北师大版数学九年级上册 第一章综合素质评价试卷

这是一份北师大版数学九年级上册 第一章综合素质评价试卷，共29页。
　第一章 综合素质评价一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．[2023揭阳期末]菱形、矩形、正方形都具有的性质是(　　)A．对角线互相垂直 B．对角线相等C．四条边相等，四个角相等 D．两组对边分别平行且相等2．[2024邢台襄都区模拟]如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是(　　)A．CD＝4 B．CD＝2 C．OD＝2 D．OD＝43．[2023成都温江区期末]如图，F是正方形ABCD对角线BD上 一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E.若∠AFC＝130°，则∠DEC的度数为(　　)A．65° B．70° C．75° D．80°4．[2022安徽]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝(　　)A．α－90° B．α－45° C．180°－α D．270°－α5．[2023东莞期中]若顺次连接某四边形四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形一定是(　　)A．菱形 B．矩形C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形6. 三个边长为8 cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分(阴影)的面积为(　　)A．16 cm2 B．24 cm2 C．28 cm2 D．32 cm2 7．在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为(　　)A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm8. 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(5，12)，则AC的长是(　　)A．5 B．7 C．12 D．139．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM，若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为(　　)A．3 B．3.5 C．2 D．2.510．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上， AE＝AF，AC与EF相交于点G.下列结论：①AC垂直平分EF；②当∠EAF＝45°时，∠AEB＝∠AEF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当CE＝(2－eq \r(2))BC时，BE＋DF＝EF.其中正确的结论有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝28°，D是AC的中点，则∠CBD＝________°.12．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和2eq \r(5)，则此平行四边形的面积为________．13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，PD＝eq \f(1,2)AC，∠P＝52°，则∠PDC＝________．14. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10 cm，∠A＝60°，点E，F同时从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E的速度为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当一点到达B点时，另一点随之停止移动，经过t s后△DEF恰为等边三角形，则此时t的值为________．15．[2024东莞模拟]如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边BC上一动点(不与点B，C重合)，过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF.有下列结论：①AE＝EF；②CF＝eq \r(2)BE；③∠DAF＝∠CEF.其中正确的是________．(把正确结论的序号都填上)三、解答题(共7小题，第16～21题每题10分，第22题15分，共75分)16．[2023扬州邗江区期末]如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，连接BM，DM.求证：(1)BM＝DM；(2)MN⊥BD.17．[2023广州海珠区期中]如图，在矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E，F.求证：四边形BEDF是菱形．18．[2024宝鸡陈仓区期中]在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝2AD，F是BC的中点．(1)如图①，求证：四边形AFCD是矩形；(2)如图②，过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，EF.求证：DE＝DC.19．如图，在矩形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，BE⊥EF，∠ABE＋∠CEF＝45°.(1)求∠1＋∠2的度数；(2)求证：四边形ABCD是正方形．20. 在正方形ABCD中，点G是边DC上的一点，点F是直线BC上一动点，FE⊥AG于H，交直线AD于点E.(1)当点F运动到与点B重合时(如图①)，线段EF与AG的数量关系是________．(2)当点F运动到如图②所示的位置时，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10.(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E，F相遇时除外)?答：________．(直接填空，不用说理)(2)在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．(3)在(1)的条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．22. 如图，四边形ABCD是正方形，点P在射线AC上，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，点O为线段AC的中点．【感知】如图①，当点P在线段AO上(点P不与点A，O重合)时，①易证：△ABP≌△ADP(不需要证明)．进而得到PE与PD的数量关系是__________；②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证：Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明)．进而得到PE与PD的位置关系是__________；【探究】如图②，当点P在线段OC上(点P不与点O，C重合)时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；【应用】如图③，当点P在AC的延长线上时，直接写出当AB＝3，CP＝eq \r(2)时线段DE的长．答案一、1.D　2.D　3.B　4.C　5.C　6.D　7.C　8.D9．D 【解析】∵点M，N分别是边AD，CD的中点，∴MN是△ACD的中位线．∴AC＝2MN＝2×3＝6.∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24，∴OA＝OC＝eq \f(1,2)AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，eq \f(1,2)AC·BD＝24.即eq \f(1,2)×6×BD＝24，∴BD＝8.∴OD＝eq \f(1,2)BD＝4.∴在Rt△OCD中，由勾股定理得CD＝eq \r(OC2＋OD2)＝eq \r(32＋42)＝5.∵点M是AD的中点，OA＝OC，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝eq \f(1,2)CD＝2.5.10．D 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°.又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF.∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF.∴∠EAC＝∠FAC.∴AC垂直平分EF，故①正确；∵∠EAF＝45°，∴易得∠EAC＝∠FAC＝∠BAE＝∠DAF＝22.5°.∴∠BEA＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.∵BC＝CD，BE＝DF，∴CE＝CF.∴∠CEF＝45°.∴∠AEF＝180°－∠CEF－∠BEA＝180°－45°－67.5°＝67.5°＝∠AEB，故②正确；∵∠DAF＝15°，∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝90°－15°－15°＝60°.∵AE＝AF，∴△AEF为等边三角形，故③正确；∵CE＝(2－eq \r(2))BC，∴BE＝DF＝BC－CE＝BC－(2－eq \r(2))BC＝(eq \r(2)－1)BC.∴BE＋DF＝2(eq \r(2)－1)BC.∴EF＝eq \r(EC2＋FC2)＝eq \r(2)EC＝eq \r(2)(2－eq \r(2))BC＝2(eq \r(2)－1)BC＝BE＋DF，故④正确；∴正确的结论有4个．二、11.62　12.4eq \r(5)　13.12°　14.eq \f(5,3)15．①② 【解析】如图，在AB上取点H，使AH＝EC，连接EH.∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠BCD＝∠B＝∠AEF＝90°，AB＝BC.∴∠HAE＋∠AEB＝90°，∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠HAE＝∠CEF.∵AH＝CE，AB＝BC，∴BH＝BE.∴△BHE为等腰直角三角形．∴易得∠AHE＝135°.∵CF是正方形外角的平分线，∴易得∠ECF＝135°.∴∠AHE＝∠ECF.在△AHE和△ECF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠HAE＝∠CEF，,AH＝EC，,∠AHE＝∠ECF，))∴△AHE≌△ECF(ASA)．∴AE＝EF，EH＝CF，∠AEH＝∠EFC.故①正确；∵BE＝BH，∠B＝90°，∴EH＝eq \r(BH2＋BE2)＝eq \r(2)BE.∴CF＝eq \r(2)BE.故②正确；∵∠AHE＝135°，∴∠HAE＋∠AEH＝45°.∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°.∴∠HAE＋∠DAF＝45°.∴∠AEH＝∠DAF.∵∠AEH＝∠EFC，∴∠DAF＝∠EFC.而∠FEC不一定等于∠EFC，∴∠DAF不一定等于∠FEC，故③错误．故答案为①②.三、16.【证明】(1)∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝eq \f(1,2)AC，DM＝eq \f(1,2)AC.∴BM＝DM.(2)∵点N是BD的中点，BM＝DM，∴MN⊥BD.17．【证明】如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠2.∵O为BD的中点，∴BO＝DO.∵∠BOE＝∠DOF，∴△OBE≌△ODF(ASA)．∴BE＝DF.∴四边形BEDF是平行四边形．又∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．18．【证明】(1)∵F是BC的中点，∴BF＝CF＝eq \f(1,2)BC.∵BC＝2AD，∴AD＝eq \f(1,2)BC.∴AD＝CF＝BF.∵AD∥BC，∴四边形AFCD是平行四边形．又∵CD⊥BC，∴∠DCF＝90°.∴四边形AFCD是矩形．(2)如图，连接DF交CE于G，由(1)知AD＝BF.∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形．∴AB∥DF.∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，CE⊥DF.又∵F是BC的中点，∴EF＝eq \f(1,2)BC＝CF.∴GE＝GC.∴DF是线段CE的垂直平分线．∴DE＝DC.19．(1)【解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.∴∠ABE＋∠1＝90°.∵BE⊥EF，∴∠CEF＋∠2＝90°.∵∠ABE＋∠CEF＝45°，∴∠1＋∠2＝90°＋90°－45°＝135°.(2)【证明】∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－135°＝45°.∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°.∴∠BAC＝90°－∠ACB＝90°－45°＝45°.∴∠ACB＝∠BAC.∴AB＝BC.∴四边形ABCD是正方形．20．【解】(1)EF＝AG 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADG＝90°，AB＝AD.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.∵EF⊥AG，∴∠AHE＝90°.∴∠AEB＋∠DAG＝90°.∴∠ABE＝∠DAG.∴△ABE≌△DAG(ASA)．∴EF＝BE＝AG.(2)成立．证明：如图，过点F作FM⊥AE，垂足为M，则∠EMF＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝90°，AD＝CD.∴易得MF＝CD＝AD.∵EF⊥AH，∴∠AHE＝90°，∴∠HAE＋∠E＝90°.又∵∠E＋∠EFM＝90°，∴∠HAE＝∠EFM.∴△ADG≌△FME(ASA)．∴EF＝AG.21．【解】(1)四边形EGFH是平行四边形(2)如图①，②，连接GH.由题意易得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四边形ABHG是矩形．∴GH＝AB＝6.①如图①，当四边形EGFH是矩形时，EF＝GH＝6.∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.∵AE＝CF＝t，∴EF＝10－2t＝6.∴t＝2.　　　②如图②，当四边形EGFH是矩形时，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t＋t－10＝2t－10＝6.∴t＝8.综上，当四边形EGFH为矩形时，t的值为2或8.(3)如图③，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O.∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，AD＝BC＝8.∴AM＝4.∵四边形EGFH为菱形，∴GH⊥EF，OG＝OH.∴ AG＝AH.∴四边形AGCH为菱形．∴AG＝CG.设AG＝CG＝x，则DG＝8－x，∴在Rt△CDG中，由勾股定理可得CD2＋DG2＝CG2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝eq \f(25,4).∴MG＝eq \f(25,4)－4＝eq \f(9,4)，即t＝eq \f(9,4)，∴当t的值为eq \f(9,4)时，四边形EGFH为菱形．22．【解】【感知】①PE＝PD 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP＝45°.在△ABP和△ADP中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAP＝∠DAP，,AP＝AP，))∴△ABP≌△ADP(SAS)．∴PB＝PD.∵PB＝PE，∴PE＝PD.②PE⊥PD 【解析】由题意得∠PNE＝∠PMD＝∠PMC＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴CP平分∠MCN，∠NCM＝90°.∴四边形PMCN是矩形，PN＝PM.∴∠MPN＝90°.在Rt△PNE和Rt△PMD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PE＝PD，,PN＝PM，))∴Rt△PNE≌Rt△PMD(HL)．∴∠EPN＝∠DPM.∵∠MPN＝∠MPE＋∠EPN＝90°，∴∠MPE＋∠DPM＝90°，即∠DPE＝90°.∴PE⊥PD.【探究】PE与PD的数量关系和位置关系为PE＝PD，PE⊥PD，理由如下：设PE交CD于F.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°.在△CBP和△CDP中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝CD，,∠PCB＝∠PCD，,PC＝PC，))∴△CBP≌△CDP(SAS)．∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDF.又∵PB＝PE，∴PD＝PE，∠PBE＝∠PEB.∴∠PDF＝∠PEB.∵∠PFD＝∠CFE，∴180°－∠PFD－∠PDC＝180°－∠CFE－∠PEB，即∠DPF＝∠ECF.∵∠ECF＝∠BCD＝90°，∴∠DPF＝90°.∴PD⊥PE.【应用】线段DE的长为eq \r(34). 【解析】设PD交BE于H.由题意易证△CBP≌△CDP.∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC.∴易得∠PDC＝∠PEB，PE＝PD.∵∠PHE＝∠CHD，∴180°－∠CHD－∠PDC＝180°－∠PHE－∠PEB，即∠DPE＝∠DCE.又∵易知∠DCE＝90°，∴∠DPE＝90°.∴△DPE是等腰直角三角形．过点P作PQ⊥BE于Q，∵PB＝PE，∴BQ＝EQ.∵∠PCQ＝∠ACB＝45°，∴△CQP是等腰直角三角形．∴CQ＝PQ＝eq \f(\r(2),2)CP＝1.∴EQ＝BQ＝BC＋CQ＝AB＋CQ＝3＋1＝4.∴PE＝eq \r(EQ2＋PQ2)＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17).∴DE＝eq \r(PD2＋PE2)＝eq \r(2)PE＝eq \r(2)×eq \r(17)＝eq \r(34).