新高考数学二轮复习专题3-1三角函数图像与性质（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22736" 题型01三角函数单调性 PAGEREF _Tc22736 \h 1
\l "_Tc19078" 题型02 求周期 PAGEREF _Tc19078 \h 3
\l "_Tc11553" 题型03 非同名函数平移 PAGEREF _Tc11553 \h 6
\l "_Tc22024" 题型04 对称轴最值应用 PAGEREF _Tc22024 \h 8
\l "_Tc16732" 题型05 对称中心最值应用 PAGEREF _Tc16732 \h 11
\l "_Tc1210" 题型06 辅助角最值 PAGEREF _Tc1210 \h 14
\l "_Tc17473" 题型07 正余弦换元型最值 PAGEREF _Tc17473 \h 17
\l "_Tc23483" 题型08 一元二次型换元最值 PAGEREF _Tc23483 \h 20
\l "_Tc31308" 题型09 分式型最值 PAGEREF _Tc31308 \h 21
\l "_Tc31241" 题型10 最值型综合 PAGEREF _Tc31241 \h 23
\l "_Tc2355" 题型11 恒等变形：求角 PAGEREF _Tc2355 \h 25
\l "_Tc3720" 题型12恒等变形：拆角求值（分式型） PAGEREF _Tc3720 \h 27
\l "_Tc3133" 题型13 恒等变形：拆角求值（复合型） PAGEREF _Tc3133 \h 29
\l "_Tc14193" 题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶） PAGEREF _Tc14193 \h 31
\l "_Tc8334" 高考练场 PAGEREF _Tc8334 \h 33

题型01三角函数单调性
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都单调递增的一个区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 增加到 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 从0递减到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递增到1，
所以 SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递减到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递减到 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 增加到 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递减到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 从1递减到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递增到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递减到 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 增加到 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递减到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递减到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递增到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递减到 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
当 SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 增加到 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 从-1递增到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递减到0，
所以 SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递增到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 递增到 SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
故选：D
【典例1-2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则f（x）（ ）
A．在（0， SKIPIF 1 < 0 ）单调递减B．在（0，π）单调递增
C．在（— SKIPIF 1 < 0 ，0）单调递减D．在（— SKIPIF 1 < 0 ，0）单调递增
【答案】D
【分析】先用诱导公式化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，再将选项代入检验，求出正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不单调，AB错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故D正确故选：D
【变式1-1】（2022上·福建莆田·高三校考）函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，取 SKIPIF 1 < 0 单调增的部分，
所以可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 答案：A.
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 在下列某个区间上单调递增，这个区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由二倍角公式结合辅助角公式化简可得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，求出其单调增区间，结合选项，即可判断出答案.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.故选：A
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.
【详解】若函数 SKIPIF 1 < 0 区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 是区间，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件,故选：A.
.
题型02 求周期
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期（ ）
A．与 SKIPIF 1 < 0 有关，且与 SKIPIF 1 < 0 有关B．与 SKIPIF 1 < 0 有关，但与 SKIPIF 1 < 0 无关
C．与 SKIPIF 1 < 0 无关，且与 SKIPIF 1 < 0 无关D．与 SKIPIF 1 < 0 无关，但与 SKIPIF 1 < 0 有关
【答案】D
【分析】根据三角函数的周期性，结合周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数这一结论，解答即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ，其最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，其最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以对于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小正周期都为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ，其最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，其最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，其最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期与 SKIPIF 1 < 0 无关，但与 SKIPIF 1 < 0 有关.
故选：D.
【典例1-2】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的个数是（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可.
【详解】画出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：

由图可知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
对于 SKIPIF 1 < 0 而言， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期不是 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
对于 SKIPIF 1 < 0 而言， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期不是 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
对于 SKIPIF 1 < 0 而言， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期不是 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；综上所述，满足题意的函数的个数有1个.故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】确定 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.
【详解】对选项A： SKIPIF 1 < 0 ，函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函数为偶函数，排除；
对选项B： SKIPIF 1 < 0 ，函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函数为偶函数，排除；
对选项C： SKIPIF 1 < 0 ，函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函数为偶函数，排除；
对选项D： SKIPIF 1 < 0 ，函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，函数为奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，满足条件；
故选：D.
【变式1-2】（2023·广东·统考二模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，则“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为周期函数”是“ SKIPIF 1 < 0 为周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可.
【详解】两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数，则有周期，若不为有理数，则无周期.
SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时，只有周期的整数倍才是函数的周期，则不是充分条件；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为周期函数，但 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为周期函数不正确，故不是必要条件；因此为不充分不必要条件.故选：D
【变式1-3】（2023上·江苏·高三专题练习）在函数① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，④ SKIPIF 1 < 0 中，最小正周期为π的函数有（ ）
A．①③B．①④
C．③④D．②③
【答案】D
【分析】根据函数图象的翻折变换和周期公式可得.
【详解】①由余弦函数的奇偶性可知， SKIPIF 1 < 0 ，最小值周期为 SKIPIF 1 < 0 ；
②由翻折变换可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图：
由图知 SKIPIF 1 < 0 的最小值周期为 SKIPIF 1 < 0 ；
③由周期公式得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值周期为 SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 的最小值周期为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
题型03 非同名函数平移
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，只需将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象（ ）
A．先向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．先向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】B
【解析】根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可判断.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 先向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到 SKIPIF 1 < 0 的图象.
故选：B.
【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，只需将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象（ ）
A．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度B．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度
【答案】C
【分析】把 SKIPIF 1 < 0 化成 SKIPIF 1 < 0 可得平移的发现及其长度.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以要得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
只需把函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有的点向左平移1个单位长度.
故选：C.
【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，只需将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象（ ）
A．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位B．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位
C．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位D．向右平栘 SKIPIF 1 < 0 个单位
【答案】C
【解析】由题意利用函数 SKIPIF 1 < 0 的图象变换规律，得出结论．
【详解】解：要得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
只需将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位即可，
故选：C．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）为得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，只需将函数 SKIPIF 1 < 0 图象上所有的点（ ）
A．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度B．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
C．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度D．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
【答案】D
【分析】先得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平移变换求解.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
将其图象上所有的点向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象.A，B，C都不满足.故选：D
【变式1-3】（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，为了得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位B．向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位
C．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位D．向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位
【答案】C
【分析】根据诱导公式 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可得到平移方法.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以为了得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象只需将y=f（x）的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位.
故选：C
题型04 对称轴最值应用
【解题攻略】
【典例1-1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
湖北省荆州市沙市中学2021-2022学年高三上学期数学试题
【答案】B
【分析】
结合三角恒等变换求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值，并求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取得最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
依题意，存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是整数， SKIPIF 1 < 0 为奇数，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角函数对称性列方程求解即可．
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故答案为 SKIPIF 1 < 0
【变式1-1】已知把函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，若 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
先化简函数 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据图像的变换得函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式，通过判断得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同时令 SKIPIF 1 < 0 取得最大值或最小值时， SKIPIF 1 < 0 ，再结合函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．将图象向右平移至 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同时令 SKIPIF 1 < 0 取得最大值或最小值时， SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
根据函数的图象可知 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 个周期的长度，即 SKIPIF 1 < 0
故选：C.
【变式1-2】（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）.将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
根据三角函数平移变换,先求得 SKIPIF 1 < 0 的解析式.根据 SKIPIF 1 < 0 ,可知 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .根据 SKIPIF 1 < 0 可分别求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值和 SKIPIF 1 < 0 的最小值,即可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】
根据平移变换将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 SKIPIF 1 < 0 ,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,
可得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ,
可知 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
故选:A
【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）个单位长度后得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，若使 SKIPIF 1 < 0 成立的a、b有 SKIPIF 1 < 0 ，则下列直线中可以是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴的是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据三角函数平移关系求出 SKIPIF 1 < 0 的解析式，结合 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的关系，结合最小值建立方程求出 SKIPIF 1 < 0 的值即可.
解：将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）个单位长度后得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
即 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 一个取最大值1，一个取最小值−1，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
题型05 对称中心最值应用
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的两条相邻对称轴之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 的对称中心的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据相邻对称轴之间距离可得最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 解析式；利用正弦型函数对称中心的求法可求得对称中心，对比选项可得结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 两条相邻对称轴之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的一个对称中心为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【典例1-2】（2022·天津南开·二模）函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其图象的一个最低点是 SKIPIF 1 < 0 ，距离 SKIPIF 1 < 0 点最近的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴
C． SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增
D． SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，若 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由函数的图像的顶点坐标求出 SKIPIF 1 < 0 ，由周期求出 SKIPIF 1 < 0 ，由最低点求出 SKIPIF 1 < 0 的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质，得出结论．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象的一个最低点是 SKIPIF 1 < 0 ，
距离 SKIPIF 1 < 0 点最近的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故函数关于 SKIPIF 1 < 0 对称，故B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故C正确；
把 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，
若 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误，
故选：C
【变式1-1】．（2022·四川凉山·三模（理））将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，且 SKIPIF 1 < 0 的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为 SKIPIF 1 < 0 ，对于函数 SKIPIF 1 < 0 有以下几个结论：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）它的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称；
（3）它的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称；
（4）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
则上述结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先根据图像平移的性质求出 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式，逐项代入分析即可.
【详解】解：由题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数 SKIPIF 1 < 0 .
对于选项A：由 SKIPIF 1 < 0 的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为 SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以（1）错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时，代入 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，故图像的一条对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ，故（2）正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时，代入 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，故图像的一个对称点是 SKIPIF 1 < 0 ，故（3）正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故（4）正确；
由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为 SKIPIF 1 < 0 个.
故选：C
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象分别向左、向右各平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．3D．6
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，根据函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的对称中心重合，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】解：将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象分别向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后，
可得 SKIPIF 1 < 0
将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象分别向右各平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的对称中心重合，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式1-3】（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 的一个对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 的图像向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后，可以得到偶函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用辅助角公式将函数化简，即可求出函数的对称中心坐标，再根据三角函数的平移变换规则得到 SKIPIF 1 < 0 的解析式，结合函数的奇偶性，求出 SKIPIF 1 < 0 的取值，从而计算可得；
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即函数的对称中心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 的图像向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；故选：D
题型06 辅助角最值
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 可得出不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，化简得出 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两种情况讨论，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【典例1-2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合三角函数的性质可求解.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，周期 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值，则使得不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立的实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，①，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，②，通过①②求出 SKIPIF 1 < 0 的值，再根据三角函数的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出答案．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，①， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
由①得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在第一象限， SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
使 SKIPIF 1 < 0 最小，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）已知当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取到最大值，则 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．奇函数，在 SKIPIF 1 < 0 时取到最小值；B．偶函数，在 SKIPIF 1 < 0 时取到最小值；
C．奇函数，在 SKIPIF 1 < 0 时取到最小值；D．偶函数，在 SKIPIF 1 < 0 时取到最小值；
【答案】B
【分析】由辅助角公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最大值可得
SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据奇偶性并计算 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，故选：B.
【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）若存在正整数m使得关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．
【答案】4
【分析】化简 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不等实根，转化为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不等实根，故 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，+
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不等实根，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不等实根，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
①对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，恒成立．由②得 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：4
题型07 正余弦换元型最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用换元法，令 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用函数的单调性即可求解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又对勾函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合对勾函数的图象，如下：
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】（2022·高三单元测试）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 通过换元将原函数转化为含未知量 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ，再解出函数 SKIPIF 1 < 0 的值域即为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，用换元法化为二次函数求解．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】化简函数f（x），根据f（x）在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围．
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 ，且f(x)在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴在区间 SKIPIF 1 < 0 上,f′(x)=−sin2x+3a(csx−sinx)+2a−1≤0恒成立，∵设 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当x∈ SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,t∈[−1,1]，即−1≤csx−sinx≤1，令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，
原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，令g(t)=t2+3at+2a−2，
只需满足 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，综上，可得实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知实数，若函数的最大值为，则a的值为____________.
【答案】
【分析】
利用换元法，令，结合同角三角函数的平方关系，将函数 SKIPIF 1 < 0 化为关于 SKIPIF 1 < 0 的函数，然后分类求最值.
【详解】设，则，则，
，，
对称轴方程为，当时，，解得（舍）或（舍）；
当时，，
解得.故答案为：.
题型08 一元二次型换元最值
【典例1-1】（2022·高三单元测试）若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值之和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用诱导公式可化简函数为 SKIPIF 1 < 0 ，根据余弦型函数值域的求法可求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合二次函数最值的求法可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值，加和即可求得结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】用二倍角公式及诱导公式将函数化简，再结合二次函数最值即可求得最值.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
故选：B
【变式1-1】（2023下·上海长宁·高三统考）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】分离参数后，求函数的最大值即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则二次函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
因其开口向下，所以 SKIPIF 1 < 0 时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1-2】（2021下·北京·高三校考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的最大值为
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 代入解析式即可求 SKIPIF 1 < 0 的值；利用二倍角公式化简，令 SKIPIF 1 < 0 ，转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，利用二次函数的性质即可求最值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-3】（2021·江西·校联考模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】2
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，换元令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得函数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后利用二次函数的性质求其最值即可
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，且抛物线开口向上，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，
故答案为：2
题型09 分式型最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江绍兴·高三诸暨中学阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 ，最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，变形可得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0
故答案为最大值是 SKIPIF 1 < 0 ， 最小值为 SKIPIF 1 < 0
【典例1-2】（2023上·新疆克拉玛依·高三校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】将函数式化简，利用正弦函数的有界性求出函数的值域；
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1-1】（2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，计算 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1-2】（2020下·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】将函数 SKIPIF 1 < 0 ，变形为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 求解.
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1-3】函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】对 SKIPIF 1 < 0 变形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，利用 SKIPIF 1 < 0 的几何意义求解其取值范围，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时,因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的含义是点 SKIPIF 1 < 0 与单位圆上的点 SKIPIF 1 < 0 的连线的斜率，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，综合得， SKIPIF 1 < 0 ， 故最小值为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
题型10 最值型综合
【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【典例1-2】已知锐角 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为____．
【答案】8
【分析】根据两角差的余弦公式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据基本不等式“1”的活用，计算化简，即可得答案.
【详解】因为锐角 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，此时 SKIPIF 1 < 0 的最小值 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：8
【变式1-1】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 ，及基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【变式1-2】（2022·山东·高三开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据两角和的正切公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【变式1-3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点（0， SKIPIF 1 < 0 ），最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，且最小值为－1.若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则m的取值范围是_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据题意易求 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，由图象过（0， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得函数解析式，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦函数性质及值域，可得 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可.
【详解】
由函数最小值为－1， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因为最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又图象过点（0， SKIPIF 1 < 0 ）,所以 SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦函数的图象与性质可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故填 SKIPIF 1 < 0 .
题型11 恒等变形：求角
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3 SKIPIF 1 < 0 ，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于（ ）
A．30°B．45°C．120°D．60°
【答案】D
【分析】由两角和的正切公式，结合诱导公式可证tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，再结合已知条件求得tan B＝ SKIPIF 1 < 0 ，进而得解.
【详解】由两角和的正切公式变形得：
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)＝－tan C＋tan Atan Btan C，
∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3 SKIPIF 1 < 0 .
∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3 SKIPIF 1 < 0 ，∴tan B＝ SKIPIF 1 < 0 ，B＝60°.故选：D.
【典例1-2】（2023上·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出 SKIPIF 1 < 0 的值，再判断 SKIPIF 1 < 0 的范围即可得解.
【详解】因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
【变式1-1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先对已知等式化简结合 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 ，则可求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后对 SKIPIF 1 < 0 变形化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C
【变式1-2】（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】化切为弦，结合 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 故选：C
【变式1-3】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据给定的等式，利用平方关系及差角的余弦求出 SKIPIF 1 < 0 ，再借助正弦函数的单调性求解作答.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故选：C
题型12恒等变形：拆角求值（分式型）
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·广西·统考一模） SKIPIF 1 < 0 ＝ （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】先求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后，利用 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 的值求解即可
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故选：A
【典例1-2】（2022上·云南昆明·高三东川明月中学校考）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【分析】依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用辅助角公式、二倍角公式及诱导公式计算可得；
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：B
【变式1-1】（2023·四川资阳·统考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】A
【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式1-2】（2023上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【分析】化切为弦通分变形，逆用两角和的正弦公式与二倍角公式化简可得.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
【变式1-3】（20219上·西藏山南·高三山南二中校考阶段练习）求 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A．1B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】化切为弦，通分后变形，利用两角和的正弦及余弦求解．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
题型13 恒等变形：拆角求值（复合型）
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三统考）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用两角和差余弦公式可依次求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【典例1-2】（2023上·陕西渭南·高三统考）已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 都是锐角, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据题意判断 SKIPIF 1 < 0 的范围,从而求出 SKIPIF 1 < 0 的值,将 SKIPIF 1 < 0 写为 SKIPIF 1 < 0 ,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 都是锐角,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选:B
【变式1-1】（2020上·江西·高三奉新县第一中学校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 均为锐角且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 可求得结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 均为锐角且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】（2022下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /－0.8
【分析】已知等式变形为 SKIPIF 1 < 0 ，引入函数 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦函数性质得 SKIPIF 1 < 0 的关系，再结合 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，从而利用诱导公式、二倍角公式求得结论．
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角，
已知条件即为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与已知矛盾，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1-3】（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】结合角度范围及三角函数值，可求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的角度值，进而可求 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，.故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据已知条件求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据两角和与差的三角函数公式，即可得出答案．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
【典例1-2】（2023下·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．-2
【答案】C
【分析】根据正余弦的和差角公式化简，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求解即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
【变式1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】D
【分析】确定 SKIPIF 1 < 0 ，计算得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，计算得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【变式1-2】（2023上·全国·高三专题练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】D
【分析】由两角和与差公式化简后求解．
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 故选：D
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，进行计算即可求解.
【详解】根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
两式分别相加、减，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以上述两式相除，得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
高考练场
1.（2023·江西九江·统考二模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 周期为π，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
B． SKIPIF 1 < 0 周期为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
C． SKIPIF 1 < 0 周期为π，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
D． SKIPIF 1 < 0 周期为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
【答案】B
【分析】根据正弦型函数的正负性、单调性，结合两角和差的正弦公式进行求解即可.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
显然该函数此时在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此函数的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故选：B
2.（2023下·江西九江·高三校考）函数 SKIPIF 1 < 0 的周期不可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中的两个等于零分类，结合三角函数最小正周期，即可判断选项A，B，D；
而若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可化简得出 SKIPIF 1 < 0 ，再分类为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 判断其周期，与假设矛盾，即可证明最小正周期不可能是 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A可能；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B可能；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C可能；
而对于选项D：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
则若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
与题设矛盾，故函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期不可能是 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：D.
3.（2021秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）要得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，只需将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上所有点的
A．横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 (纵坐标不变），再向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
B．横坐标缩短到原来的 SKIPIF 1 < 0 (纵坐标不变），再向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度
【答案】C
【分析】直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换，求出结果
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，就可得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图像.
故选C．
4.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的、有，则______．
【答案】
【分析】
函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象．若对满足的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，讨论，与，两种情况，分别求出值，检验是否符合条件即可.
【详解】因为函数的周期为，函数的图象向右平移个单位后,
得到函数的图象．满足的可知，一个取最大值一个取最小值
因为，若，，
在取最大值，在取得最小值，，
此时，不合题意，，，在取最小值，在，取得最大值，
，此时，满足题意．故答案为．
5.（2022·陕西·西北工业大学附属中学一模（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离求出 SKIPIF 1 < 0 ，由平移得 SKIPIF 1 < 0 利用单调性列出 SKIPIF 1 < 0 的不等式求解即可
【详解】由题意，知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
6.（2022·河南河南·模拟预测（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 .
因为当 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
7.（福建省2021届高三毕业班总复习数学试题）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 和函数 SKIPIF 1 < 0 的图象分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 中点的纵坐标为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
由题意，知 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 .① ；设 SKIPIF 1 < 0 ，②
①、②两式分别平方，相加，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 .
所以线段 SKIPIF 1 < 0 中点的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
8.（2021下·高三课时练习）函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值域为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用平方关系将函数化为 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，配方求值域即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9.（学海导航全国卷大联考2021届高三数学（理）试题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】首先根据换元法将函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值与函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 的最小值，最后利用基本不等式求出函数的最小值即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值与函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 的最小值相同，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值2.故选：B
10.（2021·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，而目标三角函数式可化为 SKIPIF 1 < 0 ，结合基本不等式即可求其最大值.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴由 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立．故 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B.
11.．（2023下·安徽亳州·高三亳州二中校考）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角函数值确定 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符号相同，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．
12.（2022上·辽宁·高三校联考开学考试）化简 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由三角恒等变换与诱导公式求解即可
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
13.（2023上·山东青岛·高三青岛二中校考）已知角 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】根据两角差的正弦、余弦、正切公式化简求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
14.（2023上·上海奉贤·高三校考）若 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平方关系求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用
参数
作用
A
A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.
φ
φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.
ω
ω决定了函数的周期T＝ SKIPIF 1 < 0 .
（2）图象的变换
（1）振幅变换
要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
（2）平移变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的 SKIPIF 1 < 0 _倍（纵坐标不变）即可得到．
求周期方法
直接法：
形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acs（ωx＋φ）函数的周期T＝ SKIPIF 1 < 0 .y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝ SKIPIF 1 < 0
观察法：
形如 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有周期，以及最小正周期的值
3.恒等变形转化法。
4.定义证明法
平移变换：
1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；
2.正到余，余到正：
方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；
方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处。余弦即五点第一点处，本方法是重点）
正余弦对称轴：
最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；
对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值 SKIPIF 1 < 0
正余弦对称中心：
零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标
对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0
SKIPIF 1 < 0
辅助角范围满足： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在同一函数中一般可设 SKIPIF 1 < 0 进行换元．换元时注意新元的取值范围．
SKIPIF 1 < 0 之间的互化关系
1. SKIPIF 1 < 0
2. SKIPIF 1 < 0
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
求复合型角，
以给了函数值的角度为基角来拆角。
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度