人教版数学九年级上册 第二十三章综合素质评价试卷

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第二十三章综合素质评价一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(　　)2．下列说法中正确的有(　　)(1)如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称；(2)如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等；(3)如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形；(4)如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3.（2024重庆期末)如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是(　　)A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C．AD＝eq \r(2)AC D．AE＝AB＋CD(第3题)　　　(第4题)　　　(第5题)　　　(第7题)4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝75°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为(　　)A．65° B．70° C．75° D．80°5．如图，在平面直角坐标系xOy中，若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，其中点C的对应点是F，点A的对应点是D，点B的对应点是E，则旋转中心的坐标是(　　)A．(0，0) B．(1，0) C．(1，－1) D．(2.5，0.5)6．在平面直角坐标系中，已知点A(2a，a－b＋2)，B(b，a＋2)关于原点对称，则a，b的值是(　　)A．a＝－1，b＝2 B．a＝1，b＝2 C．a＝－1，b＝－2 D．a＝1，b＝－27．如图，以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点E′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转的度数为(　　)A．60° B．90° C．100° D．30°8．如图，点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,2)))，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,2)))(第8题)　　　(第9题)　　　(第10题)　　　　(第11题)9．如图，已知在正方形ABCD内有一点P，连接AP，DP，BP，将△APD顺时针旋转90°得到△AEB，连接DE，点P恰好在线段DE上，AP＝eq \r(2)，BP＝eq \r(10)，则DP的长度为(　　)A．2 B.eq \r(6) C．2 eq \r(2) D.eq \r(10) 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上，AB⊥x轴，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°.将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2 025次旋转结束时，点C的坐标为(　　)A．(eq \r(3)，3) B．(3，－eq \r(3)) C．(－eq \r(3)，1) D．(1，－eq \r(3))二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共 24 分)11.镇江是一座底蕴深厚、人文荟萃的历史文化古城，如图是镇江的一个古建筑的装饰物(里面是一个个小等边三角形)，该图形绕旋转中心(点O)至少旋转________度后可以和自身完全重合．12．在平面直角坐标系xOy中，将点A(1，2)绕着旋转中心旋转180°，得到点B(－3，2)，则旋转中心的坐标为__________．13．如图，D是△ABC的边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE.(1)△ADC和________成中心对称；(2)已知△ADC的面积为4，则△ABE的面积是________．(第13题)　　　(第14题)　　　(第15题)　　　(第16题)14.（2023郴州期末)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为(6，0)，顶点C的坐标为(2，2)，若直线y＝mx＋2平分平行四边形OABC的面积，则m的值为________．15.（2024杭州期中)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，直角顶点B在x轴上．将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则CP的长为________．16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°.O为AB的中点，将OA绕着点O逆时针旋转θ(0°<θ<180°)至OP.(1)当θ＝30°时，∠CBP＝________；(2)当△BCP恰为等腰三角形时，θ的度数为____________．三、解答题(本题有7小题，共66分，各小题都必须写出解答过程)17．(8分)（2023丰台模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在BC边上，点B的对应点为E，求线段BD，DE的长．18．(8分)已知平面直角坐标系第二象限内的点P(x2＋2x，3)与另一点Q(x＋2，y)关于原点对称，试求x＋2y的值．19．(8分)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数．20．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)将△ABC绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的△A′BC′；(2)连接AA′，若AC－BC＝1，AA′＝eq \r(10)，求BC边的长．21．(10分)在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，图①、图②、图③均为顶点在格点上的三角形(每个小方格的顶点叫格点)．(1)在图中，图①经过________变换可以得到图②(填“平移”“旋转”或“轴对称”)；(2)在图中画出图①绕点A逆时针旋转90°后得到的图形；(3)在图中，图③与图②关于某点中心对称，则其对称中心是点________(填“A”“B”或 “C”)．22．(10分)（2023北京)在△ABC中，∠B＝∠C＝α(0°＜α＜45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.(1)如图①，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图②，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF＝DC，连接AF，AE，EF，请写出∠AEF的大小，并证明．23．(12分)某数学兴趣小组在一次综合与实践活动中探究这样一个问题：将足够大的直角三角尺PEF(∠EPF＝90°，∠F＝30°)的顶点P放在等腰直角三角形ABC的斜边AC的中点O处，S△ABC＝4.(1)尝试探究如图①，三角尺PEF的两条直角边分别与△ABC的边AB，BC交于点M，N，当PE⊥AB时，①PM________PN(填“＞”“＜”或“＝”)；②三角尺PEF与△ABC重叠部分的面积为________．(2)操作发现如图②，将三角尺PEF绕点O旋转，在旋转过程中，三角尺PEF的两条直角边分别与△ABC的边AB，BC交于点M，N(点M不与点A，B重合)，PM与PN相等吗？请说明理由．(3)类比应用在(2)的条件下，三角尺PEF与△ABC重叠部分的面积变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出重叠部分的面积．答案一、1.C　2.B　3.D　4.B　5.C　6.A　7.B　8.C　9.B10．A　解析：连接OB，过点C作CP⊥OA，垂足为P，如图所示．∵AB＝CB，OA＝OC，OB＝OB，∴△AOB≌△COB(SSS)．∴∠AOB＝∠COB＝eq \f(1,2)∠AOC＝30°.在Rt△AOB中，AB＝2，∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝4.∴OA＝eq \r(OB2－AB2)＝2eq \r(3).∴OC＝2eq \r(3).在Rt△COP中，∠POC＝60°，∴∠OCP＝30°.∴OP＝eq \f(1,2)OC＝eq \r(3).∴CP＝eq \r(OC2－OP2)＝3.∴点C的坐标为(eq \r(3)，3)．∵每次旋转90°，360°÷90°＝4，∴每旋转4次为一个循环．∵2 025÷4＝506……1，∴第2 025次旋转结束时点C的位置和最开始时点C的位置相同．∴第2 025次旋转结束时，点C的坐标为(eq \r(3)，3)．故选A.二、11.60　12.(－1，2)　13.(1)△EDB　(2)8　14.－eq \f(1,4)15．4－eq \r(2)16．(1)40°　(2)50°或65°或80°解析：(1)由题意结合旋转的性质可得OA＝OB＝OP，进而得∠OBP＝∠OPB，然后根据三角形外角的性质得到∠OBP＝eq \f(1,2)∠AOP＝15°，进而求解．(2)连接AP，易得∠APB＝90°.如图①，当BC＝BP时，易证△ABC≌△ABP，∴∠ABP＝∠ABC＝25°，∴∠AOP＝2∠ABP＝50°；如图②，当BC＝PC时，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的判定得到CH垂直平分PB，求得∠CHB＝90°，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质易得θ＝80°；如图③，当PB＝PC时，连接OC，易得OB＝OC，延长PO交BC于G，易得PG垂直平分BC，得到∠BGO＝90°，再根据三角形的内角和得到∠BOG＝65°，∴θ＝65°.综上，θ的度数为50°或65°或80°.三、17.解：根据题意，得△ABC≌△DEC，∴AB＝DE，AC＝DC.∵AC＝3，∴DC＝3.∵BC＝4，∴BD＝1.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝5，∴DE＝5.18．解：根据题意，得(x2＋2x)＋(x＋2)＝0，y＝－3.∴x1＝－1，x2＝－2(不符合题意，舍去)．∴x＋2y＝－1＋2×(－3)＝－7.19．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠ACE＝90°，AC＝CE.∴∠E＝∠EAC＝45°.∴∠ADC＝∠E＋∠DCE＝45＋20°＝65°.20．解：(1)如图，△A′BC′即为所求．(2)如图，设BC＝x，则AC＝BC＋1＝x＋1.在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2＝x2＋(x＋1)2.由旋转的性质得A′B＝AB，∠ABA′＝90°.在Rt△AA′B中，A′A2＝A′B2＋AB2＝2AB2.因为AA′＝eq \r(10)，所以(eq \r(10))2＝2[x2＋(x＋1)2]．整理得x2＋x－2＝0.解得x1＝1，x2＝－2(舍去)．所以BC＝1.21．解：(1)平移(2)图①绕点A逆时针旋转90°后得到的图形如图①所示．①(3)C　解析：如图②，连接DE，发现DE和FG相交于点C，所以对称中心是点C.②22．(1)证明：由旋转的性质，得DM＝DE，∠MDE＝2α.∵∠C＝α，∴∠DEC＝∠MDE－∠C＝α.∴∠C＝∠DEC.∴DE＝DC.∴DM＝DC.∴D是MC的中点．(2)解：∠AEF＝90°.证明：如图，延长FE到H，使EH＝FE，连接CH，AH.∵DF＝DC，∴DE是△FCH的中位线．∴DE∥CH，CH＝2DE.∴∠FCH＝∠FDE.∵∠MDE＝2α，∴∠FCH＝2α.∵∠B＝∠ACB＝α，∴∠ACH＝α，AB＝AC.∴∠B＝∠ACH.设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，CM＝m＋n，DF＝n，∴FM＝DF－DM＝n－m.∵AM⊥BC，AB＝AC，∴BM＝CM＝m＋n.∴BF＝BM－FM＝m＋n－(n－m)＝2m.∴BF＝CH.在△ABF和△ACH中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠B＝∠ACH，,BF＝CH，))∴△ABF≌△ACH(SAS)．∴AF＝AH.又∵FE＝EH，∴AE⊥FH.∴∠AEF＝90°.23．解：(1)①＝　②2(2)PM＝PN.理由如下：连接BP.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝90°，∠C＝45°，AB＝BC.又∵O是AC的中点，P在O处，∴BP⊥AC，BP＝PC且∠ABP＝∠CBP＝45°.∴∠CPN＋∠NPB＝90°，∠ABP＝∠C.∵MP⊥PN，∴∠BPM＋∠NPB＝90°.∴∠BPM＝∠CPN.在△MPB和△NPC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BPM＝∠CPN，,BP＝CP，,∠MBP＝∠C，))∴△MPB≌△NPC(ASA)．∴PM＝PN.(3)不变．∵S△ABC＝4，O是AC的中点，P在O处，∴S△BCP＝eq \f(1,2)S△ABC＝2.由(2)知△MPB≌△NPC，∴三角尺PEF与△ABC重叠部分的面积＝△MPB的面积＋△BON的面积＝△NPC的面积＋△BON的面积＝△BCP的面积＝2.