新高考数学二轮复习讲练专题18 圆锥曲线高频压轴解答题（16大题型）（练习）（2份打包，原卷版+解析版）

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目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156939772" 01 轨迹方程 PAGEREF _Tc156939772 \h 2
\l "_Tc156939773" 02 向量搭桥进行翻译 PAGEREF _Tc156939773 \h 3
\l "_Tc156939774" 03 弦长、面积背景的条件翻译 PAGEREF _Tc156939774 \h 4
\l "_Tc156939775" 04 斜率之和差商积问题 PAGEREF _Tc156939775 \h 5
\l "_Tc156939776" 05 弦长、面积范围与最值问题 PAGEREF _Tc156939776 \h 6
\l "_Tc156939777" 06 定值问题 PAGEREF _Tc156939777 \h 7
\l "_Tc156939778" 07 定点问题 PAGEREF _Tc156939778 \h 9
\l "_Tc156939779" 08 三点共线问题 PAGEREF _Tc156939779 \h 10
\l "_Tc156939780" 09 中点弦与对称问题 PAGEREF _Tc156939780 \h 11
\l "_Tc156939781" 10 四点共圆问题 PAGEREF _Tc156939781 \h 12
\l "_Tc156939782" 11 切线问题 PAGEREF _Tc156939782 \h 14
\l "_Tc156939783" 12 定比点差法 PAGEREF _Tc156939783 \h 15
\l "_Tc156939784" 13 齐次化 PAGEREF _Tc156939784 \h 16
\l "_Tc156939785" 14 极点极线问题 PAGEREF _Tc156939785 \h 17
\l "_Tc156939786" 15 同构问题 PAGEREF _Tc156939786 \h 18
\l "_Tc156939787" 16 蝴蝶问题 PAGEREF _Tc156939787 \h 20
01 轨迹方程
1．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条浙近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，在直线 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线右支于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线左支于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，求证：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上.
2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的长轴长是短轴长的2倍，直线 SKIPIF 1 < 0 被椭圆截得的弦长为4．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设M，N，P，Q为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，且四边形MNPQ为菱形，原点О在直线MN上的垂足为点H，求H的轨迹方程．
3．（2024·福建莆田·统考一模）曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离与它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比等于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 内切圆的圆心在定直线上．
02 向量搭桥进行翻译
4．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的倒数，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)当过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于两个不同点 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
5．（2024·上海奉贤·统考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，直角坐标原点记为 SKIPIF 1 < 0 ．设点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作倾斜角为锐角的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，判别椭圆上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得非零向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 平行，请说明理由．
6．（2024·云南昆明·高三统考期末）已知动点P到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离和它到直线 SKIPIF 1 < 0 距离之比为2；
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
03 弦长、面积背景的条件翻译
7．（2024·陕西榆林·统考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且点A不在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 上任意一点到两焦点的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)在（1）的条件下，若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为坐标原点)，分别延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积是否为定值？若为定值，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积，若不为定值，请说明理由.
9．（2024·上海·高三上海市大同中学校考期末）已知双曲线H： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，左、右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，椭圆E以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点，以 SKIPIF 1 < 0 为长轴．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)设椭圆E交y轴于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值；
(3)设点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明： SKIPIF 1 < 0 为定值，并求出此定值．
04 斜率之和差商积问题
10．（2024·贵州铜仁·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过动点 SKIPIF 1 < 0 作x轴垂线，分别与 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于P，Q点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立（其中O为坐标原点）．
(1)求M点的轨迹方程，并求出当 SKIPIF 1 < 0 为何值时M点的轨迹为椭圆；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与轨迹M交于y轴右侧C，D两点，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之比为定值．
11．（2024·安徽·高三校联考期末）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线C上一点，点Q是PF的中点，且Q到抛物线C的准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：OA，OB的斜率之差的绝对值为定值．
12．（2024·海南海口·统考模拟预测）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点到渐近线的距离为2.直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的两支于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标.
05 弦长、面积范围与最值问题
13．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的范围.
14．（2024·河南·统考模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，其中 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值．
15．（2024·上海嘉定·统考一模）抛物线 SKIPIF 1 < 0 上有一动点 SKIPIF 1 < 0 ．过点P作抛物线的切线l，再过点P作直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，直线m和抛物线的另一个交点为Q．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求切线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程；
(2)当直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线准线的交点在x轴上时，求三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积（点O是坐标原点）；
(3)求出线段 SKIPIF 1 < 0 关于s的表达式，并求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
06 定值问题
16．（2024·全国·模拟预测）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，P为椭圆C上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设不过点P的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于A，B两点，A关于原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 ，PB， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为k， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率k为定值.
17．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点．若 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点（不同于双曲线的顶点），问： SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
18．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 是抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率不为零的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)问在平面内是否存在一定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
07 定点问题
19．（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）设抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .当直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程.
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
20．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的右焦点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)经过椭圆右焦点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为零的动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，试问 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在异于点 SKIPIF 1 < 0 的定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，若不存在，说明理由.
21．（2024·四川甘孜·统考一模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 的准线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，且交 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴于点 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 上的动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离与到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之和的最小值为3.
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
08 三点共线问题
22．（2024·广东·高三校联考阶段练习）点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的焦点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，过点 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的两个不同的点，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线．
23．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，当 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的另一交点为 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 三点共线.
24．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知A，B为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP与直线BP的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆C过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线AP，BP分别与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于M，N两点，且直线BM与椭圆C交于另一点Q，证明：A，N，Q三点共线．
09 中点弦与对称问题
25．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)是否存在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，使得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．
26．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切并且与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)是否存在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，使得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．
27．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且点F到C的左、右顶点的距离之积为5．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F作斜率乘积为 SKIPIF 1 < 0 的两条直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与C交于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 与C交于D，E两点，线段AB，DE的中点分别为M，N．证明：直线MN与x轴交于定点，并求出定点坐标．
10 四点共圆问题
28．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，过 SKIPIF 1 < 0 上的动点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两渐近线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .

(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)如图，曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 位于原点与右顶点之间，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，直线DG,DR分别与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标.
29．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D在C上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)设C的左顶点为A，直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点P，过P作直线交C于G，H两点直线AG，AH分别与l交于M，N两点，O为坐标原点，证明：O，A，N，M四点共圆．
30．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知动圆M过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点P，点B为曲线C上异于顶点 SKIPIF 1 < 0 的动点，直线PB交曲线C于另一点D，直线BO和DO分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于点S和T．若 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
11 切线问题
31．（2024·河南周口·高三校联考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 在离心率为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于点 SKIPIF 1 < 0 的两点．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 两点分别作椭圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，这两条切线的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
32．（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图所示，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 .点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，由点 SKIPIF 1 < 0 引椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，A、B为切点， SKIPIF 1 < 0 是坐标原点.
(1)若点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，求证：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值.（注：椭圆 SKIPIF 1 < 0 在其上一点处 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ）
33．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 内，已知定点 SKIPIF 1 < 0 ，定直线 SKIPIF 1 < 0 ，动点P到点F和直线l的距离的比值为 SKIPIF 1 < 0 ，记动点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程．
(2)以曲线E上一动点M为切点作E的切线 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线l交于点N，试探究以线段MN为直径的圆是否过x轴上的定点．若过定点．求出该定点坐标；若不过，请说明理由．
12 定比点差法
34．（2024·吉林·统考一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F到其准线的距离为4，椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F．
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程及a；
(2)已知O为坐标原点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，点N满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率．
35．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．经过椭圆的左焦点F，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
36．（2024·安徽合肥·统考一模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上位于第一象限内的任意一点，过 SKIPIF 1 < 0 三点的圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）当过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于不同点 SKIPIF 1 < 0 时，在线段 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 总在某定直线上.
13 齐次化
37．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为上的两个不同的动点， SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
38．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点．若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
39．如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点P，Q（均异于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．
14 极点极线问题
40．（2024·江苏南通·高二统考开学考试）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）实轴端点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为2，过 SKIPIF 1 < 0 点且斜率1的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，试探究直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
41．（2024·安徽六安·校联考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．
42．（2024·北京海淀·统考模拟预测）已知椭圆M： SKIPIF 1 < 0 （a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．
15 同构问题
43．（2024·广东广州·统考一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为2，圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相切，且圆心 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合.
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 外一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，分别交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于两个不同的点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 .且 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 在一条定曲线上.
44．（2024·湖北襄阳·襄阳五中校考一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求圆心 SKIPIF 1 < 0 到抛物线 SKIPIF 1 < 0 准线的距离；
（2）已知点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点（异于原点），过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
45．（2024·内蒙古呼和浩特·统考一模）拋物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l： SKIPIF 1 < 0 交C于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．已知点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与直线l相切．
(1)求抛物线C和 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是C上的两个点，且直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均与 SKIPIF 1 < 0 相切．判断直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由．
46．（2024·浙江杭州·高二萧山中学校考期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
(1)已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作两条直线分别交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并且都与动圆 SKIPIF 1 < 0 相切，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点，并求出定点坐标.
16 蝴蝶问题
47．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，B，A是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若直线PQ过定点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
48．（2024·江苏宿迁·高二统考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 .求证：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点，并求出定点坐标.
49．如图，椭圆的长轴 SKIPIF 1 < 0 与x轴平行，短轴 SKIPIF 1 < 0 在y轴上，中心为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于两点 SKIPIF 1 < 0 ；直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)对于（2）中的中的在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点，求证： SKIPIF 1 < 0 （证明过程不考虑 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的情形）