新高考数学二轮复习02选填题之函数的图像与性质（2份打包，原卷版+解析版）

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1．重点考查函数的奇偶性与单调性及利用函数性质解函数不等式、方程解的个数问题，注意函数周期性这一点的复习．
2．函数图象部分仍以考查图像识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象解函数不等式或函数零点问题
题型一、函数图像的识别问题
1．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，所以选项C，D错误；
又当时，，所以选项B错.
本题选择A选项.
2．函数y＝1+x的部分图象大致为（ ）
【答案】D．
【解答】解：函数y＝1+x，可知：f（x）＝x是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
则函数y＝1+x的图象关于（0，1）对称，
当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x＝π时，y＝1+π，排除B．
故选：D．
3．函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值，即可判断；
【详解】解：因为，定义域为，，即且，即为非奇非偶函数，故排除A，D；
又，故排除B；
故选：C
题型二、函数的四大性质
考点1.单调性、奇偶性
1．函数y＝lga（x2﹣ax+2）在区间（﹣∞，1]上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．[2，+∞）C．[2，3）D．（1，3）
【答案】C
【解答】解：若0＜a＜1，则函数在区间（﹣∞，1]上不是单调函数，不符合题意；
若a＞1，则t＝x2﹣ax+2在区间（﹣∞，1]上为减函数，且t＞0
∴，2≤a＜3
即a的取值范围是[2，3）
故选：C．
2．设a＞0，a≠1，函数f（x）＝lga（x2﹣2x+3）有最小值，则不等式lga（x﹣1）＞0的解集为 （2，+∞） ．
【答案】（2，+∞）
【解答】解：由a＞0，a≠1，函数f（x）＝lga（x2﹣2x+3）有最小值可知a＞1，所以
不等式lga（x﹣1）＞0可化为x﹣1＞1，即x＞2．
故答案为：（2，+∞）
3．已知，则等于______．
【答案】
【详解】对任意的，，则，故函数的定义域为，
因为．
所以，．
故答案为：.
4．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1在[﹣1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ ．
【答案】4．
【解答】解：∵f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1＝[（x﹣1）2﹣1]sin（x﹣1）+x﹣1+2
令g（x）＝（x﹣1）2sin（x﹣1）﹣sin（x﹣1）+（x﹣1），
而g（2﹣x）＝（x﹣1）2sin（1﹣x）﹣sin（1﹣x）+（1﹣x），
∴g（2﹣x）+g（x）＝0，
则g（x）关于（1，0）中心对称，则f（x）在[﹣1，3]上关于（1，2）中心对称．
∴M+m＝4．
故答案为：4．
5．已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（﹣lg25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【答案】C．
【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）＝0，且f′（x）＞0，
∴g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）＝xf（x）偶函数，
∴a＝g（﹣lg25.1）＝g（lg25.1），则2＜lg25.1＜3，1＜20.8＜2，
由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（lg25.1）＜g（3），
∴b＜a＜c，
故选：C．
6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有，记，，，则（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．b＜c＜a
【答案】A．
【解答】解：不妨设：x1＞x2＞0，由题意可得：，
同理，当0＜x1＜x2 时有 ，
据此可得函数 在区间（0，+∞）上单调递减，且函数g（x）是偶函数，
因此 ，
，
，
即 a＜c＜b，
故选：A．
7．已知函数f（x）＝x3﹣2x+ex，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 [﹣1，] ．
【答案】[﹣1，]．
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+ex的导数为：
f′（x）＝3x2﹣2+ex2+20，可得f（x）在R上递增；
又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex0，可得f（x）为奇函数，
则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）
由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），
f（2a2）≤f（1﹣a），
即有2a2≤1﹣a，
解得﹣1≤a，
故答案为：[﹣1，]．
8．设函数f（x）＝ln（1+|x|），则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1）C．（） D．（﹣∞，）
【答案】B．
【解答】解：∵函数f（x）＝ln（1+|x|）为偶函数，且在x≥0时，f（x）＝ln（1+x），
导数为f′（x）0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，
解得：x＜1，
所求x的取值范围是（，1）．
故选：B．
考点2.周期性、对称性
1．已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y＝f（x+2）为偶函数，则关于x的不等式
f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，）∪（2，+∞）B．（，2）
C．（﹣∞，）∪（2，+∞）D．（，2）
【答案】D．
【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y＝f（x+2）为偶函数，
∴y＝f（x+2）关于x＝0对称，即函数f（x+2）在（0，+∞）上为减函数，
由f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得f（2x﹣1）＞f（x+1），
即f（2x﹣3+2）＞f（x﹣1+2），
即|2x﹣3|＜|x﹣1|，平方整理得3x2﹣10x+8＜0，
即x＜2，
即不等式的解集为（，2），
故选：D．
2．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x+2），当x＞1时f（x）单调递增，如果x1+x2＞2且
（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，则f（x1）+f（x2）的值（ ）
A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负
【答案】B．
【解答】解：∵f（﹣x））＝﹣f（x+2），∴函数f（x）的图象关于（1，0）对称，
∵x＞1时f（x）单调递增，∴函数f（x）在R上单调递增且f（1）＝0
∵x1+x2＞2，∴（x1﹣1）+（x2﹣l）＞0
∵（x1﹣1）（x2﹣l）＜0
∴不妨设x1＜x2，则x1＜1，x2＞1，且|x2﹣l|＞|x1﹣1|
由函数的对称性，∴f（x1）+f（x2）＞0
故选：B．
3．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+
f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）
A．﹣50B．0C．2D．50
【答案】B．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）＝2，
∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，
故选：C．
4．已知奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），且当x∈[﹣3，0）时，，则
f（2018）＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D．
【解答】解：∵奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），
∴f（x+6）＝f（x），
∵当x∈[﹣3，0）时，，
∴f（2018）＝f（336×6+2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣{}．
故选：D．
5．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，则f（）＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D．
【解答】解：∵f（x+1）为奇函数，∴f（1）＝0，且f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），
∵f（x+2）偶函数，∴f（x+2）＝f（﹣x+2），
∴f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x），
∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x）．
令t＝﹣x，则f（t+2）＝﹣f（t），
∴f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），∴f（x+4）＝f（x）．
当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．
f（0）＝f（﹣1+1）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，
f（3）＝f（1+2）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝a+b，
又f（0）+f（3）＝6，∴﹣3a＝6，解得a＝﹣2，
∵f（1）＝a+b＝0，∴b＝﹣a＝2，
∴当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣2x2+2，
∴f（）＝f（）＝﹣f（）＝﹣（﹣22）．
故选：D．
6．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则f（k）＝（ ）
A．﹣21B．﹣22C．﹣23D．﹣24
【答案】D．
【解答】解：∵y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，则g（2﹣x）＝g（2+x），
∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，
∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，
∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，
∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期为4，
由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，
所以f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣24，
故选：D．
题型三、函数的性质综合
1．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
2．已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在定义域上单调递减
D．若实数a，b满足，则
【答案】ABD
【详解】对于A选项，对任意的，，
所以函数的定义域为，
又因为
，所以，故A正确；
对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，
，
即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确；
对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D正确.
故选：ABD.
3．设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（ ）
A．B．4031C．D．8062
【答案】C
【详解】∵，
∴当时，，
∴根据对称中心的定义，可得当时，恒有，
∴
．
故选：C．
4．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：A.
5．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，可得，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
由，故时，，B正确；
可构造函数，满足题意，此时，A错误；
，C错误；，D错误.
故选：B.
6．设f（x）＝3x，f（x）＝g（x）﹣h（x），且g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，若存在实数m，使得当x∈[﹣1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0恒成立，则m的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A．
【解答】解：f（x）＝g（x）﹣h（x）＝3x①，
所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣h（﹣x）＝3﹣x，
又g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，
则g（x）+h（x）＝3﹣x②，
由①②可得，，，
因为g（x）＞0，则不等式mg（x）+h（x）≥0对于x∈[﹣1，1]恒成立，
即对于x∈[﹣1，1]恒成立，
令t＝32x，则t∈，
所以m（t），
因为m（t）在上单调递增，则m（t）max＝m（9），
所以m，则m的最小值为．
故选：A．
7．已知函数的定义域为，且，则 ＝（ ）
A．－3B．－2C．0D．1
【答案】D
【详解】因为，由，
令,则
即①
所以②
①②相加得：，
所以
所以函数的一个周期为6
令，则
令，则
又
所以，，，
所以
所以有由周期性得：
故选：D.
8．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，……由此可得
由此作出函数的图象，如图所示．
由图可知当时，令，整理，得，解得或，将这两个值标注在图中．要使对任意都有，必有，即实数m的取值范围是.
故选：B．
9．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数．若方程在区间上有四个不同的根，，，，则等于( )
A．B．C．D．4
【答案】C
【详解】解：定义在上的奇函数，，
∵，∴f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以f(x)周期；
又∵f(x)是R上奇函数，∴由，得f(4－x)＝f(x)，∴f(x)关于直线对称；
再结合f(x)在区间，上是增函数和以上信息，作出函数图像：
根据图像，可得，，
，
故选：C
10．已知函数是以4为周期的奇函数，当时，，若数在区间上有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【详解】解：由题意知，是定义在上的奇函数，
所以，即是函数的零点，
因为是定义在上且以为周期的周期函数，
所以，且，则，
即也是函数的零点，
因为函数在区间上的零点个数为，
且当时，，
所以当时，恒成立，且在有一解，
即或，
解得或.
故选：D.
11．设函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x﹣2）+f（x）＝0．当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x3，则下列结论中正确的是（ ）
A．8是函数y＝f（x）的周期
B．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称
C．当x∈[1，3]时，f（x）＝（2﹣x）3
D．函数y＝f（x）的图象关于点（2，0）对称
【答案】ACD．
【解答】解：函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x﹣2）+f（x）＝0．
当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x3，
∵函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），∵f（x﹣2）+f（x）＝0对一切x∈R都成立，
∴f（x﹣4）＝f（x），即f（x+4）＝f（x）∴函数y＝f（x）是以4为周期的周期函数，故是函数y＝f（x）的周期，故A正确；
∵f（x﹣2）+f（x）＝0，即f（x﹣2）＝﹣f（x），即f（2﹣x）＝f（x），
∴f（1+x）＝f（1﹣x），∴函数y＝f（x）的图象关于x＝1对称，故B不正确；
当x∈[1，3]时，x﹣2∈[﹣1，1]，f（x﹣2）＝（x﹣2）3＝﹣f（x），∴f（x）＝（2﹣x）3，故C正确；
∵当x∈[1，3]时，f（x）＝（2﹣x）3，∴f（2）＝0，
∵f（x﹣2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），∴f（﹣x﹣2）＝﹣f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（x﹣2），
∴f（x+2）＝﹣f（2﹣x），∴函数y＝f（x）的图象关于（2，0）对称，故D正确，
故选：ACD．
12．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞）且f（x•y）＝f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0，且，下列说法正确的是（ ）
A．f（1）＝0
B．函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
C．
D．满足不等式f（x）﹣f（x﹣1）≥2的x的取值范围为
【答案】ACD．
【解答】解：对于A，f（x•y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1），所以f（1）＝0，故选项A正确；
对于B，令，可得，
所以，
令0＜x1＜x2，则，
因为，所以，
则f（x2）＞f（x1），所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，故选项B错误；
对于C，f（1）+f（1）+•••+f（1）＝0，故选项C正确；
对于D，因为，
由，则，
所以f（9）＝f（3）+f（3）＝2，
则不等式f（x）﹣f（x﹣1）≥2，等价于f（x）f（9），即，
因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以，解得，
则满足不等式f（x）﹣f（x﹣1）≥2的x的取值范围为，故选项D正确．
故选：ACD．