新高考数学二轮复习培优专题训练专题04 平面向量的线性运算与数量积（2份打包，原卷版+解析版）

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1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】法一：因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
法二：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
3、（2023年全国乙卷数学（文））3．正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长是2， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【答案】B
【详解】方法一：以 SKIPIF 1 < 0 为基底向量，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
方法二：如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
方法三：由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4、（2023年全国乙卷数学（理））4．已知 SKIPIF 1 < 0 的半径为1，直线PA与 SKIPIF 1 < 0 相切于点A，直线PB与 SKIPIF 1 < 0 交于B，C两点，D为BC的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】如图所示， SKIPIF 1 < 0 ，则由题意可知: SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0

当点 SKIPIF 1 < 0 位于直线 SKIPIF 1 < 0 异侧时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 .

当点 SKIPIF 1 < 0 位于直线 SKIPIF 1 < 0 同侧时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 .
综上可得， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5、（2023年全国甲卷数学（文））5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6、（2023年全国甲卷数学（理））6．向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
如图,设 SKIPIF 1 < 0 ,
由题知, SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形,
AB边上的高 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
7、【2022年全国乙卷】已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选：D
8．【2022年全国乙卷】已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
9、【2022年新高考1卷】在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以 ．
故选：B．
10．【2022年新高考2卷】已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【解析】：,,即,解得,
故选：C
11、【2022年全国甲卷】已知向量．若，则______________．
【答案】##
【解析】由题意知：，解得.
故答案为：.
12．【2022年全国甲卷】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
13、（2023年新高考天津卷）7．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可用 SKIPIF 1 < 0 表示为_________；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】空1：因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加，可得到 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
空2：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，根据余弦定理： SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 和基本不等式， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取得等号，
则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .

题组一、平面向量的线性运算与基本定理的应用
1-1、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于 SKIPIF 1 < 0 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点 SKIPIF 1 < 0 分别为任意 SKIPIF 1 < 0 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
SKIPIF 1 < 0 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A错误，B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D.
1-2、（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
1-3、（2023·山西·统考一模）已知矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边中点，线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，可证得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合三角形中位线性质可确定 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，从而根据向量线性运算推导得到结果.
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ，同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
1-4、（2021·山东泰安市·高三三模）已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
易知，，
，
∴，
故选：C .
题组二、向量的坐标运算
2-1、（2023·山西运城·统考三模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1或 SKIPIF 1 < 0 B．-1或 SKIPIF 1 < 0 C．1或 SKIPIF 1 < 0 D．-1或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
2-2、（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
故选：A.
2-3、（2023·辽宁·校联考三模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
2-4、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
2-5、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0
C．与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量只有一个为 SKIPIF 1 < 0
D．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
：向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对A：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A错误；
对B：因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对C：与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量有两个，分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C错误；
对D：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线同向，满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确；
故选：BD.
题组三、向量的夹角与模
3-1、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3-2、（2023·湖南岳阳·统考三模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由已知
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3-3、（2023·重庆·统考三模）已知 SKIPIF 1 < 0 是单位向量，向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成角 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
则由 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又由 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
3-4、（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 夹角 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
解:因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：B
题组四、向量的投影
4-1、（2023·安徽黄山·统考三模）已知 SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模长的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，，
设 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模长为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模长的最大值为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4-2、（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 计算即可解决.
【详解】由题知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
4-2、（2023·浙江·校联考三模）（多选）在平面直角坐标系中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 是直角三角形
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的坐标为 SKIPIF 1 < 0
D．与 SKIPIF 1 < 0 垂直的单位向量的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，B正确；
设与 SKIPIF 1 < 0 同向的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，设与 SKIPIF 1 < 0 垂直的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故与 SKIPIF 1 < 0 垂直的单位向量的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，D正确，
故选：ABD．
4-3、（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）如果平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为_____ .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题组五、向量数量积的运用
5-1、（2023·湖北·校联考三模）正 SKIPIF 1 < 0 的边长为2， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
5-2、（2022·山东日照·高三期末）已知△ SKIPIF 1 < 0 是边长为1的等边三角形，点 SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】把△ SKIPIF 1 < 0 如下图放在直角坐标系中，
由于△ SKIPIF 1 < 0 的边长为1，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
5-3、（2023·安徽·校联考三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，P为弧AC上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
5-4、（2023·湖南永州·统考三模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
【答案】D
【详解】如图以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立平面直角坐标系，设点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由平面向量的坐标运算求解，
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2、（2023·安徽铜陵·统考三模）在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 边上中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3、（2023·云南红河·统考一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．8D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】计算出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，利用垂直列出方程，求出实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ．得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
4、（2023·云南玉溪·统考一模）在扇形COD中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．－4B．4C．－6D．6
【答案】D
【分析】运用向量的数量积运算公式求解即可.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5、（2023·云南·统考一模）平面向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相互垂直，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角是钝角，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解出方程，检验即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为向量夹角范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故此时夹角为锐角，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故此时夹角为钝角，
故选：D.
6、（2023·山西临汾·统考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为不共线的非零向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用共线向量逐项判断作答.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为不共线的非零向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点不共线，A不正确；
因 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，且有公共点B，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，B正确；
因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点不共线，C不正确；
因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点不共线，D不正确.
故选：B.
7、（2023·河北唐山·统考三模）正方形 SKIPIF 1 < 0 边长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．10
【答案】C
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为正方形 SKIPIF 1 < 0 边长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
8、（2023·安徽宿州·统考一模）（多选题）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角
【答案】AB
【分析】根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确；根据投影向量定义可得向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，即C错误；由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，但此时向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，根据平面向量共线性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由投影向量定义可知向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，即C错误；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
但当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即此时向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为零角，所以D错误.
故选：AB.
9、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据向量共线的充要条件得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据向量坐标运算法则求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用模的计算公式即可.
【详解】根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11、（2023·安徽安庆·校考一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由平面向量的夹角公式代入计算即可得出答案.
【详解】由平面向量的夹角公式得，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12、（2023·山西晋中·统考三模）设向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的向量积： SKIPIF 1 < 0 是一个向量，它的模 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-1B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.