河南省驻马店市2023-2024学年高二下学期7月期末质量监测数学试卷(含答案)

这是一份河南省驻马店市2023-2024学年高二下学期7月期末质量监测数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线的倾斜角是( )
A.0B.C.πD.不存在
2．函数在处的瞬时变化率为( )
A.-1B.0C.1D.2
3．设，则( )
A.1B.2C.63D.64
4．某学校甲乙两个班级人数之比为，在一次测试中甲班的优秀率为，乙班的优秀率为，现从这两个班级中随机选取一名学生，则该学生优秀的概率为( )
A.B.C.D.
5．如图是边长为a的正三角形，取各边的中点构成一个新三角形，依次做下去得到一系列三角形.则前n个三角形的外接圆面积之和为( )
A.B.C.D.
6．已知M，N分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点P满足则DP与AB夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线E的离心率为( )
A.B.C.D.3
8．若函数为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图为函数的导函数图象，则以下说法正确的是( )
A.在区间递增
B.的递减区间是
C.为函数极大值
D.的极值点个数为4
10．已知事件A与B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
11．点F是抛物线的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点.分别在A，B两点作C的切线与，记，则下列选项正确的是( )
A.为直角三角形
B.
C.
D.若，则
三、填空题
12．已知等差数列满足，，则通项公式为________.
13．二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算.即：若随机变量，当n充分大时，X可以用服从正态分布的随机变量Y近似代替，其中X，Y的期望值和方差相同，一般情况下当，时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛——拉普拉斯极限定理.如果随机抛一枚硬币100次，设正面向上的概率为0.5，则“正面向上的次数大于50、小于60”的概率近似为________.(结果保留三位小数.参考数据：若，则，，
14．如图在四棱柱中，，并且直线，的夹角为，距离为3，则多面体的体积为.
四、解答题
15．如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，记经过，次移动后，该质点位于X的位置.
（1）当时，求，；
（2）当时，求随机变量X的分布列及数学期望.
16．如图在三棱柱中，，
（1）证明:；
（2）求二面角的平面角的正弦值.
17．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若为的极大值点，求实数a的取值范围.
18．已知椭圆点P为E上落在第一象限的动点，P关于原点对称的点为Q，点A在E上满足..记直线PQ，AQ，AP的斜率分别为，，.且满足.
（1）证明:
（2）求椭圆E的离心率；
（3）若，求面积的最大值.
19．将个实数排成n行n列的数阵形式
……
（1）当时，若每一行每一列都构成等差数列，且，求该数阵中所有数的和.
（2）已知，且每一行构成以1为公差的等差数列，每一列构成2为公差的等差数列，求这个数的和T；
（3）若且每一列均为公差为d的等差数列，每一行均为等比数列.已知，，，设，求S的值.
参考答案
1．答案：B
解析：直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角是.
故选：B
2．答案：C
解析：设，则，则，
则函数在处的瞬时变化率为1.
故选：C.
3．答案：D
解析：令得.
故选：D.
4．答案：A
解析：设甲班级的人数为，乙班级的人数为，
因为甲班的优秀率为，乙班的优秀率为，
所以甲班优秀的人数为，乙班优秀人数为，
所以优秀的总人数为，
所以学生优秀的概率为，故A正确.
故选：A
5．答案：B
解析：设边长为a的正三角形的外接圆半径为R，由正弦定理得，
解得，而每次构造新三角形时，每次外接圆的半径也减半，
设第n个三角形的外接圆半径为，
是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，设第n个三角形的外接圆面积为，
而，而所求即为的前n项和，
易得，故，
而，故是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，故B正确.
故选：B
6．答案：A
解析：设，，，
因为，所以
，
设正四面体的棱长为1，
故
，
又
，
所以，
故，
DP与AB夹角的余弦值为.
故选：A
7．答案：A
解析：令点，双曲线的渐近线方程为，
由对称性不妨取直线，取中点C，连接，则，
，而，
由，得，在中，，
则，解得，，
所以双曲线E的离心率.
故选：A
8．答案：B
解析：函数求导得由题意可知，
在内恒成立，即在内恒成立，
故，令，，
令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
则函数在有最大值为，
故，
故选：B.
9．答案：ABD
解析：令函数的导数为，观察图象知，当或时，，
当时，，且当时，；当或时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，AB正确；
函数在，处都取得极大值，在，处都取得极小值，的极值点个数为4，D正确；
由于在及邻近区域值得，因此在处没有极值，C错误.
故选：ABD
10．答案：BD
解析：对于A，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，
所以，不一定成立，故A错误；
对于B，由于，则，
则，故B正确；
对于C，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，
所以，也不一定成立，故C错误；
对于D，，故，故D正确；
故选：BD.
11．答案：ABD
解析：
对于A，设直线的方程为，
设点A，B的坐标分别为，，
令，联立，则
因此，当时，抛物线方程为，
，，
则在处的切线方程为，
同理在处的切线方程为，
联立，解得，，
因此M坐标为，
，
因此，所以是直角三角形，故A正确，
对于B，当直线斜率不存在时，此时，所以，
此时，，代入抛物线中得到，
解得，由对称性得到，所以，
根据对称性可得，此时F是的中点，
根据三线合一的原理可知，
当直线斜率存在时，可得，
因此，故B正确，
对于C，，
当且仅当，即时取等，故C错误，
对于D，此时，解得，此时直线的斜率不存在，
所以，，，
则，，
故，故D正确.
故选：ABD
12．答案：
解析：设等差数列的公差为d，，，
所以，解得，所以.
故答案为：
13．答案：0.477
解析：由题意得随机抛一枚硬币100次，设正面向上的概率为，
同时设正面向上的次数为X，则，
所以，，
此时符合，，故有，
且，，设所求概率为P，
因为，
所以由正态分布对称性得.
故答案为：0.477
14．答案：
解析：在四棱柱中，连接，由，，
得四边形是平行四边形，，，因此，的夹角为，四边形的面积，
而平面，平面，则平面，
因此四棱柱的高为直线与平面的距离，等于异面直线的距离3，
于是四棱柱的体积，
而，
所以多面体的体积为.
故答案为：
15．答案：（1），；
（2）分布列见解析，期望为.
解析：（1）当时，质点所能到达的位置X必满足且X为偶数，
若“”则表示四次移动中向右1次，向左3次，
因此.
.
（2）当时，质点所能到达的位置X必满足且X为奇数，
因此随机变量X的所有可能取值为，，，1，3，5，
因此随机变量X的分布列为
，
，
，
，
，
，
因此随机变量X的分布列为
所以随机变量X的数学期望为
.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）如图，取的中点D，连接，，
由，，得，，都是正三角形，
则，因此，，又平面，平面，
且，于是平面，又平面，
所以.
（2）由（1）知，平面平面，而平面平面，作于E，
而平面，则平面，设，则有，
，，，，
在平面内过点D作，则平面，直线，，两两垂直，
以点D为坐标原点，直线，，分别为x，y，z建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，由，
得，，，，
设平面的法向量，则，令，得
设平面的法向量，则，令，得，
设二面角的平面角为，则，
所以二面角的平面角的正弦值.
17．答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）
解析：（1）当时，，定义域为，
则，
由，解得，由，解得，
因此的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）记，，
则原问题等价于为的极大值点，求实数a的取值范围.
因，则恒成立，
记，，，
则，
当时，恒成立，在上单调递增，
又因为，则当时，，即，所以单调递减；
当时，，即，所以单调递增，
此情况可得为的极小值点，与题意矛盾；
当时，若，即当时，则存在，使得在上恒成立，
即在上单调递增，也即在上单调递增，
由，从而可得，，单调递减；
，，单调递增，
此情况可得为的极小值点，与题意矛盾；
若，即时，在上单调递减，
，，单调递增；时，，单调递减，
因此恒有，也即恒成立，因此不是的极值点，与题意矛盾；
若，即时，则存在，使得在上恒成立，
在上单调递减，也即在上单调递减，
由，从而可得，，单调递增；
，，单调递减，
此情况可得为的极大值点，符合题意.
综上所述，满足条件的实数a的取值范围为.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）
解析：（1）证明：设点，，则，
点，在椭圆E上，故满足椭圆的方程，
所以，
，，
，
所以.
（2）因为，，
所以，又，所以，
即，所以，故离心率为.
（3）若，则由（2）可知，椭圆E的方程为，根据题意则直线的斜率不等于0.
设直线的方程为，则
联立，解得，，从而可得，，也即，
代入中得，即，
再联立得，
该方程有两个不同实根，，由韦达定理可得，
又因，
，
，
因此
令当且仅当时等号成立从而可得
，因此当时取最小值，
此时可得的最大值为.
因此当且仅当，，取得最大值为.
19．答案：（1）405；
（2）；
（3）
解析：（1）由题意，且每一行都成等差数列则有
，
，
，
设所有数之和为S，则有，
又因为每一列成等差数列，故有，即.
（2）设第i行的和为，则有；
又因为每一列构成以2为公差的等差数列，即有当时，，
即数列构成以为首项，为公差的等差数列，即有
.
（3）由题意每一行均为等比数列，设第二行的公比为q，则有，
又因为，故.从而可得第二行的通项公式，
即有，又因为每一列均为公差为d的等差数列，且，
可得，即，即有，从而有，
故
.
X
1
3
5
P