人教版数学九上 第二十三章综合素质评价试卷

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第二十三章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．将如图所示的圆形图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是(　　)　 　2．[2023青岛]生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是(　　)3．已知点A(a，－2)，B(3，b)关于原点对称，则a－b的值为(　　) A．3 B．－1 C．－5 D．－34．[2024菏泽三模]如图，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转α，得到△AB′C′．若点B′恰好在线段BC的延长线上，且∠AB′C′＝40°，则旋转角α的度数为(　　) A．60° B．70° C．100° D．110° (第4题) 　(第5题) 　 (第6题) 　(第7题)5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于点M(0，－1)成中心对称．已知点B的坐标为(－2，2)，则点B1的坐标是(　　) A．(2，－2) B．(1，－3) C．(4，－2) D．(2，－4)6．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂灰，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，则该小正方形的序号是(　　) A．① B．② C．③ D．④7．如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定角度后得到△A′B′C′，则旋转中心是(　　) A．点O B．点Q C．点P D．点M8．[2023日照期中]函数y＝－2x＋4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，线段AB绕点B旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为(　　) A．(6，2)或(－2，－2) B．(4，－2) C．(4，2) D．(－4，2)或(4，6)9．[2023泰州]菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为(　　) A．3－eq \r(3) B．2－eq \r(3) C．eq \r(3)－1 D．2 eq \r(3)－210．如图，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n－1A2nB2n(n是正整数)的顶点A2n的坐标是(　　) A．(4n－1，－eq \r(3)) B．(4n－1，eq \r(3)) C．(4n＋1，－eq \r(3)) D．(4n＋1，eq \r(3)) (第10题) (第12题) (第13题)二、填空题(每题3分，共18分)11．[2023温州期中]点(1，－2)关于原点的对称点的坐标为________．12．如图可以看作“ ”绕中心旋转________次，每次旋转________度得到的．13．如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，ED是△ABC的中位线，E′D′是△A′B′C′的中位线，已知BC＝4，则E′D′＝________．14．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，2)，将线段AB绕原点O顺时针旋转90°得到线段CD，线段CD的中点M恰好落在抛物线y＝ax2上，则a＝________． (第14题) 　(第15题) 　(第16题)15．如图，在平面直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为________．16．[2023绥化]如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是________．三、解答题(共72分)17．(6分)如图，四边形ABCD是正方形，△ADF绕旋转中心顺时针旋转一定角度后得到△ABE，点E落在AD上，AF＝2，AB＝5．(1)旋转中心是点________，旋转角度是________．(2)求DE的长度．18．(8分)如图，已知方格纸中有A，B，C三个格点，求作一个以A，B，C为顶点的格点四边形． (1)在图①中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；(2)在图②中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形．19．(10分)[2023宜昌]如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．(1)画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；(2)画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是点C；(3)填空：∠OCB的度数为________．20．(10分)[2023开封期末]如图，△ABC经过某种变换后得到△DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，请观察它们之间的关系，完成以下问题：(1)请分别写出点A，D的坐标：A________，D________；(2)若△ABC内任意一点M的坐标是(x，y)，点M经过这种变换后得到点N，则点N的坐标是________；(3)在上述变换情况下，点P(a＋3，－b＋6)与点Q(2b－3，－2a)为对应点，求a＋b的值． 21．(12分)如图，已知▱ABCD的对称中心在原点O，且A(－2，1)，B(－3，－2)．(1)求点C，D的坐标；(2)求▱ABCD的面积． 22．(12分)[2023甘孜州]如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3 eq \r(2)，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．(1)求证：△CAD≌△CBE；(2)若AD＝2，求CE的长；(3)点D在AB上运动时，试探究AD2＋BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 23．(14分) [2023贵州]如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B．(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为________度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系．答案一、1．D　2．D　3．C　4．C　5．D　6．B　7．C 8．D【解析】当y＝0时，－2x＋4＝0，解得x＝2，∴点A的坐标为(2，0)．∴OA＝2．当x＝0时，y＝－2×0＋4＝4，∴点B的坐标为(0，4)．∴OB＝4．如图，将△OAB绕点B顺时针旋转90°得到△O″CB．由旋转知O″B＝OB＝4，O″C＝OA＝2，∴易得点C的坐标为(－4，2)．将△OAB绕点B逆时针旋转90°得到△O′C′B，由旋转知O′B＝OB＝4，O′C′＝OA＝2，∴易得点C′的坐标为(4，6)．综上所述，点C的坐标为(－4，2)或(4，6)．9．A【解析】如图，将菱形ABCD绕顶点A在平面内顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，连接AC，BD，AC与BD相交于点O，BC与C′D′交于点E，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴∠CAB＝∠CAD＝∠ACB＝30°，∠ADC＝120°，AC⊥BD，AO＝CO．∵AB＝2，∴OB＝1．∴AO＝eq \r(3)．∴AC＝2 eq \r(3)．由旋转得∠D′AD＝30°，∠AD′C′＝∠ADC＝120°，AD′＝AD＝2，∴A，D′，C三点共线．∴CD′＝CA－AD′＝2 eq \r(3)－2．∵∠ACB＝30°，∠AD′C′＝120°，∴∠D′EC＝90°．∴D′E＝eq \r(3)－1．∴CE＝3－eq \r(3)．∴S重叠＝S△ABC－S△D′EC＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×1－eq \f(1,2)×(eq \r(3)－1)×(3－eq \r(3))＝3－eq \r(3)．将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同理可得重叠部分的面积为3－eq \r(3)．∴重叠部分的面积为3－eq \r(3)．10．A【解析】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴易得点A1的坐标为(1，eq \r(3))，点B1的坐标为(2，0)．∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称．∴易得点A2的横坐标为3，纵坐标为－eq \r(3)．同理可得点A3的横坐标是5，纵坐标是eq \r(3)．点A4的横坐标是7，纵坐标是－eq \r(3)，…．∴A2n的横坐标是2×2n－1＝4n－1，A2n的纵坐标是－eq \r(3)．∴顶点A2n的坐标是(4n－1，－eq \r(3))二、11．(－1，2)　12．3；90　13．214．－2【解析】∵A(4，0)，B(0，2)，将线段AB绕原点O顺时针旋转90°得到线段CD，∴易得C(0，－4)，D(2，0)．∵M是线段CD的中点，∴M(1，－2)．∵M恰好落在抛物线y＝ax2上，∴a＝－2．15．(－eq \r(2)，eq \r(6)＋1)【解析】如图，连接OB，OB′，过点B′作B′M⊥y轴．∵四边形ABCO是正方形，OA＝2，∴∠COB＝45°，OB＝2 eq \r(2)．∵绕原点O逆时针旋转75°，∴∠BOB′＝75°．∴∠COB′＝30°．∵OB′＝OB＝2 eq \r(2)，∴MB′＝eq \r(2)．∴MO＝eq \r(6)．∴点B′的坐标为(－eq \r(2)，eq \r(6))．∵沿y轴方向向上平移1个单位长度，∴B″(－eq \r(2)，eq \r(6)＋1)．16．3＋3 eq \r(3)【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠BCA＝60°．由旋转得∠ECF＝60°，CE＝CF，∴∠BCE＝60°－∠ECA＝∠ACF．∴△BCE≌△ACF(SAS)．∴∠CAF＝∠CBE．∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CAF＝∠CBE＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°，CD＝eq \f(1,2)AC＝3．如图，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，GH＝CG＝eq \f(1,2)AC＝3．∴CH＝6＝AC．∴△ACH为等边三角形．易得DH＝3 eq \r(3)，AG垂直平分CH．∴CI＝HI，CF＝FH．∴CI＋DI＝HI＋DI＝DH＝3 eq \r(3)，CF＋DF＝HF＋DF≥DH．∴当F与I重合时，即D，F，H三点共线时，CF＋DF的值最小，为3 eq \r(3)，∴△CDF的周长的最小值为3＋3 eq \r(3)．三、17．【解】(1)A; 90°(2)∵△ADF旋转一定角度后得到△ABE，AF＝2，AB＝5，∴AE＝AF＝2，AB＝AD＝5．∴DE＝AD－AE＝5－2＝3． 18．【解】(1)如图① ，四边形ABCD即为所求(答案不唯一)．(2)如图②，四边形ABCD即为所求(答案不唯一)．19．【解】(1)如图．(2)如图．(3)45°20．【解】(1)(5，4)；(－5，－4)　(2)(－x，－y)(3)根据题意得eq \B\lC\{(\A\vs4\Al\Co1(a＋3＋2b－3＝0，,－b＋6－2a＝0，))解得eq \B\lC\{(\A\vs4\Al\Co1(a＝4，,b＝－2．))∴a＋b＝4－2＝2．21．【解】(1)∵▱ABCD的对称中心在原点O，A(－2，1)，B(－3，－2)，∴C(2，－1)，D(3，2)．(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，把点A(－2，1)，B(－3，－2)的坐标分别代入y＝kx＋b，得eq \B\lC\{(\A\vs4\Al\Co1(－2k＋b＝1，,－3k＋b＝－2，))解得eq \B\lC\{(\A\vs4\Al\Co1(k＝3，,b＝7．))∴直线AB的解析式为y＝3x＋7．∴当y＝0时，x＝－eq \f(7,3)．又∵A到x轴的距离为1，B到x轴的距离为2，∴S▱ABCD＝4×eq \f(1,2)×eq \f(7,3)×(1＋2)＝14．22．(1)【证明】由题意知∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE．∴△CAD≌△CBE(SAS)．(2)【解】在Rt△ABC中，AC＝BC＝3 eq \r(2)，∴∠A＝∠CBA＝45°，AB＝6．∴BD＝AB－AD＝6－2＝4．∵△CAD≌△CBE，∴BE＝AD＝2，∠CBE＝∠A＝45°．∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝90°．∴DE＝eq \r(BD2＋BE2)＝2 eq \r(5)．又∵在Rt△CDE中，∠DCE＝90°，CD＝CE，∴2CE2＝DE2，∴CE＝eq \r(10)(负值已舍去)．(3)【解】AD2＋BD2的值存在最小值．由(2)可知AD2＋BD2＝BE2＋BD2＝DE2＝2CD2．∴当CD最小时，AD2＋BD2的值存在最小值，此时CD⊥AB．∵△ABC为等腰直角三角形，∴CD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×6＝3．∴AD2＋BD2＝2CD2＝18．即AD2＋BD2的最小值为18．23．【解】(1)如图①．135(2)PA＝PE．理由如下：∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠ABC＝∠BAC＝45°．如图②，过P作PM∥AB交AC于M，∴∠MPC＝∠ABC，∠BAC＝∠PMC＝45°．∴CP＝CM，∠AMP＝135°＝∠PBE．∴CA－CM＝CB－CP，即AM＝BP．∵将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，∴∠APE＝90°．∴∠EPB＝90°－∠APC＝∠PAC．∴△APM≌△PEB(ASA)．∴PA＝PE．(3)当P在线段BC上时，如图②，由(2)可知，BE＝PM，BP＝AM．易知AB＝eq \r(2)(AM＋CM) ，∴AB＝eq \r(2)BP＋eq \r(2)CM．易知PM＝eq \r(2)CM，∴AB＝eq \r(2)BP＋BE．当P在线段CB的延长线上时，过P作PN⊥BC交BE于N，如图③．易知∠ABD＝90°， ∠ABC＝45°，∴∠PBN＝180°－∠ABC－∠ABD＝45°．∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP＝135°．∴BP＝NP，∠PNB＝45°．∴∠PNE＝135°＝∠ABP，BN＝eq \r(2)BP．易知∠APE＝90°，∴∠EPN＝90°－∠APN＝∠APB．∴△EPN≌△APB(ASA) ．∴EN＝BA．∵BE＝EN＋BN，∴BE＝BA＋eq \r(2)BP．综上所述，当P在线段BC上时，AB＝eq \r(2)BP＋BE；当P在线段CB的延长线上时，BE＝BA＋eq \r(2)BP．