新高考数学二轮复习培优专题训练专题17 圆锥曲线中的双曲线与抛物线问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1、（2023年全国甲卷数学（文）（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其中一条渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的一条渐近线不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以弦长 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）设A，B为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
对于选项A： 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由双曲线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
3、 【2022年全国乙卷】设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解析】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
4、【2022年全国乙卷】双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
所以，因为，所以在双曲线的右支，
所以，，，设，，
由，即，则，，，
在中，
，
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，即，
所以双曲线的离心率
故选：C
5、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）设O为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．以MN为直径的圆与l相切D． SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
【答案】AC
【详解】A选项：直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则A选项正确，且抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
B选项：设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B选项错误.
C选项：设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 的一半，所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，C选项正确.
D选项：直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
由上述分析可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形 SKIPIF 1 < 0 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
6、【2022年新高考1卷】（多选题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
7、【2022年新高考2卷】（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】方法一：
依题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
方法二:
依题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9、【2022年全国甲卷】记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足皆可）
【解析】，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
10、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线C： SKIPIF 1 < 0 上，则A到C的准线的距离为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题组一、双曲线的离心率
1-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的左，右两支分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义先推出 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，然后根据余弦定理解决.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 内切圆圆心，∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
1-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，一条渐近线为l，过点 SKIPIF 1 < 0 且与l平行的直线交双曲线C于点M，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线定义可知： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
1-3、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若在C上存在点P（不是顶点），使得 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可求离心率的取值范围.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， 由对称性可知， SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，且三角形的内角和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
综上， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
题组二、双曲线与抛物线的性质
2-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选题）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】AB
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，根据点P在双曲线上且PA=2，则可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可求得PF的长度．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：AB．
2-2、（2023·江苏南京·校考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于l的对称点A在C上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则C的方程为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据向量的线性运算和数量积的性质化简 SKIPIF 1 < 0 ，由条件结合椭圆的定义可求 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ，可得椭圆方程.
【详解】因为A与 SKIPIF 1 < 0 关于直线l对称，所以直线l为 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线l与 SKIPIF 1 < 0 交于点M，则M为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或1（舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则C的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
2-3、（2023·山西·统考一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上一动点，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过 SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，进而结合抛物线的定义求解即可.
【详解】解：由题知 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
如图，过 SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 周长 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的交点 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2-4、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据抛物线定义求得 SKIPIF 1 < 0 点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，再利用三角形面积公式即可得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）.
故选：B.
题组三、抛物线、双曲线、椭圆的综合应用
3-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，以该抛物线上三点 SKIPIF 1 < 0 为切点的切线分别是 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 .记 SKIPIF 1 < 0 的横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】利用导函数和斜率的关系表示出切线方程可求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标可判断A，根据向量数量积的坐标运算判断B,并根据两点间的距离公式运算求解即可判断C,D.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 不一定为 SKIPIF 1 < 0 A错误；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 正确，
故选：BCD.
3-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知P为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为4
B．若线段AB的中点为M，则弦长AB的长度为8
C．若线段AB的中点为M，则三角形OAB的面积为 SKIPIF 1 < 0
D．过点 SKIPIF 1 < 0 作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分 SKIPIF 1 < 0 ，则直线GH的斜率为定值
【答案】ABD
【分析】先求出抛物线的方程 SKIPIF 1 < 0 ，利用抛物线的定义转化即可求出最小值可判断A；由直线与抛物线相交的弦长公式判断B；由点到直线的距离公式可求三角形OAB的面积判断C；设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,将已知转化为 SKIPIF 1 < 0 结合两点连线的斜率公式即可判断直线GH的斜率是否为定值判断D.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 在抛物线C上，得 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
对于A，过点P作抛物线的准线 SKIPIF 1 < 0 的垂线PD，垂足为D，
由抛物线的定义知 SKIPIF 1 < 0 ，
即M，P，D三点共线时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确．
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 为AB的中点，点A，B的横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确．
对于C，由直线l过焦点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 求得直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则点O到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，易知点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上且 SKIPIF 1 < 0 轴．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
易知直线EG，EH的斜率存在， SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ．
因为EF平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
直线GH的斜率 SKIPIF 1 < 0 为定值，故D正确．
故选：ABD.
3-3、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，向圆 SKIPIF 1 < 0 作两条切线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______ ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，由已知关系，可用 SKIPIF 1 < 0 点坐标表示出 SKIPIF 1 < 0 .在 SKIPIF 1 < 0 ，有
SKIPIF 1 < 0 ，进而可推出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可得到结果.
【详解】
由已知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
如图，设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，有
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为， SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
1、（2023·江苏南通·统考一模）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面 SKIPIF 1 < 0 ，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面 SKIPIF 1 < 0 ，地球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的短轴长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据椭圆的远地点和近地点的距离可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求得 SKIPIF 1 < 0 ，求得b，可得答案.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
2、（2022·山东青岛·高三期末）已知坐标原点为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 垂直平分线段 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
3、（2022·湖北襄阳·高三期末）若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
不妨设双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0
所以弦长 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上两动点， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 过焦点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小值为2
B．直线 SKIPIF 1 < 0 过焦点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为60°时（点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限）， SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为3，则 SKIPIF 1 < 0 最大值为8
D．点 SKIPIF 1 < 0 坐标 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 斜率之和为0， SKIPIF 1 < 0 与抛物线的另一交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【分析】对于A B项画出函数图像，把 SKIPIF 1 < 0 用直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角表示，验证是否正确；
对于C 项， SKIPIF 1 < 0 可求解；对于D项根据点 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 ，就能求出 SKIPIF 1 < 0
所以求出直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与抛物线联立求出 SKIPIF 1 < 0 点，就能求出 SKIPIF 1 < 0 方程.
【详解】对于A项，过点 SKIPIF 1 < 0 分别作准线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ，准线与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，画图为：
根据抛物线的定义： SKIPIF 1 < 0 ，从图可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以A不正确.
对于B项，由A可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确.
对于C项， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为8，故C正确.
对于D项，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：CD
5、（2023·安徽·统考一模）（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 B．点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切D． SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行
【答案】BCD
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线得 SKIPIF 1 < 0 ，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与抛物线方程即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断B，利用导数求出抛物线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程，令 SKIPIF 1 < 0 ，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率，则可判断D.
【详解】对A，根据中点公式得 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，
对B， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将其代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或0（舍去），此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，故B正确；
对C， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线，故C正确；
对D，抛物线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
而直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，
所以 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行.
故选：BCD.
6、（2023·江苏南京·校考一模）抛物线C：x2＝2py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2＋y2﹣6x＝0截得的弦长为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】求出准线方程 SKIPIF 1 < 0 以及圆心、半径，得出圆心到直线的距离，从而求出弦长为 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】首先求得准线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
x2＋y2﹣6x＝0 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
故弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据已知渐近线的方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而结合 SKIPIF 1 < 0 即可求出结果.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，故焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点到其一条渐近线的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点重合，则抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的动点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离之和的最小值为__________．
【答案】2
【解析】双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
右顶点(a,0)到其一条渐近线的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即有c=1，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得p=2，
即有抛物线的方程为y2=4x，
如图,过点M作MA⊥l1于点A，作MB⊥准线l2:x=−1于点C，
连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF，
设M到l1的距离为d1,M到直线l2的距离为d2，
∴d1+d2=MA+MC=MA+MF，
根据平面几何知识，可得当M、A. F三点共线时，MA+MF有最小值．
∵F(1,0)到直线l1:4x−3y+6=0的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
∴MA+MF的最小值是2，
由此可得所求距离和的最小值为2.
故答案为2.