新高考数学二轮复习培优专题训练专题21 数列综合问题的探究（2份打包，原卷版+解析版）

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1、（2023年全国乙卷数学（文））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．－1B． SKIPIF 1 < 0 C．0D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】依题意，等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
显然函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为3，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 最多3个不同取值，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
于是有 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）方法1：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
方法2：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 满足上式，因此当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
3、（2023年新高考天津卷）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式和 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式及其前 SKIPIF 1 < 0 项和．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
求和得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
（2）(Ⅰ)由题意可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得： SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知： SKIPIF 1 < 0 ，
据此猜测 SKIPIF 1 < 0 ，
否则，若数列的公比 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 不恒成立，
此时无法保证 SKIPIF 1 < 0 ，
若数列的公比 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 不恒成立，
此时无法保证 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，数列的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则数列的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
其前 SKIPIF 1 < 0 项和为： SKIPIF 1 < 0 .
4、【2022年新高考1卷】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
(1)
∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)

∴
5、【2022年新高考2卷】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
(1)
设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
(2)
由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
题组一 等差、等比数列的含参问题
1-1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，求得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意，求得 SKIPIF 1 < 0 并裂项，利用裂项相消，求得 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 为奇数或偶数两种情况，利用函数求最值研究不等式恒成立问题，可得答案.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入上式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
代入不等式 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，不等式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，不等式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 为奇数且 SKIPIF 1 < 0 ），易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
1-2、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，公差 SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)存在，理由见解析
【分析】（1）由等差数列求和公式列出方程，求出公差；
（2）在第一问的基础上，得到通项公式，利用求和公式得到 SKIPIF 1 < 0 ，法一：由m，k为正整数，列出符合要求的解；法二：得到 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，写成符合要求的解.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）法一：由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 （舍），
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
SKIPIF 1 < 0 满足条件的 SKIPIF 1 < 0 有三组.
法二：由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
存在满足条件的 SKIPIF 1 < 0 有三组.
1-3、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列．给定 SKIPIF 1 < 0 ，记集合 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求最小自然数n的值，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；；(2)11
【分析】（1）利用等比数列的性质求得 SKIPIF 1 < 0 公差，得通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 时的集合可得元素个数，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后分组求和法求得和 SKIPIF 1 < 0 ，用估值法得 SKIPIF 1 < 0 时和小于2022， SKIPIF 1 < 0 时和大于2022，由数列的单调性得结论．
【详解】（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，集合 SKIPIF 1 < 0 中元素个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，集合 SKIPIF 1 < 0 中元素个数为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 =2001<2022， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 =4039>2022，
记 SKIPIF 1 < 0 ，显然数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，
所以所求 SKIPIF 1 < 0 的最小值是11.
1-4、（2023·云南·统考一模）记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求m的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)7
【分析】（1）由数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合等比数列的通项可得解；
（2）利用错位相减法求出 SKIPIF 1 < 0 ，结合范围即可得解.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 不满足上式，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以符合题设条件的m的最小值为7
题组二 等差、等比数列中的不等或证明问题
2-1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知各项为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】（1）利用公式 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，代入化简得到数列 SKIPIF 1 < 0 的递推公式，即可求解通项公式；
（2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
因此， SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得 SKIPIF 1 < 0 ．
2-2、（2023·云南玉溪·统考一模）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解．
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， ． SKIPIF 1 < 0 （说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）
(1)请写出你的选择，并求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)选① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；选② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】（1）由等差数列、等比数列的基本量代入方程组求解即可.
（2）运用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由题意知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
选①，由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
选②，由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
2-3、（2023·云南红河·统考一模）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式：
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】(1)利用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；
(2)根据(1)中所求，利用裂项求和法求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，1为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若对于一切正整数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
因为等比数列 SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
2、（2021·山东菏泽市·高三期末）已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（ ）
A．1022B．1023C．2046D．2047
【答案】D
【解析】
当时，，∴，
又，，∴是等比数列，公比为2，首项为1，
所以，由得，即，
∴所求和为．
故选：D．
3、（2023·山西·统考一模）从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，并求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2)见解析
【分析】（1）由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而根据等差数列公式计算即可；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 ，再结合裂项求和法求解即可证明.
【详解】（1）解：由题意，选出3个数字组成的等差数列的前三项为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
4、（2023·安徽安庆·校考一模）数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在最大的；正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意 SKIPIF 1 < 0 均有 SKIPIF 1 < 0 成立？若存在求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)存在 SKIPIF 1 < 0 ，理由见解析
【分析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，即可求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 的取值得到 SKIPIF 1 < 0 的符号，然后去掉绝对值后可得所求的 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由（1）求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用裂项相消法求出 SKIPIF 1 < 0 ，并进一步求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值 SKIPIF 1 < 0 ．再根据 SKIPIF 1 < 0 恒成立得到 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的范围后可得所求．
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
设其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
（3）由于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
从而 SKIPIF 1 < 0
故数列 SKIPIF 1 < 0 是单调递增数列，又因 SKIPIF 1 < 0 是数列中的最小项，
要使 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故只需 SKIPIF 1 < 0 成立即可，
由此解得 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故适合条件的 SKIPIF 1 < 0 的最大值为7.
5、（2022·山东青岛·高三期末）给定数列 SKIPIF 1 < 0 ，若满足 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“指数型数列”.
(1)已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为“指数型数列”；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ；
（I）判断 SKIPIF 1 < 0 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析
(2)（I）是，证明见解析；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为“指数型数列”
(2)（I）将 SKIPIF 1 < 0 两边同除 SKIPIF 1 < 0
得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是“指数型数列”
（Ⅱ）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
第1列
第2列
第3列
第1行
7
2
3
第2行
1
5
4
第3行
6
9
8