的垂线，垂足分别为点，
则，
∴，
∴，
设，则，，
∵在等腰中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
故答案为：2．
15．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m， m）（m为非负数），则CA+CB的最小值是 ．
【答案】2
【详解】如图，作点A关于直线OC的对称点A′，连接A′B，则A′B的值就是CA+CB的最小值，
过点A′作A′F⊥x轴，垂足为F，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，
∵点C的坐标为（m，3 m）（m为非负数），.
∴OM=m，CM=m，
∵∠CMO=90°，∴tan∠COM==，∴∠COM=60°，
∵点A关于直线OC的对称点A′，
∴∠A′OC=∠COM=60°，
∴∠A′OF=60°，
∵OA′=OA=2，
∴OF=1，A′F=，
∵OB=4，BF=OB+OF，∴BF=5，
∴A′B=，
即AC+BC的最小值为2，
故答案为2.
三、解答题
16．如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值．
【答案】，，．
【分析】根据直线的图像，首先求出与坐标轴的两个交点坐标，根据勾股定理求得两交点之间的距离，进一步利用锐角三角函数的定义求出三角函数值即可．
【详解】解：如图，
直线的图象与x轴的交点A为（，0），即OA=；
与y轴的交点B为（0，5），即OB=5；
则AB==；
===，
，
．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点以及锐角三角函数的定义．
17．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠ABC＝90°，且tan∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，连接CD，使CD＝，直接写出线段DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，
【分析】（1）依题意，根据网格的特点，作且tan∠ACB＝，则作，连接，则即为所求，
（2）根据网格的特点可得，，EF为直角边作直角三角形,使，连接CD，使CD＝，则即为所求，网格的特点求得即可．
【详解】（1）如图，作则作，
tan∠ACB＝，连接，则即为所求，
（2）如图，，EF为直角边作直角三角形,使
连接CD，使CD＝，则即为所求，
．
【点睛】本题考查了网格作直角三角形，正切的定义，勾股定理，利用网格的特点和勾股定理是解题的关键．
18．如图，在ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=．
（1）求AB边上的高CD；
（2）求ABC的面积S；
（3）求tanB．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）如图（见解析），根据正弦三角函数的定义即可得；
（2）根据（1）的结论，利用三角形的面积公式即可得；
（3）先根据勾股定理可得的长，再根据线段的和差可得的长，然后根据正切三角函数的定义即可得．
【详解】解：（1）如图，，，
；
（2），
；
（3）在中，，
，
．
【点睛】本题考查了求三角函数值，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
19．已知梯形中，，，，，是线段上一点，连接．
(1)如图1，如果，且，求的正切值；
(2)如图2，如果，且，求的长；
(3)如果，且是等腰三角形，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)的面积是、或19225
【分析】（1）延长、，交于点，根据求出，最后根据求解即可；
（2）延长、，交于点，过点作于点，根据求出，
再由可得，设，则，
代入后列方程求解即可；
（3）分、、三种情况分别求解即可．
【详解】（1）延长、，交于点
∵，
∴
∵，，
∴
中，

（2）延长、，交于点，过点作于点，则

∵，，，
∴
∵，，
∴
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴
（3）时，过点作于点，则是中点，

∴是的中点，
∵，∴，
中，
时，，，
过点作于点，
，
∴，
∴，
∴
∴
时，过点作于点，延长交于点，则，

∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴的面积是、或19225．
【点睛】本题考查梯形、锐角三角函数、平行线分线段成比例，熟记常用的梯形辅助线是解题的关键．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5.
(1)求AB的长；
(2)求sinA、csA、sinB、csB的值；
(3)试比较sinA，csB的大小.
【答案】(1)13 ；(2) sinA=、csA=、sinB=、csB=；(3) sinA=csB.
【详解】试题分析：（1）根据勾股定理即可求解；
（2）按正弦、余弦函数的定义进行求解即可；
（3）根据（2）中的结果进行比较即可.
试题解析：（1）∵∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴AB==13；
（2）∵∠C=90°，
∴sinA==、csA==、sinB==、csB==；
（3）由（2）中的结果可知sinA=csB.