新高考数学二轮复习讲练专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用（练习）（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153920034" 01 等差、等比数列的基本量问题 PAGEREF _Tc153920034 \h 1
\l "_Tc153920035" 02 证明等差等比数列 PAGEREF _Tc153920035 \h 4
\l "_Tc153920036" 03 等差等比数列的交汇问题 PAGEREF _Tc153920036 \h 7
\l "_Tc153920037" 04 数列的通项公式 PAGEREF _Tc153920037 \h 11
\l "_Tc153920038" 05 数列求和 PAGEREF _Tc153920038 \h 17
\l "_Tc153920039" 06 数列性质的综合问题 PAGEREF _Tc153920039 \h 30
\l "_Tc153920040" 07 实际应用中的数列问题 PAGEREF _Tc153920040 \h 37
\l "_Tc153920041" 08 以数列为载体的情境题 PAGEREF _Tc153920041 \h 41
\l "_Tc153920042" 09 数列的递推问题 PAGEREF _Tc153920042 \h 44
01 等差、等比数列的基本量问题
1．（2023·重庆·高三统考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】对于A项，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，故A项错误；
对于B项，由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C项，由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故C项错误；
对于D项，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 是以3为首项，4为公差的等差数列，
所以， SKIPIF 1 < 0 .故D正确.
故选：D.
2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．29B．31C．33D．36
【答案】B
【解析】因为数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所有 SKIPIF 1 < 0 ，所有 SKIPIF 1 < 0 ，故B项正确.
故选：B.
3．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【解析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
4．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．42C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．63B．72C．135D．144
【答案】C
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
6．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3032B．3035C．3038D．3041
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
02 证明等差等比数列
7．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ；
两边同时取倒数可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差数列定义可得 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 符合上式，
即 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；
8．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
又数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，
则由②可得 SKIPIF 1 < 0 ③，
将③代入①，得对任意 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 也满足此式，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
9．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ，并证明： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求满足 SKIPIF 1 < 0 的所有正整数 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列；
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由二次函数及指数函数性质可知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以满足 SKIPIF 1 < 0 的所有正整数 SKIPIF 1 < 0 为1，2.
10．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为非零实数，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求其前 SKIPIF 1 < 0 项和.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 中令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为非零实数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ，以上式子相乘得：
SKIPIF 1 < 0 ，
因为数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为非零实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
03 等差等比数列的交汇问题
11．（2023·高二课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为6，
公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·广西·校联考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 自第二项起构成公比为3的等比数列，
可得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2023•甲卷）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）证明：由已知有： SKIPIF 1 < 0 ①，
把 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ②，
② SKIPIF 1 < 0 ①可得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由等差数列定义有 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
（2）由已知有 SKIPIF 1 < 0 ，设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）有其公差为1，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 时取最小值， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2023•乙卷）设 SKIPIF 1 < 0 是首项为1的等比数列，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是首项为1的等比数列，设其公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，②
① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
15．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，设 SKIPIF 1 < 0 ，若存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .若存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，这与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，故此时不存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 ).因为数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为常数且 SKIPIF 1 < 0 )，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列时， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
04 数列的通项公式
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】依题 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，求出不动点 SKIPIF 1 < 0 或3；由定理3知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【解析】依题 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求出不动点 SKIPIF 1 < 0 ；
由定理2知：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
两式相除得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为公比， SKIPIF 1 < 0 为首项的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是以3为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
19．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
20．（2023·江西·高一统考期中）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为Sn，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ①，
令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ②，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ③，
将③代入①②可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由①②③得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值为1.
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式作差可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，符合，
综上， SKIPIF 1 < 0 .
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足递推关系： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【解析】由于 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 发生函数为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
于是数列 SKIPIF 1 < 0 的通项为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0
所以两边同时加上 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列.
于是 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求{an}的通项.
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ……①
∴ SKIPIF 1 < 0 ……②
②-①得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ……③
∵{an}的特征函数为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 x=1.
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ……④
将④代入③得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 并将 SKIPIF 1 < 0 代入，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】由题意，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，3为公比的等比数列．
于是 SKIPIF 1 < 0 ．
26．（2023·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两边取倒数得到 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 SKIPIF 1 < 0 ，且首项 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ．先求出数列的不动点 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
将不动点 SKIPIF 1 < 0 代入递推公式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以1为公差的等差数列．
∴ SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
将 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
28．（2023·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于 .
【解析】由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
显然有 SKIPIF 1 < 0 ，
由累乘法可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0
【解析】法1：已知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为3的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0
当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
累加可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ；
法2：由特征根方程 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
05 数列求和
30．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
①－②得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ∴①＋②得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
31．（2023·天津河东·高三校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 是公比不为0的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列{cn}的前n项的和 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项的和 SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
①-②得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
32．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，首项 SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的根.其中 SKIPIF 1 < 0 为常数.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求使 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的根，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），
故： SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
故： SKIPIF 1 < 0 的最大值为48.
33．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为1的等差数列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
显然， SKIPIF 1 < 0 满足上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
34．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前99项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
累加得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为周期的数列.
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 .
35．（2023·四川自贡·统考一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 顶和为 SKIPIF 1 < 0 .且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，可得： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减，得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，上式也成立.
所以： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
36．（2023·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项成等差数列，且公差为2，又由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的偶数项成等比数列，且公比为4，又由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得， SKIPIF 1 < 0 .
37．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因为数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，上式也成立.所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
38．（2023·黑龙江大庆·高三校考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式做差得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
所以 SKIPIF 1 < 0 是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 且单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 得证.
39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意知， SKIPIF 1 < 0 为正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的积，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
②÷①得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 ，可知数列 SKIPIF 1 < 0 是常数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
40．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 为常数列，且 SKIPIF 1 < 0 ③，
① SKIPIF 1 < 0 ②可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且该数列的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ④，
③ SKIPIF 1 < 0 ④可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称.
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （倒序），
又由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
42．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列.
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且首项为4，公比为2.
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
43．（2023·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求使得 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②
①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 构成以1为首项，3为公比的等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 单调递增且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以使得 SKIPIF 1 < 0 最小正整数 SKIPIF 1 < 0 为4.
44．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）依题意，设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
45．（2023•新高考Ⅱ）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故原式得证．
46．（2023•新高考Ⅰ）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，①，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 （首项符合通项）．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
证明：（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
06 数列性质的综合问题
47．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知单调递增的数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比数列， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，设等比数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，推导出 SKIPIF 1 < 0 ，然后分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况讨论，分别得出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，结合数列 SKIPIF 1 < 0 的单调性可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.设等差数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由不等式的基本性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
48．（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
整理得 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
49．（2023·辽宁·高三校联考期中）设 SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列， SKIPIF 1 < 0 为其前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，
可得 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为单调递减函数，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
50．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数k的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】据题设知， SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以所求实数k的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选: SKIPIF 1 < 0 ．
51．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的值的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和中的最小值，必有 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和中的最小值，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和中的最小值，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得： SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:B．
52．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 （常数），
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列.因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （常数），
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
53．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）首项为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，从第 SKIPIF 1 < 0 项起开始为正数，则公差 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为首项为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，从第 SKIPIF 1 < 0 项起开始为正数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
54．（2023·北京·高三强基计划）设三个实数a，b，c组成等比数列， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．前三个答案都不对
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题设有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因比 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
55．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
则数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
分离参数得， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
由 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
56．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
07 实际应用中的数列问题
57．（2023·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据： SKIPIF 1 < 0
A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3
【答案】C
【解析】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为 SKIPIF 1 < 0 万元，
2024年存的2万元共存了9年，本息和为 SKIPIF 1 < 0 万元，
SKIPIF 1 < 0
2032年存的2万元共存了1年，本息和为 SKIPIF 1 < 0 万元，
所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的钱数约为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 万元，
故选：C.
58．（2023·河南南阳·高二统考期中）小李年初向银行贷款 SKIPIF 1 < 0 万元用于购房，购房贷款的年利率为 SKIPIF 1 < 0 ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分 SKIPIF 1 < 0 次等额还清，每年 SKIPIF 1 < 0 次，问每年应还（ ）万元.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设每年应还 SKIPIF 1 < 0 万元，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
59．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）某公司有10名股东，其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项错误的是（ ）
A．公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于总股份的 SKIPIF 1 < 0
B．公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的 SKIPIF 1 < 0
C．公司持股最大的股东所持股份不超过总股份的 SKIPIF 1 < 0
D．公司持股较多的2位股东所持股份之和可以超过总股份的 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】不妨设10名股东所持股份为 SKIPIF 1 < 0 ，总股份为1，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
由于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，D错误，
故选：D．
60．（2023·河南·高二校联考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的 SKIPIF 1 < 0 倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）．
A．781万元，60万元B．525万元，200万元
C．781万元，200万元D．1122万元，270万元
【答案】C
【解析】由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，项数为5的等比数列，
所以这五年投入的资金总额是 SKIPIF 1 < 0 （万元）．
由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列，
所以这五年的旅游收入总额是 SKIPIF 1 < 0 （万元）．
故选：C．
61．（2023·山东·高二山东师范大学附中校考期末）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知 SKIPIF 1 < 0 为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
62．（2023·湖南岳阳·统考一模）核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（ ）（参考数据 SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意，设一开始锶90质量为1，
则每年的剩余量构成以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
则经过800年锶90剩余质量为 SKIPIF 1 < 0 ，
两边取常用对数可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
08 以数列为载体的情境题
63．（2023·山东淄博·高三统考期中）若项数为n的数列 SKIPIF 1 < 0 ，满足： SKIPIF 1 < 0 ，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 项的“对称数列”，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 的最小项等于 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】5或4
【解析】由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式有 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：5或4．
64．（2023·上海·高三上海中学校考期中）给定一张 SKIPIF 1 < 0 的数表（如下表），
统计 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中各数出现次数．若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ，n，均满足数k恰好出现 SKIPIF 1 < 0 次，则称之为 SKIPIF 1 < 0 阶自指表，举例来说，下表是一张4阶自指表．
对于如下的一张7阶自指表．记 SKIPIF 1 < 0 ，N的所有可能值为 ．
【答案】3211000
【解析】由题意可得，7阶自指表为:
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
65．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 作通项得到的数列 SKIPIF 1 < 0 ，称 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的差分数列，已知数列 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的差分数列，且 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项以2为公差的等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】65
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
累加得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：65.
66．（2023·广东·高三校联考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为一个有序实数组， SKIPIF 1 < 0 表示把A中每个-1都变为 SKIPIF 1 < 0 ，0，每个0都变为 SKIPIF 1 < 0 ，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．定义 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中有 SKIPIF 1 < 0 项为1，则 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然， SKIPIF 1 < 0 中有2项，其中1项为 SKIPIF 1 < 0 ，1项为1，
SKIPIF 1 < 0 中有4项，其中1项为 SKIPIF 1 < 0 ，1项为1，2项为0，
SKIPIF 1 < 0 中有8项，其中3项为 SKIPIF 1 < 0 ，3项为1，2项为0，
由此可得 SKIPIF 1 < 0 中共有 SKIPIF 1 < 0 项，其中1和 SKIPIF 1 < 0 的项数相同，
设 SKIPIF 1 < 0 中有 SKIPIF 1 < 0 项为0，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ①，
因为 SKIPIF 1 < 0 表示把A中每个 SKIPIF 1 < 0 都变为 SKIPIF 1 < 0 ，0，每个0都变为 SKIPIF 1 < 0 ，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，
则 SKIPIF 1 < 0 ②，
①+②得， SKIPIF 1 < 0 ③，
所以 SKIPIF 1 < 0 ④，
④-③得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 为奇数且 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
经检验 SKIPIF 1 < 0 时符合，
所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为奇数），
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，则 SKIPIF 1 < 0 为奇数，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
67．（2023·山东·高三校联考阶段练习）若项数为 SKIPIF 1 < 0 的数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 我们称其为 SKIPIF 1 < 0 项的“对称数列”．例如：数列 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 项的“对称数列”；数列 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 项的“对称数列”．设数列 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 项的“对称数列”，其中 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 的最大项等于 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】3或4
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式有 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3或4
09 数列的递推问题
68．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．规则：1．每次只能移动1个金属片；2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．请你试着推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动 次？
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设把 SKIPIF 1 < 0 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动 SKIPIF 1 < 0 次.
则把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动 SKIPIF 1 < 0 次
把n个金属片从1号针移到3号针，分为以下步骤来完成:
第一步：先将上面的 SKIPIF 1 < 0 个金属片从1号针移到2号针，则最少需要移动 SKIPIF 1 < 0 次.
第二步：将第n个金属片从1号针移到3号针，需要1次.
第三步：再将上面的 SKIPIF 1 < 0 个金属片从2号针移到3号针，则最少需要移动 SKIPIF 1 < 0 次.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
69．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）数学的发展推动着科技的进步， SKIPIF 1 < 0 技术的蓬勃发展得益于线性代数､群论等数学知识的应用.目前某区域市场中 SKIPIF 1 < 0 智能终端产品的制造仅能由 SKIPIF 1 < 0 公司和 SKIPIF 1 < 0 公司提供技术支持.据市场调研预测， SKIPIF 1 < 0 商用初期，该区域市场中采用 SKIPIF 1 < 0 公司与 SKIPIF 1 < 0 公司技术的智能终端产品分别占比 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 .假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用 SKIPIF 1 < 0 公司技术的产品中有 SKIPIF 1 < 0 转而采用 SKIPIF 1 < 0 公司技术，采用 SKIPIF 1 < 0 公司技术的仅有 SKIPIF 1 < 0 转而采用 SKIPIF 1 < 0 公司技术.设第 SKIPIF 1 < 0 次技术更新后，该区域市场中采用 SKIPIF 1 < 0 公司与 SKIPIF 1 < 0 公司技术的智能终端产品占比分别为 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，不考虑其他因素的影响.
(1)用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，并求实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 是等比数列.
(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用 SKIPIF 1 < 0 公司技术的智能终端产品占比能否超过 SKIPIF 1 < 0 ？若能，至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由.（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
【解析】（1）依题意， 5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品的占比分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
经过n次技术更新后 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因此有 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列.
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
因此经过n次技术更形后，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以至少经过10次技术更新，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上.
70．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为 SKIPIF 1 < 0 ，在丙手中的方法数为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求出 SKIPIF 1 < 0 的通项；
(2)求证：当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由题意知：第n次抛沙包后的抛沙包方法数为 SKIPIF 1 < 0 ，
第 SKIPIF 1 < 0 次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为 SKIPIF 1 < 0 ，若第n次抛沙包后沙包在甲手中，则第 SKIPIF 1 < 0 次抛沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次抛沙包后沙包在乙或丙手中，
故 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
……………，
SKIPIF 1 < 0
以上各式相加， SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意知：第n次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
71．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，已知曲线 SKIPIF 1 < 0 及曲线 SKIPIF 1 < 0 ．从 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 作直线平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，交曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，再从点 SKIPIF 1 < 0 作直线平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，交曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标构成数列 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)试求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，并证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，下证： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 异号，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相除得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
n
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
4
5
6
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0