新高考数学二轮复习培优专题训练专题10 导数的综合运用（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习培优专题训练专题10 导数的综合运用（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习培优专题训练专题10导数的综合运用原卷版doc、新高考数学二轮复习培优专题训练专题10导数的综合运用解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。


1、【2022年全国乙卷】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为.
2、【2021年新高考2卷】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 SKIPIF 1 < 0 取值范围是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3、（2023年新课标全国Ⅰ卷）1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，证毕.
方法二：
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，证毕.
4、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（1）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）构建 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
构建 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
构建 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递减， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，不合题意，所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为偶函数，
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
（i）当 SKIPIF 1 < 0 时，取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
结合偶函数的对称性可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 时，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
构建 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内存在唯一的零点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
结合偶函数的对称性可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，符合题意；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
5、（2023年全国乙卷数学（理））8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)存在 SKIPIF 1 < 0 满足题意，理由见解析.
(3) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得 SKIPIF 1 < 0 ，
函数在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由函数的解析式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
函数的定义域满足 SKIPIF 1 < 0 ，即函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
定义域关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验 SKIPIF 1 < 0 满足题意，故 SKIPIF 1 < 0 .
即存在 SKIPIF 1 < 0 满足题意.
（3）由函数的解析式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在极值点，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在变号零点;
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在极值点，等价于 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在变号零点，
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上无零点，不合题意;
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上无零点，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 (取等条件为 SKIPIF 1 < 0 )，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，且注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
根据零点存在性定理可知: SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 单调递减，注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数 SKIPIF 1 < 0 得取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
6、【2022年全国甲卷】已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则环．
【解析】(1)
的定义域为，

令,得
当单调递减
当单调递增，
若,则,即
所以的取值范围为
(2)由题知,一个零点小于1,一个零点大于1
不妨设
要证,即证
因为,即证
因为,即证
即证
即证
下面证明时，
设，
则
设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令
所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
7、【2022年全国乙卷】已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【解析】
(1)的定义域为
当时,,所以切点为 ,所以切线斜率为2
所以曲线在点处的切线方程为
(2)
设
若,当,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若,当,则
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若
(1)当,则,所以在上单调递增
所以存在,使得,即
当单调递减
当单调递增
所以当
当
所以在上有唯一零点
又没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设
所以在单调递增
所以存在,使得
当单调递减
当单调递增,
又
所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减
有
而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点
即在上有唯一零点
所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为
题组一、函数的零点、极值点的综合性问题
1-1、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）设函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．不等式的解集为；
B．函数在单调递增，在单调递减；
C．当时，总有恒成立；
D．若函数有两个极值点，则实数
【答案】ACD
【解析】由题意得，则
对于A：由，可得，解得，所以解集为，故A正确；
对于B：，令，解得x=1，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，故B错误；
对于C：当时，若，则，
所以，即，
令，
则，
，
当时，，函数为增函数，
又，所以在是恒成立，
所以为减函数，
又，所以在是恒成立，
所以当时，总有恒成立，故C正确；
对于D：若函数有两个极值点，
则有两个根，即在有两个根，
令，则，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
又当时，，当时，，，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD
1-2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值；
(2)若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的实数根，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用导数分析函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，即可求得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 可得出 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可知直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，利用导数分析函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性与极值，数形结合可得出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】（1）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以， SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
由题意可知，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，如下图所示：
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
1-3、（2022·河北深州市中学高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的零点；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为1，求a的值．
【解析】(1)证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
又 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的零点．
(2)解：由（1）可知存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 （*）．
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调通增；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（*）式得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 是方程的解，
又∵ SKIPIF 1 < 0 是单调递减函数，方程 SKIPIF 1 < 0 有且仅有唯一的解 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入（*）式，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即所求实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0
题组二、利用导数研究不等式及证明问题
2-1、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 且函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增函数，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】(1)由题意可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，求导，分 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 讨论 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立即可；
(2)由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，①，令 SKIPIF 1 < 0 ，求导得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，于是得以 SKIPIF 1 < 0 ，代入①式中化简即可得证.
【详解】（1）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，
所以存在唯一 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
综上所述 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
移项得 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，①
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入①式中得到 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，命题得证.
2-2、（2023·江苏南通·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有相同的最大值.
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与两条曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 共有四个不同的交点，其横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】(1)利用导函数分别讨论两个函数的单调性和最值即可求解；
(2)构造函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数和单调性讨论函数的零点，结合函数 SKIPIF 1 < 0 分类讨论对应方程根的个数和分布证明.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 有最大值， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增； SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 至多两个零点，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增； SKIPIF 1 < 0 上单调递减； SKIPIF 1 < 0 至多两个零点.
令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 方程无解，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 方程有唯一解 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上各有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 示意图
如下注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上各有一个零点 SKIPIF 1 < 0 .
且由 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，由 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，由 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，证毕
2-3、（2023·江苏南通·统考模拟预测）设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 图象恰与函数 SKIPIF 1 < 0 图象相切，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点连线的斜率 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)1；(2)证明见解析
【分析】（1）设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，结合导数的几何意义求解即可；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，可得 SKIPIF 1 < 0 有两个不等的正根 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，要证： SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 证 SKIPIF 1 < 0 ，进而构造函数，再利用导数求解即可；
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 切于 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解法一：
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 有两个不等的正根 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
要证： SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 .
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，即证： SKIPIF 1 < 0 ，
即证： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 证 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，证毕!
解法二：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，证毕!
2-4、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)见解析
【分析】（1）求出 SKIPIF 1 < 0 ，讨论其符号后可得 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，先讨论 SKIPIF 1 < 0 时题设中的不等式不成立，再就 SKIPIF 1 < 0 结合放缩法讨论 SKIPIF 1 < 0 符号，最后就 SKIPIF 1 < 0 结合放缩法讨论 SKIPIF 1 < 0 的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，从而可得 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为连续不间断函数，
故存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，与题设矛盾.
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
下证：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，
证明：设 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 成立.
由上述不等式有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 总成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
（3）取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故不等式成立.
题组三、利用导数研究含参问题
3-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数）.
(1)若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先判断 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，再利用单调性解不等式得解；
（2）等价于 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次求导对 SKIPIF 1 < 0 分类讨论求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值得解.
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 ，由复合函数的单调性原理得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解： SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 符合题意.
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
（i）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 这与题设矛盾，舍去.
（ii）若 SKIPIF 1 < 0 ，则存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，此时 SKIPIF 1 < 0 这与题设也矛盾，舍去.
综上：实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
3-2、（2023·江苏南京·校考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数).
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求证：函数 SKIPIF 1 < 0 图象上任意一点处的切线斜率均大于 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）代入 SKIPIF 1 < 0 的值，求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 得到结论成立即可确定 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【详解】解：（1）证明： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故函数 SKIPIF 1 < 0 图象上任意一点处的切线斜率均大于 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）先证对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 递增，在 SKIPIF 1 < 0 递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 对于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
综上： SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
3-3、（2023·云南曲靖·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与直线l： SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线在x轴上的截距；
(2)求c与a的函数关系 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)当a为函数g（a）的零点时，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立．求实数k的最值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)最大值为3，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）利用导数求切线方程，进而求出截距；
（2）先求出函数 SKIPIF 1 < 0 在x＝1处的切线方程 SKIPIF 1 < 0 ，对照系数消去b即可得到；
（3）把题意转化为对 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立．对x分类讨论：①x＝0直接判断；② SKIPIF 1 < 0 时，利用分离参数法得到 SKIPIF 1 < 0 恒成立．设 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ．利用导数求出 SKIPIF 1 < 0 ；③当 SKIPIF 1 < 0 时，与②同，求出 SKIPIF 1 < 0 的范围．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是： SKIPIF 1 < 0 .
令y＝0得 SKIPIF 1 < 0 ，所以该切线在x轴上的截距等于 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在x＝1处的切线方程是： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
两端乘以b变作： SKIPIF 1 < 0 ①．
又已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是： SKIPIF 1 < 0 ②．
直线①与直线②重合，则 SKIPIF 1 < 0 ③， SKIPIF 1 < 0 ④，联立③④消去b得 SKIPIF 1 < 0 ，所以c与a的函数关系为： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为a＝1，a＝1时 SKIPIF 1 < 0 ．
对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，转化为对 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
①当x＝0时， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
②当0＜x≤2时， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
设 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ．
0＜x≤2时 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
与②同，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
所以， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
所以， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
整合①②③三种情形，得 SKIPIF 1 < 0 ，且等号都取得到．
所以，实数k的最大值为3，最小值为 SKIPIF 1 < 0
1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，且对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）求出 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求解可得答案；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求导利用单调性可得答案； 当 SKIPIF 1 < 0 根据 SKIPIF 1 < 0 ，令可得 SKIPIF 1 < 0 求解可得答案.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
得 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时成立， SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 重合，不符合题意，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：当x>0时， SKIPIF 1 < 0
(2)若不等式 SKIPIF 1 < 0 ，（其中 SKIPIF 1 < 0 ）恒成立时，实数m的取值范围为（-∞，t]，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】见解析
【分析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，再证明 SKIPIF 1 < 0 即得证；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，即得证.
【详解】（1）证明：令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：据题意，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立时，等价于
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，又实数m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故t是实数m的最大值．
要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
所以 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则只需证明 SKIPIF 1 < 0
由（1）知：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
3、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的两个不同极值点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数）.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】（1）把函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实数根，令 SKIPIF 1 < 0 ，结合其导数分析 SKIPIF 1 < 0 值域情况，从而得到实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，变形可得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，再利用分析法即可证明 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 有两个不同极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 成立，故 SKIPIF 1 < 0 成立.
4、（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有且仅有三个不同的零点，分别设为 SKIPIF 1 < 0
（i）求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（ii）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)（i） SKIPIF 1 < 0 ；（ii）证明见解析
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在x＝1处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）(i）因为x＞0，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 有且仅有三个不同的零点，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 有且仅有三个不同的零点， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 不可能有三个不同的零点，即函数 SKIPIF 1 < 0 不可能有三个不同的零点，舍去；
②当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 开口向下，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由函数零点存在性定理可知， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有唯一的一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有唯一的一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有且仅有三个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ，
综上，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
(ii）证明：因为函数 SKIPIF 1 < 0 的三个不同的零点分别为 SKIPIF 1 < 0
所以由(i）可知， SKIPIF 1 < 0