2021-2022学年云南省红河哈尼族彝族自治州蒙自市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2021-2022学年云南省红河哈尼族彝族自治州蒙自市九年级上学期数学期末试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图是五个棱长为“1”的小立方块组成的一个几何体，下列选项中是主视图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解：从正面看几何体有3列，第1列有2个正方形，第2列和第3列各有1个，根据以上判断解题即可．
【详解】解：从正面看几何体有3列，第1列有两个正方形，第2列和第3列各有1个，
故选B．
【点睛】本题考查了几何体三视图的问题，掌握几何体三视图的画法是解题的关键．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件
C. 天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨
D. “清明时节雨纷纷”为随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件的定义，对选项中的事件进行判断即可．
【详解】解：A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故原选项判断错误，不合题意；
B．“汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故原选项判断错误，不合题意；
C．“明天降水概率为”，是说明天降水的可能性是，是随机事件，故原选项判断错误，不合题意；
D．“清明时节雨纷纷”为随机事件，故原选项判断正确，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了“不可能事件、随机事件、必然事件”的判断，熟知三种事件的定义并根据实际情况准确判断是解题关键．
3. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. -1或2B. -1C. 2D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值
【详解】解：把x=1代入得：
=0，
，
解得：m1=2，m2=﹣1
∵是一元二次方程，
∴ ，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
4. 如图，四边形内接于，延长交圆于点，连接．若，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，根据直角三角形两个锐角互余求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A. 6人B. 8人C. 10人D. 12人
【答案】C
【解析】
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得，
解方程得（舍去）．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6. 如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是AB的中点，
∴BE=AB=CD；
∵BE∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴．
故选C．
考点：平行四边形的性质.
7. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，则以下结论：①；②对称轴为；③；④．其中正确的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】开口方向，与轴的交点位置，判断①，对称性，求出对称轴，判断②，根据对称轴和特殊点判断③，特殊点，判断④.
【详解】解：由图可知，抛物线的开口向下，与轴交与正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵图象与轴相交于，两点，
∴，对称轴为：；故②错误；
∴，
∴，
∴，即：，故③正确；
由图可知，当时，，故④正确；
综上，正确的有个；
故选A.
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确的识图，从图象上有效的获取信息，掌握二次函数的性质，是解题的关键.
8. 如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）

A. y＝B. y＝C. y＝D. y＝
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
【详解】解：因为在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，所以OC＝2，∠COB＝60°．
如答图，过点C作CD⊥OB于点D，
则OD＝OC·cs∠COB＝2×cs60°＝2×＝1，CD＝OC·sin∠COB＝2×sin60°＝2×＝．
因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（－1，）．
因为顶点C在反比例函数y═的图象上，所以＝，得k＝，
所以反比例函数的解析式为y＝，
因此本题选B．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9. 在平面直角坐标系中，若点关于原点对称点是，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用两个点关于原点对称，那么他们的坐标符号相反即可求得．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查两个点关于原点对称时坐标点的关系，熟练掌握关于原点对称的点的关系是解题关键．
10. 二次函数的最大值是__________．
【答案】8
【解析】
【分析】二次函数的顶点式在x=h时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 ，故其在时有最大值.
【详解】解：∵，
∴有最大值，
当时，有最大值8．
故答案为8．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键.
11. 若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____．
【答案】m＞﹣4
【解析】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，
解得：m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
12. 在中，，，，则的正切值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据计算即可．
【详解】∵，，，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了正切的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___．
【答案】6.
【解析】
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】圆锥的底面周长cm，
设圆锥的母线长为，则： ，
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： ．
14. 如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝2． 将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与轴相切，则平移距离为_____．

【答案】1或3
【解析】
【分析】过点P作PC⊥x轴于点C，连接PA，由垂径定理得⊙P的半径为2，因为将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与轴相切，分两种情况进行讨论求值即可．由
【详解】解：
过点P作PC⊥x轴于点C，连接PA，
AB＝，，
点P的坐标为(3，－1)，PC=1，
，
将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与轴相切，
①当沿着y轴的负方向平移，则根据切线定理得：PC=PA=2即可，
因此平移的距离只需为1即可；
②当沿着y轴正方向移动，由①可知平移的距离为３即可．
故答案为1或3．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质及切线定理，关键是根据垂径定理得到圆的半径，然后进行分类讨论即可．
三、解答题（本大题共9个小题，满分70分）
15. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）先根据算术平方根，特殊角锐角函数值，零指数幂的性质化简，再计算，即可求解；
（2）利用配方法解答，即可求解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：．
．
．
解得：，．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，特殊角锐角函数值，零指数幂的性质，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16. 如图，网格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．

（1）画出关于原点对称的；
（2）绕点顺时针旋转后得，画出旋转后的，计算点旋转到点所经过的路径长（结果保留根号和）．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可，如图1；
（2）根据旋转的性质作图即可，如图1，由题意知，，根据点旋转到点所经过的路径长为，计算求解即可．
【小问1详解】
解：根据中心对称作图，如图1，即为所求；
【小问2详解】
解：根据旋转的性质作图，如图1，即为所求；
由题意知，，
∴点旋转到点所经过的路径长为，
∴点旋转到点所经过的路径长为．
【点睛】本题考查了作中心对称图形，旋转的性质，勾股定理的应用，弧长．解题的关键在于熟练掌握弧长公式．
17. 一个不透明的袋子里，装有3个分别写有数字1、2、3的小球，它们的形状、质地和大小完全相同．先从袋子里随机取出一个小球，记下数字，小球不放回袋子，再随机取出一个小球，记下数字．
（1）请用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果；
（2）求取出的两个小球上数字之和等于4的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】(1)根据题目意思，该事件两步完成，再根据从袋子里随机取出一个小球，记下数字，小球不放回袋子，即可画出树状图；
(2)利用（1）的信息和概率=所求情况数与总数的比值即可得到答案.
【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出共有，，，，，，6种等可能的情况.
（2）由（1）可知摸出的两个小球号码之和等于4的有，2种结果，
∴.
【点睛】本题考车了用列表法或树状图求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合用于两步完成的事件；树状图适合用于两步或者两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．
18. 某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
【答案】2．
【解析】
【分析】设人行道的宽度为x米，利用平移法，可得出矩形绿地的长为(20-3x)m，宽为（8-2x）m，再根据绿地的面积=56，列方程求出符合题意的x的值，即可解答．
【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（8﹣2x）（20-3x）=56，
解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去）．
答：人行道宽为2米．
【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键．
19. 如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
【答案】（1）y＝，y＝2x﹣5；（2）(2.5，0)
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）设点M的坐标为（x，2x﹣5），根据MB＝MC，得到，即可解答．
【详解】解：（1）把点A（4，3）代入函数y＝得：a＝3×4＝12，
∴y＝．
OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：
解得：；
∴y＝2x﹣5．
（2）∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB＝MC，
∴
解得：x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），
∴BC＝10，
∴BC中垂线为：直线y＝0，
当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
20. 襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：，，）
【答案】点E与点D间的距离是358.4米．
【解析】
【分析】由，根据三角形外角的性质可得，故为直角三角形，根据的余弦值即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，解得（米），
答：点E与点D间的距离是358.4米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、三角形外角的性质等内容，解题的关键是得到为直角三角形．
21. 小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元/千克时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．
（1）该超市销售这种水果，当销售单价不低于10元/千克时，请直接写出每天的销售量(千克)与销售单价(元千克)之间的函数关系式；
（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润(元最大是多少？
【答案】（1）(x≥10)；（2）750元
【解析】
【分析】（1）依据题意易得出每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式y=-50x+800．
（2）根据销售利润＝销售量×（售价－进价），列出平均每天的销售利润w*（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【详解】解：（1）由题意(x≥10)．
（2），
，
，
，抛物线的开口向下．
当时，w随x的增大而增大，
当时，利润w有最大值，最大值等于750．
答：当售价为11元千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润w最大为750元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出对应函数关系式是解题的关键．
22. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．
（1）求证：直线PQ是⊙O的切线．
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（2）﹣．
【解析】
【分析】（1）连接OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性质及已知条件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论．
（2）由sin∠DAC＝，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD的 度数，进而判定△AEO为等边三角形，则∠AOE的度数可得；利用S阴影＝S扇形﹣S△AEO，可求得答案．
【详解】解：（1）证明：如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO．
∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，
∴直线PQ是⊙O的切线．
（2）连接OE，
∵sin∠DAC＝，AD⊥PQ，
∴∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，
又∵OA＝OE，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠AOE＝60°．
∴S阴影＝S扇形﹣S△AEO
＝S扇形﹣OA•OE•sin60°
＝
＝．
∴图中阴影部分的面积为﹣．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，求弓形的面积和扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
23. 如图，抛物线交轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，其中．

（1）求抛物线的解析式
（2）点为线段上方抛物线上一动点，过点作于点，设点的横坐标为．
①设的长度为，请用含的式子表示，并求出取得最大值时，点的坐标；
②过点作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②存在，的坐标是或
【解析】
【分析】（1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①过点作轴交于点，设，则：，利用，得到，利用二次函数的性质求最值即可；
②设交轴于，则轴，分和，两种情况进行讨论求解即可．
小问1详解】
解：，，且点在点的左边，
．
经过，．
．解得．
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
①如图，过点作轴交于点．

点的横坐标为，
点的坐标为．
抛物线与轴交于点，
．
直线的解析式为．
轴，
．
，，
．
．
．
在中，，
．
点在线段上方的拋物线上，
．
．
，
当时，取得最大值．
．
．
②存在．如图，设交轴于，则轴．

，
．
．
当与相似时，分两种情况说明．
1）当时，
．
过作轴，垂足为．
设的坐标为，则坐标为．
，，．
．
，解得．
．
的坐标是．
2）当时，
．
．
，解得．
．
的坐标是．
综上，的坐标是或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．同时考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，属于中考常见压轴题．