冀教版数学九上 第二十四章综合素质评价试卷

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第二十四章综合素质评价一、选择题(每题3分，共36分)1．(母题：教材P35练习T1)下列方程是一元二次方程的是(　　)A．9x＋2＝0 B．z2＋x＝1 C．3x2－8＝0 D．eq \f(1,x)＋x2＝02．已知关于x的方程x2＋mx＋3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为(　　)A．4 B．－4 C．3 D．－33．若x1＋x2＝3，x12＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　　)A．x2－3x＋2＝0 B．x2＋3x－2＝0 C．x2＋3x＋2＝0 D．x2－3x－2＝04．[2024·石家庄市第二十三中学月考]关于x的一元二次方程kx2＋3x－1＝0有实数根，则k的取值范围是(　　)A．k>－eq \f(9,4) B．k>－eq \f(9,4)且k≠0 C．k≥－eq \f(9,4) D．k≥－eq \f(9,4)且k≠05．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(　　)A．eq \r(3) B．2eq \r(3) C．eq \r(14) D．2eq \r(14)6．已知方程x2－2 021x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x12－eq \f(2 021,x2)的值为(　　)A．1 B．－1 C．2 021 D．－2 0217．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元，调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱的定价为x元，根据题意，可列方程为(　　)A．(x－2 500)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋4×\f(x,50)))＝5 000 B．(x－2 500)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋4×\f(2 900－x,50)))＝5 000C．(2 900－x－2 500)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋4×\f(x,50)))＝5 000 D．(2 900－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋4×\f(2 900－x,50)))＝5 0008．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的一个根，则▱ABCD的周长为(　　)A．4＋2eq \r(2) B．12＋6eq \r(2) C．2＋2eq \r(2) D．2＋eq \r(2)或12＋6eq \r(2)9．若关于x的方程x2＋2(k＋2)x＋k2＝0的两个实数根之和大于－4，则k的取值范围是(　　)A．k＞－1 B．k＜0 C．－1＜k＜0 D．－1≤k＜010．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a2，求证：β>2.24．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式x2－2x＋3进行配方．解：x2－2x＋3＝x2－2x＋1＋2＝(x2－2x＋1)＋2＝(x－1)2＋2.我们定义：一个整数能表示成a2＋b2(a，b是整数)的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”．例如，5是“雅美数”．理由：5＝22＋12.再如，M＝x2＋2xy＋2y2＝(x＋y)2＋y2(x，y是整数)，∴M也是“雅美数”．(1)4，6，7，8四个数中的“雅美数”是________；(2)若二次三项式x2－6x＋13(x是整数)是“雅美数”，可配方成(x－m)2＋n(m，n为常数)，则mn的值为________；(3)已知S＝x2＋4y2＋8x－12y＋k(x，y是整数，k是常数)，要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值；(4)已知实数M，N是“雅美数”，求证：M·N是“雅美数”．答案一、1．C　2．B　3．A　4．D5．C 【解析】设菱形的两条对角线长分别为a，b.∵菱形的面积＝两条对角线积的一半，∴eq \f(1,2)ab＝11，即ab＝22.∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝10，,ab＝22.))∴菱形的边长＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))\s\up12(2))＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋b2)＝eq \f(1,2)eq \r((a＋b)2－2ab)＝eq \f(1,2)eq \r(100－44)＝eq \f(1,2)eq \r(56)＝eq \r(14).6．B 【解析】∵方程x2－2 021x＋1＝0的两根分别为x1，x2，∴x1·x2＝1，x12－2 021x1＋1＝0.∴x12－2 021x1＝－1.∴x12－eq \f(2 021,x2)＝x12－eq \f(2 021x1,x1·x2)＝x12－2 021x1＝－1.7．B8．A 【解析】∵a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的一个根，∴a2＋2a－3＝0，即(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3(不合题意，舍去)．∴AE＝EB＝EC＝a＝1.∴BC＝EB＋EC＝2.在Rt△ABE中，AB＝eq \r(AE2＋BE2)＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，∴▱ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(eq \r(2)＋2)＝4＋2eq \r(2).故选A．9．D 【解析】由题意得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2(k＋2)＞－4，,[2(k＋2)]2－4k2≥0，))解得－1≤k＜0.故选D．10．A 【解析】当x≥－x时，max{x，－x}＝x，∴x2－6＝x，整理得，(x＋2)(x－3)＝0.∴x1＝－2，x2＝3.当x＝－2时，－x＝－(－2)＝2，不符合题意，当x＝3时，－x＝－3，符合题意；当x<－x时，max{x，－x}＝－x，∴x2－6＝－x，整理得，(x－2)(x＋3)＝0.∴x1＝2，x2＝－3.当x＝2时，－x＝－2，不符合题意，当x＝－3时，－x＝－(－3)＝3，符合题意；综上所述，x的值为3或－3.故选A．11．D 【解析】根据题图可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x＋16，根据题意得，x(x＋16)＝192，解得x1＝8，x2＝－24(不合题意，舍去)，故最小数为8，故圈出的9个数分别为8，9，10，15，16，17，22，23，24，所以这9个数的和为8＋9＋10＋15＋16＋ 17＋22＋23＋24＝144.12．A 【解析】∵关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋eq \f(m,4)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠0，,[－(m＋2)]2－4m·\f(m,4)＞0，))解得m＞－1且m≠0.∵x1，x2是方程mx2－(m＋2)x＋eq \f(m,4)＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝eq \f(m＋2,m)，x1x2＝eq \f(1,4).∵eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝4m，∴eq \f(x1＋x2,x1x2)＝4m.∴eq \f(\f(m＋2,m),\f(1,4))＝4m.∴m＝2或m＝－1.∵m＞－1且m≠0，∴m＝2.二、13．－3　14．m<115．8，6，10 【解析】设竿的长为x尺，则门高为(x－2)尺，门宽为(x－4)尺，根据题意可得x2＝(x－2)2＋(x－4)2，解得x＝10或x＝2(舍去)．∴x－2＝8，x－4＝6，即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺．16．15x(10－x)＝360 【解析】由题意可得长方体的高为15 cm，长为(20－2x)÷ 2＝(10－x)(cm)，则根据题意，列出关于x的方程为15x(10－x)＝360.三、17．【解】(1)配方，得x2－2x＋1＝6，即(x－1)2＝6.由此可得x－1＝±eq \r(6).∴x1＝1＋eq \r(6)，x2＝1－eq \r(6).(2)原方程可变形为(7x＋3)2－2(7x＋3)＝0.因式分解得(7x＋3)(7x＋3－2)＝0.∴x1＝－eq \f(3,7)，x2＝－eq \f(1,7).(3)∵a＝1，b＝－eq \r(3)，c＝－eq \f(9,4)，∴b2－4ac＝(－eq \r(3))2－4×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)))＝12.∴x＝eq \f(\r(3)±\r(12),2)＝eq \f(\r(3)±2 \r(3),2).∴x1＝eq \f(3\r(3),2)，x2＝－eq \f(\r(3),2).(4)原方程化为一般形式为y2－2y＝0.∴y(y－2)＝0.∴y1＝2，y2＝0.18．【解】(1)将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0中，得9(a－1)－12－1＋2a＝0，解得a＝2.将a＝2代入原方程中得x2－4x＋3＝0，因式分解得(x－1)(x－3)＝0，∴x1＝1，x2＝3.∴方程的另一个根是x＝1.(2)∵三角形的三边长都是这个方程的根，∴①当三边长都为1时，周长为3；②当三边长都为3时，周长为9；③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故三角形的周长为3或9或7.19．【解】(1)当m＝1时，方程为3x2＋x－2＝0，∴(3x－2)(x＋1)＝0.∴3x－2＝0或x＋1＝0，解得x1＝－1，x2＝eq \f(2,3).(2)方程有两个不相等的实数根．理由如下：∵3x2＋mx－2＝0，∴b2－4ac＝m2－4×3×(－2)＝m2＋24>0.∴方程有两个不相等的实数根．(3)设方程的另外一个根为x2.∵若3x2＋mx－2＝0的一个根是x＝3，∴3x2＝－eq \f(2,3).∴x2＝－eq \f(2,9).∴方程的另外一个根为－eq \f(2,9).20．【解】(1)设菜园与墙平行的边为x m，则菜园与墙垂直的边为eq \f(88－x＋2,2)m.根据题意，得x·eq \f(88－x＋2,2)＝700，解得x＝20或x＝70(不合题意，舍去)．∴eq \f(88－x＋2,2)＝35.∴菜园的长为35 m，宽为20 m.(2)设小路的宽为t m．根据题意，得(20－t)(35－t)＝646，解得t＝1或t＝54(不合题意，舍去)．∴小路的宽为1 m.21．【解】(1)由题意得，月销售量为500－(55－50)×10＝450(千克)，∴月销售利润为(55－40)×450＝6 750(元)．(2)设销售单价应定为x元，由题意得，(x－40)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(500－10(x－50)))＝8 000，整理得x2－140x＋4 800＝0，解得x1＝60，x2＝80.当x＝60时，月销售成本为40×[500－10×(60－50)]＝16 000(元)，不合题意 舍去；当x＝80时，月销售成本为40×[500－10×(80－50)]＝8 000(元)，符合题意．∴x＝80.答：销售单价应定为80元．22．【解】(1)设经过t s后，S△QPC＝8 cm2，由题意得eq \f(1,2)(6－t)·2t＝8，解得t1＝2，t2＝4.由题意得0≤t≤4，∴经过2 s或4 s后，S△QPC＝8 cm2.(2)设点Q出发a s后，S△QPC＝4 cm2.由题意得eq \f(1,2)×2a×(6－2－a)＝4，解得a1＝a2＝2，由题易得0≤a≤4，∴a＝2，即点Q出发2 s后，S△QPC＝4 cm2.23．(1)【解】m的取值范围是m>－eq \f(3,4).(2)【解】∵eq \f(1,α)＋eq \f(1,β)＝eq \f(β,αβ)＋eq \f(α,αβ)＝eq \f(α＋β,αβ)＝－1，且α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2，∴eq \f(2m＋3,m2)＝1，整理得m2－2m－3＝0，解得m1＝3，m2＝－1.∵由(1)知m>－eq \f(3,4)，∴m＝3.检验：当m＝3时，m2≠0，即m＝3.(3)【证明】(α－2)(β－2)＝αβ－2(α＋β)＋4，把α＋β＝－(2m＋3)和αβ＝m2代入上式，得m2＋2(2m＋3)＋4＝m2＋4m＋10＝(m＋2)2＋6.∵(m＋2)2≥0，∴(m＋2)2＋6≥6.∴(α－2)(β－2)≥6>0.∵α>2，∴α－2>0.∴β－2>0，即β>2.24．(1)4，8　(2)12(3)【解】S＝x2＋4y2＋8x－12y＋k＝(x＋4)2＋(2y－3)2＋k－25.由题意得，k－25＝0，∴k＝25.(4)【证明】∵M，N为“雅美数”，则令M＝a2＋b2，N＝c2＋d2(a，b，c，d为 整数)，∴M·N＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2c2＋b2d2＋2abcd)＋(b2c2＋a2d2－2abcd)＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2.又∵a，b，c，d为整数，∴ac＋bd，bc－ad均为整数．∴M·N是“雅美数”．