新高考数学二轮复习08.选填题之平面向量（2份打包，原卷版+解析版）

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平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．
平面向量的数量积也一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.
题型一、线性运算、平面向量基本定理
1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
（），
故选：A．
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由AB＝2AD＝2DC知：
∵，
∴，
故A选项正确．
又∵，
∴，
故B选项正确．
∵，
∴，
故C正确．
∵ ，
D不正确．
故选：ABC．
3．如图，△ABC中，∠ABC，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，分别交AD，AC于E，F，若AF＝6，BC＝8，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意得，AD平分∠BAC，AE⊥BF
∴AB＝AF＝6，E为BF的中点，
又BC＝8，∠ABC
∴AC＝10，
∴（）；
故选：A．
4．如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中 ，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为是的中线，是上的一点，且，
所以是的重心，
则，
又因为，
所以，，可得，
故选：C.
题型二、向量共线定理
考点1.三点共线定理
1．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2，，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点
∵2，，
∴，
∴λ，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵P是BN上的一点，
设，由，
则
∴m＝1﹣λ，
解得λ，m
故选：D．
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵由题意可得△DEF∽△BEA，
∴，再由AB＝CD可得 ，
∴．
作FG平行BD交AC于点G，
∴，
∴．
∵，
∴，
故选：B．
4．如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连接，，交于点，若（，），则 ．

【答案】
【详解】根据平行线分线段成比例可得 而
故
即答案为.

考点2.等和线
1．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵△ABC中，，
点P满足，∴∴
∵，（λ＞0，μ＞0），
∴
因为B，P，C三点共线，所以，，λ＞0，μ＞0
∴λ+μ＝（λ+μ）（）＝11
当且仅当μλ时取“＝”，则λ+μ的最小值为
故选：B．
2．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若xy，其中x，y∈R，则x+y的最大值是 2 ．
【解答】解：【方法一】建立如图所示的坐标系，
则A（1，0），B（cs120°，sin120°），
即B（，）．
设∠AOC＝α，则（csα，sinα）．
∵xy（x，0）+（，y）＝（csα，sinα）；
则，
解得，
∴x+ysinα+csα＝2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．
∴x+y有最大值2，当α＝60°时取最大值2．
【解法二】xy，
∴x2+y2+2xy•x2+y2+2xycs120°＝x2+y2﹣xy，
∴x2+y2﹣xy＝1，
∴（x+y）2﹣3xy＝1，
∴（x+y）2﹣1＝3xy≤3•，
∴•（x+y）2≤1，
解得x+y≤2．
故答案为：2．
3．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．2
【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（csθ+1，sinθ+2），根据λμ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC＝2，CD＝1，
∴BD
∴BC•CDBD•r，
∴r，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2，
设点P的坐标为（csθ+1，sinθ+2），
∵λμ，
∴（csθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），
∴csθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，
∴λ+μcsθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选：A．
4．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正数），则的最小值为（ ）

A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，，，，则，，，
设，
则.
因为，
所以，消去，得，
因为，，所以，
当且仅当，结合，即时等号成立.
故的最小值为.
故选：D
题型三、数量积
考点1.利用数量积求角
1．已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
2．下列说法中错误的为（ ）
A．已知，且与夹角为锐角，则λ的取值范围是
B．已知，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若与平行，则在方向上的投影数量为
D．若非零，满足，则与的夹角是60°
【答案】ACD
【详解】对于A,
因为与的夹角为锐角,
所以
若与同向，则（），
所以解得
所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为, 故A错误.
对于B, 因为,所以向量, 即共线,
故不能作为平面内所有向量的一组基底,故B正确.
对于C, 与平行，则与的夹角为或，则在方向上的投影数量为或，即在方向上的投影数量为，故C错误
对于D, 因为, 两边平方得,
故
而向量的夹角范围为, 得与的夹角为, 故D错误.
故选: ACD
考点2.平方处理绝对值问题
1．已知平面向量，的夹角为，且则 1
【解答】解：由（，1），得||2，
又平面向量，的夹角为，且，
所以2•4﹣2×2×||×cs3，
化简得21＝0，
解得1．
故答案为：1．
2．已知，点C在线段AB上，且的最小值为1，则（t∈R）的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：由于||，则△OAB时等腰三角形，
当OC⊥AB时，取最小值，此时||＝|cs∠AOC＝2cs∠AOC＝1，
所以，，，
所以，|t，
因此，当时，|的最小值为，
故选：B．
3．已知平面向量、、满足||＝2，||＝1，，，则||的最大值为 2 ．
【解答】解：∵∥，
∴设，则，且，，
∴，
∴，
∴时，取最大值12，取最大值．
故答案为：．
考点3.几何意义——投影
1．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 18 ．
【分析】设AC与BD交于O，则AC＝2AO，在RtAPO中，由三角函数可得AO与AP的关系，代入向量的数量积||||cs∠PAO可求
【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC＝2AO
∵AP⊥BD，AP＝3，
在Rt△APO中，AOcs∠OAP＝AP＝3
∴||cs∠OAP＝2||×cs∠OAP＝2||＝6，
由向量的数量积的定义可知，||||cs∠PAO＝3×6＝18
故答案为：18
2．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（ ）
A．B．C．（0，2]D．
【解答】解：如图所示，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最小，此时，则||，
而||没有最大值，
故则的取值范围为[，+∞），
故选：D．
3．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则•的取值范围是 [﹣5，5] ．
【解答】解：如图所示：设∠PAB＝θ，作OM⊥AP，则∠AOM＝θ，
∴sinθ，AM＝5sinθ，AP＝2AM＝10sinθ．
∴10sinθ×1×csθ＝5sin2θ∈[﹣5，5]，
故答案为：[﹣5，5]．
考点4.转换基底
1．在平行四边形ABCD中，AD＝1，，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【解答】解：如图，∵，
又，，
∴．
故选：C．
2．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2．若λ，且⊥，则实数λ的值为 ．
【解答】解：由题意可知：，
因为，
所以，
所以
＝﹣12λ+7＝0
解得λ．
故答案为：．
3．如图，P为△AOB所在平面内一点，向量，，且点P在线段AB的垂直平分线上，向量．若||＝3，||＝2，则的值为 ．
【解答】解：设线段AB的垂直平分线为PH，H为垂足，
则，
则（）•（）（） （32﹣22）+0．
故答案为：．
考点5.建系解决数量积问题
1．在△ABC中BC＝6，BC边上的高AD＝2，点D在线段BC上，则的取值范围是（ ）
A．[﹣5，4）B．[﹣5，4]C．[﹣4，5]D．[﹣4，5）
【解答】解：△ABC中BC＝6，BC边上的高AD＝2，点D在线段BC上，
利用垂直关系，建立平面直角坐标系，如图所示
所以D（0，0），A（0，2），B（x﹣6，0），C（x，0 ）
由于点D为内分点，所以，解得0＜x≤6．
所以，，所以x2﹣6x+4＝（x﹣3）2﹣5，
当x＝3时，最小值为﹣5，当x＝6时，最大值为4．
则的取值范围是[﹣5，4]．
故选：B．
2．在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P在△ABC斜边BC的中线AD上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：以A为坐标原点，以AB，AC方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，
则B（3，0），C（0，4），
设，所以，，，
．故最大值为．
故选：B．
3．已知单位向量的夹角为60°，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，设单位向量（1，0），（cs60°，sin60°）＝（，），且（x，y）；
则23（3x，3y），
由，
∴3，
化简得x21，
它表示圆心为C（0，），半径为1的圆及其内部，如图所示；
由图形知，的最大值为1．
故选：A．
题型四、极化恒等式
1．如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】C
【详解】因为是的中点，，是上的两个三等分点，
所以，，
，，
所以，
，
可得，，
又因为，
所以，
故选：C．
2．如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是 ．
【答案】2
【详解】如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则，
又OMON＋NM＝AD＋AB＝，
当且仅当O，N，M三点共线时取等号．
所以的最大值为2．
故答案为：2.
3．已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
取OC中点D，由极化恒等式得
又，∴的最小值为．
故选:C.
4．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
题型五、奔驰定理
1．已知点O为△ABC内一点，满足，若，则λ＝（ ）
A．﹣2B．C．D．2
【解答】解：如图，设，作平行四边形OAME，其中对角线OM与底边AB相交于点F，
则，
易知△OBF∽△MFA，故，则，
又，故，则，
∴，
∵，
∴λ＝﹣2．
故选：A．
2．设 P、Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设，，则
∵，∴
由平行四边形法则知NP∥AB
∴△ABP的面积与△ABC的面积之比
同理△ABQ的面积与△ABC的面积之比为
∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为
故选：D．
3．点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【详解】如图所示，延长交于，
显然，
由面积关系可得，所以，
而，
所以，
所以，即，
又由题可知，所以，
所以，整理得，
所以，
故选：A
4．在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的3倍．若存在正实数x，y使得（2）（1）成立，则x+y的最小值为 ．
【解答】解：根据题意，如图，连接AC、BD，设AC与BD交于点O，过点B做BE⊥AC交AC于点E，过点D做DF⊥AC交AC于点F．
△ABC的面积是△ACD的面积的3倍．所以BE＝3DF，
根据相似三角形的性质可知，3，
∴，
∴，
设，
∵（2）（1），
∴3（2）＝1，
∴，
∴x+y2，
当且仅当，即x，y时取等号．
故答案为：．
题型六、三角形四心
考点1.重心
1．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足λ（）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解答】解：∵设它们等于t，
∴λ（）
而2
λ（）表示与共线的向量
而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．
故选：C．
2．已知在△ABC和点M满足，若存在实数m使得成立，则m＝ 3 ．
【解答】解：由点M满足，知点M为△ABC的重心，
设点D为底边BC的中点，则
∴
∴m＝3
故答案为：3
3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G为△ABC的重心且满足向量⊥，若atanA＝λcsinB，则实数λ＝ ．
【解答】解：如图，连接AG延长交BC于点D，
由于G为重心，故D为中点，
因为CG⊥BG，
所以DGBC
由重心的性质得：
AD＝3DG，
所以ADBC，
由余弦定理得：
AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cs∠ADC，
AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BDcs∠ADB，
因为∠ADC+∠BDC＝π，
又BD＝CD，
所以AC2+AB2＝2（BD2+AD2），
所以AC2+AB2BC25BC2，
所以b2+c2＝5a2，
可得csA，
由因为atanA＝λcsinB，
所以λ，
故答案为：．
考点2.内心
1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的 内 心．
【解答】解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，
动点P满足，
即P在∠BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．
故答案为：内
2．已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若，则O是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【解答】解：∵，
∴ab（）+c（）＝bc（a+b+c）
而 ，
∴（a+b+c）bc
即
记c，b，其中、分别表示、方向上的单位向量
则 （）
由该式可以看出AO位于∠BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点．
故选：D．
3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，I是△ABC的内心，若m（m，n∈R），则（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：设BC中点为D，以BC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系如图所示：
∵AB＝5，BDBC＝3，∴AD＝4．
∵△ABC是等腰三角形，
∴内心I在线段AD上，设内切圆的半径为r，则tan∠IBD，
∴tan∠ABC，
又tan∠ABC，
∴，解得r或r＝﹣6（舍）．
∴I（0，），又B（﹣3，0），A（0，4），C（3，0），
∴（3，），（3，4），（6，0），
∵m，
∴，解得，
∴．
故选：B．
考点3.外心
1．已知O是△ABC所在平面上一点，若（）•（）•（）•0，则O点是三角形的 外 心．
【解答】解：由（）•0，
即（）•（）＝0，
即0，即有||＝||，
由（）•0，
即（）•（）＝0，
即有0，即有||＝||．
则有||＝||＝||．
则O为三角形ABC的外心．
故答案为：外
2．已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且，若，则m＝ ．
【解答】解：取AB中点D，则有，代入已知式子可得，
由，可得，∴两边同乘，化简得：
m，即，
由正弦定理化简可得，
由sinC≠0，两边同时除以sinC得：csB+csAcsC＝msinC，
∴m ＝sinA＝sin
故答案为：
3．在△ABC中，CA＝2CB＝2，•1，O是△ABC的外心，若xy，则x+y＝ ．
【解答】解：如图所示，
分别取CA，CB的中点D，E．连接OD，OE，
则OD⊥CA，OE⊥CB；
∴•OC•AC•cs∠OCA＝CD•CA＝2，
同理可得：•CE•CB；
又•（xy）•4x﹣y，
•（xy）•x+y，
∴，
解得x，y，
∴x+y．
故答案为：．
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考点4.垂心
1．已知O为△ABC所在平面上一点，且222222，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解答】解：∵2222，
∴2+（）22+（）2，
即222﹣2•222﹣2•，
即••，即•（）•0，
即OC⊥AB，
同理，OB⊥AC，OA⊥BC．
∴O是△ABC的垂心．
故选：D．
2．O是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈R，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点．
则•，
同理，
∵动点P满足，λ∈R．
∴，λ∈R．
∴0，
∴，
因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
故选：D．
3．点O在△ABC所在平面上，若，则点O是△ABC的（ ）
A．三条中线交点B．三条高线交点
C．三条边的中垂线交点D．三条角分线交点
【解答】解：∵，∴，∴，
同理，．
因此点O是△ABC的三条高线的交点．
故选：B．
一、单选题
1．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】.
故选：B
2．已知两个单位向量满足，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，平方可得，又
所以，
所以，
因为，
所以向量的夹角为．
故选：A.
3．在平行四边形中，为的重心，满足，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【详解】如图，设与相交于点，为的重心，

可得为的中点，，
所以，
因为，
所以，则.
故选：A.
4．在矩形中，，，，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】（解法一）以，为基底，
为矩形，且，
，，
，， ，
，
向量在向量方向上的投影数量为.
（解法二）以为原点，，分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，则，，
，
向量在向量方向上的投影数量为.
故选：C.
5．正方形边长为，则（ ）
A．2B．4C．5D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的数量积运算求得正确答案.
【详解】 .
故选：B
6．如图，正方形的边长为4，E为的中点，为边上一点，若，则（ ）

A．B．C．D．5
【答案】D
【详解】如图，建立平面直角坐标系，设，

则，可得，
因为，即，解得，
即，所以.
故选：D.
7．已知圆的半径为1，过圆外一点作一条切线与圆相切于点，，为圆上一个动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】方法一：不妨设圆心，，，，
所以，
因为，
所以.
方法二：如图，过圆心作，且与圆交于点M，N，连接，，
过M，N分别作，，垂足分别为G，H，过作，垂足为，
则在方向上的投影向量为，
则，，
又，所以.
故选：B.

8．已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为，则的最大值为（ ）
A．7B．12C．14D．11
【答案】D
【详解】解：如图所示：

因为，所以AC为圆的直径，
又，则，
设，则，
所以，
所以，
当时，等号成立，
故选：D
9．美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切，
切点为与右半圆相切，切点为.
，其中为在上的投影，
因为，所以.
当与重合时，最大，最大值为，
此时取得最大值，最大值为；
当与重合时，最小，最小值为，
此时取得最小值，最小值为；
故的取值范围是，
故选：B
10．如图，在四边形中，已知，，，点在边上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解法一 由，，，
得，，
所以，，
．
设，则，所以
，
当且仅当时，取得最小值．
解法二： 由，，，
得，，
所以，，
，，
连接，交于点，则易知，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
所以．
设，
则，
所以，
，，
则，
当且仅当时，取得最小值．
解法三 由，，，
得，，
所以，，
，，
如图，
分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，
所以，．
因为点在边上，
所以设，
所以，，
所以
，
当且仅当时，取得最小值．
故选：A.
11．设向量、、满足，，，，则的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】向量、、满足，，，
不妨设，，，则，
因为，整理可得，
的几何意义是圆上的点到原点的距离，
而原点也在圆上，
所以，的最大值为圆的直径长，故.
故选：A.
12．在中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以的角平分线与垂直，所以，
因为，,所以，
则．
故选：D
二、多选题
13．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．与的夹角为D．在方向上的投影向量是
【答案】AC
【详解】解：因为，，
所以，则，所以，故A正确；
，所以，故B错误；
，因为，所以，故C正确；
在方向上的投影向量是，故D错误；
故选：AC
14．已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若A，B，C三点共线，则
C．若向量与垂直，则的最小值为1
D．向量与的夹角正切值的最大值为
【答案】AD
【详解】在平面直角坐标系中，令，
由，，得，，则，
对于A，，因此，A正确；
对于B，由三点共线，得，即，
于是，解得，即，B错误；
对于C，，由向量与垂直，得，
而，则，
当且仅当时取等号，C错误；
对于D，令向量与的夹角为，，当时，，，
当时，不妨令，，则，，显然，
，
当且仅当时取等号，D正确.

故选：AD
15．点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，且，则
C．若，，则的取值范围为
D．若，则
【答案】BCD
【详解】A.由，可知，点共线，
又可知，点在的角平分线上，
所以为的角平分线，与不一定相等，故A错误；
B.若，则点是的中点，点又是的外心，
所以，，故B正确；
C. 因为，所以，如图，建立平面直角坐标系，

设，，，
因为，所以，
得，，
，，
，，则，故C正确；
D.因为，所以，
即，则，
同理，，所以，
设，
因为，所以，
即，则，
，即，
则，
，，故D正确.
故选：BCD
16．（多选）已知，是两个单位向量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对于平面内的任意向量，有且只有一对实数m，n，使
C．已知，，设，，，则
D．若向量满足，则
【答案】AC
【详解】已知，是两个单位向量，且，
则，
则，
对于选项A，∵，∴，即选项A正确；
对于选项B，∵，∴与共线，
∴与不能作为平面向量的一组基底，即选项B错误；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，设与的夹角为，向量满足，
则，
又，
则，
则，即，即选项D错误.
故选：AC．
17．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ）

A．B．
C．存在最小值D．的最大值为
【答案】ABC
【详解】对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故A正确；
对于B，，
则，故B正确；
对于C，如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，
因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，
设，
则，
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最小值，故C正确；
对于D，因为，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，故D错误.
故选：ABC.
18．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABD
【详解】对于A，取的中点D，连接，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确；

对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，
所以，
即，故B正确；

对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，
则有，
所以，
，
，
所以，故C错误；

对于D，如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，

由为的垂心，，则，
又，则，，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题
19．向量在向量上的投影向量为，则 .
【答案】
【详解】因为，
所以向量在向量上的投影向量为，
所以，所以，
所以.
故答案为：
20．如图，在中，，P为CD上一点，且满足 ，则m的值为 ．
【答案】
【详解】因为，即，
所以,
又
所以，解得.
故答案为：.
21．已知向量，，满足，，，则的最大值是 .
【答案】/
【详解】
设，，
，点是的重心，
，
．∴是直角三角形，
又∵，即，
以A为原点，AB所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，，则且，
，，
故
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
22．在中，是边上一点，且，是的中点，过点的直线与两边分别交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为 .
【答案】/
【详解】因为，所以，得.
又是的中点，，，
所以.
因为三点共线，所以，即，且，
所以，
当且仅当,即时，等号成立.
故答案为：
23．已知点在同一平面，且三点不共线，且满足，其中，，，则的值为 ，则的面积为 .
【答案】
【详解】因为，
所以，所以，
故，解得.
又因为，所以，
所以；
故答案为：；.
24．在平行四边形中，，向量在方向上的投影为1，且，点在线段上，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
以为原点，为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
因为，向量在方向上的投影为1，
所以，，
所以，
设，则，
所以，
由二次函数性质可知，当时取得最小值1，当时取得最大值3，
所以的取值范围为.
故答案为：
25．如图，在菱形中，，E、F分别为、上的点．，，点M在线段上，且满足， ；若点N为线段上一动点，则的取值范围为 ．
【答案】 ,．
【详解】由可得，
所以,
设，,，
，
所以，
，
所以
，
因为,，所以,，
故答案为：；,．