2020-2021学年河南省信阳市罗山县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年河南省信阳市罗山县八年级下学期期中数学试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

下列二次根式中，是最简二次根式的是
A. B. C. D.
下列条件中，使不是直角三角形的是
A. ，，B. ：：：：
C. D. ：：：：
下列运算正确的是
A. B. C. D.
如图，在中，，，点在边上，以，为边作▱，则的度数为
A.
B.
C.
D.
若，则代数式的值为
A. B. C. D.
如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长等于
A.
B.
C.
D.
如图，平面内某正方形内有一长为宽为的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数为
A. B. C. D.
如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是
B.
C.
D.
如图，将▱沿对角线折叠，使点落在处，若则为
A.
B.
C.
D.
有一个边长为的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
在式子中，的取值范围是______ ．
已知，、为实数，且，则______．
如图中的每个小方格都是边长为的正方形，那么的度数是______ ．
如图，四边形是面积为的正方形，是等边三角形，图中阴影部分的面积是______ ．
如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一个动点点不与点重合，连接，把沿折叠，使点的对应点总落在边上若是以为腰的等腰三角形，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共76分）
计算：；计算：．
如图，在▱中，于，于，连接和，求证：．
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接．
在图中画出点关于轴的对称点，连接，，并直接写出点的坐标；
在的基础上，试判断的形状，并说明理由．
在轴上，求作一点，使到、两点的和最小．不写过程，保留作图痕迹．
一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．
若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间．
岛在港的什么方向？
如图，在中，，为的中点，，，连接交于点．
证明：四边形为菱形；
若，，求菱形的高．
如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点不与点重合，延长交射线于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
填空：
当的值为______ 时，四边形是矩形；
当的值为______ 时，四边形是菱形．
用“”、“”、“”填空．
______；______；______；______．
由中各式猜想与的大小，并说明理由．
请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？
综合与实践
问题发现：正方形和等腰直角按如图所示的方式放置，点在上，连接，，则，的数量与位置关系为______；
类比探究：如图，正方形保持固定，等腰直角绕点顺时针旋转，旋转角为，请问中的结论还成立吗？说明你的理由；
拓展延伸：在的条件下，若，在等腰直角的旋转过程中，当为最大值时，请直接写出的长．
1.【答案】
【解析】
解：因为的被开方数含有分母，所以它不是最简二次根式，所以选项不符合题意
B.因为含有可以开方的因数，所以它不是最简二次根式，所以不符合题意；
C.因为含有可以开方的因数，所以它不是最简二次根式，所以不符合题意；
D.因为不含有可以开方的因数，也不含有分母，所以选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记定义是解此题的关键，注意：最简二次根式具备以下两个条件：被开方数不含有分母，被开方数的每个因式的指数都小于根指数．
2.【答案】
【解析】
解：、，是直角三角形，不符合题意；
B、，不是直角三角形，符合题意；
C、，是直角三角形，不符合题意；
D、：：：：，，是直角三角形，不符合题意；
故选：．
根据三角形的内角和和勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题考查的是三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理以及三角形内角和是是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】
解：、，无法合并，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
4.【答案】
【解析】
解：，，
，
四边形是平行四边形，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据平行四边形的性质即可得的度数．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
5.【答案】
【解析】
解：，
，
，
，即，
．
故选：．
先移项得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
6.【答案】
【解析】
解：，两点的坐标分别是，，
，，
，
四边形是菱形，
，
菱形的周长，
故选：．
先由勾股定理求出的长，再由菱形的性质即可得出答案．
此题考查菱形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
解：矩形长为宽为，
矩形的对角线长为：，
矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，
该正方形的边长不小于，
，
该正方形边长的最小正数为．
故选：．
根据矩形长为宽为，可得矩形的对角线长为：，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数的值．
本题考查了几何变换的类型，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理求得长度，再利用直角三角形斜边上的中线求得长度，即可得到结论．
【解答】
解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
，
故选B．
9.【答案】
【解析】
解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质和折叠的性质得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出即可．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】
解：由题意得，正方形的面积为，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
同理可得，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为．
故选：．
根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
11.【答案】
【解析】
解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为是解题的关键．
12.【答案】
或
【解析】
解：由题意知，且，
所以．
所以．
所以或
故答案是：或．
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及平方根，正确得出，的值是解题关键．
13.【答案】
【解析】
解：根据勾股定理即可得到：，，，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为：．
根据勾股定理即可求得的三边的长，由勾股定理的逆定理即可判断的形状，进而可得答案．
此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，利用勾股定理求得的三边的长是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】
解：如图，连接，交于，
是等边三角形，四边形是正方形，
，，
垂直平分，
四边形是面积为的正方形，是等边三角形，
，
，
，，
中，，
阴影部分面积，
故答案为：
连接，交于，依据等边三角形和正方形的性质，即可得到的长，依据勾股定理即可得到的长，最后根据阴影部分面积进行计算．
本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理的运用，正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．
15.【答案】
或
【解析】
解：如图中，当时，过点作于．
四边形是矩形，
，，
设，则，
在中，则有，
解得，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
如图中，当时，设．
则，，
在中，则有，
解得或舍弃，
，
，
为或，
故答案为或．
分两种情形分别画出图形，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16.【答案】
解：原式
；
．
【解析】
直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减运算法则计算即可；
直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了实数运算以及二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
17.【答案】
证明：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
≌，
，
，
四边形为平行四边形，
，
．
【解析】
首先证明，再利用平行四边形的性质证明≌，可得，进而可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论．
此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对边相等．
18.【答案】
解：如图所示：
点；
是直角三角形，
理由如下：
点，，，
，，，
，，，
，
是直角三角形；
如图所示，点即为所求．
【解析】
根据三个顶点的坐标，描点、连线即可；
利用勾股定理逆定理求解即可；
作点关于轴的对称点，再连接，与轴的交点即为所求．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
19.【答案】
解：由题意，
中，，得．
．
．
．
小时．
答：从岛返回港所需的时间为小时．
，，
．
．
．
岛在港的北偏西．
【解析】
中，利用勾股定理求得的长度，则；然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间路程速度；
由勾股定理的逆定理推知由方向角的定义作答．
本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．
20.【答案】
证明：，，
四边形是平行四边形，
，是边的中点，
，
四边形为菱形；
解：过点作，垂足为点，如图所示：
即为菱形的高，
，是边的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
又，
在中，．
【解析】
先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形为菱形；
过点作，垂足为点，先证明是等边三角形，得出，，再由平行线的性质得出，在中，由三角函数求出即可．
本题考查了平行四边形的判定、直角三角形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角函数定义；熟练掌握直角三角形的性质是解决问题的关键．
21.【答案】

【解析】
解：证明：四边形是菱形，
，
，，
点是边的中点，
，
在和中，≌，
，
四边形是平行四边形；
当的值为时，四边形是矩形．理由如下：
四边形为菱形，
，
点是边的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
故答案为：；
当的值为时，四边形是菱形．理由如下：
，，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
故答案为：．
由菱形的性质可得，再由点是边的中点，可得，从而可证明≌，则，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；
当的值为时，四边形是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；当的值为时，四边形是菱形．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
22.【答案】

【解析】
解：，
，
，
同理得：；；．
故答案为：，，，；
猜想：，
理由是：，，
，
；
设，，
由题意得：，
，
，
，
，
用来做对角线的竹条至少要厘米．
根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论；
直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；
根据对角线互相垂直的四边形面积相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用的结论得出答案即可．
此题考查了二次根式的实际应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
23.【答案】
，
【解析】
解：延长交于，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
在和中，，
≌，
，，
，，
，
，
；
故答案为：，；
中的结论依然成立，理由如下：
延长交于，交于，如图所示：
，
，，
，
在和中，，
≌，
，，
，，
，
，
；
在等腰直角的旋转过程中，当为最大值时，点在的延长线上，如图所示：
则点在的延长线上，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
延长交于，证明≌，得，，再证，则；
延长交于，交于，证明≌，得，，进而得出；
当为最大值时，点在的延长线上，则点在的延长线上，求出，由勾股定理即可得出的长．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明三角形全等是解题的关键．