辽宁省盘锦市双台子区第四中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末质量检测试题【含解析】

这是一份辽宁省盘锦市双台子区第四中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末质量检测试题【含解析】，共18页。试卷主要包含了下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )
A．B．C．D．
2．已知点在第四象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为6，则点P的坐标是（ ）
A．B．C． D．或
3．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC的度数为（ ）
A．60°B．45°C．75°D．90°
4．计算的结果是（ ）
A．B．5C．D．-5
5．小莹和小博士下棋小莹执圆子，小博士执方子如图，棋盘中心方子的位置用表示，左下角方子的位置用表示，小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，她放的位置是
A．B．C．D．
6．已知关于x的方程的解是正整数，且k为整数，则k的值是( )
A．0B．C．0或6D．或6
7．下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
8．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点D，连接．若，，则的长是（ ）
A．12B．16C．18D．24
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
A．30°B．45°C．50°D．75°
10．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．把因式分解的结果是______．
12．若关于x的不等式组有4个整数解，那么a的取值范围是_____．
13．如图，在中，,，的垂直平分线与交于点，与交于点，连接.若，则的长为____________.
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝15，AC＝12，那么Rt△ABC的面积是_____．
15．如图，中，DE垂直平分BC交BC于点D，交AB于点E，，，则______．
16．墨烯（Graphene）是人类已知强度最高的物质．据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学计数法表示为_______．
17．计算（2a）3的结果等于__．
18．如图，平面直角坐标系中有点A(0，1)、B(，0)．
连接AB，以A为圆心，以AB为半径画弧，交y轴于点P1；
连接BP1，以B为圆心，以BP1为半径画弧，交x轴于点P2；
连接P1P2，以P1为圆心，以P1P2为半径画弧，交y轴于点P3；
按照这样的方式不断在坐标轴上确定点Pn的位置，那么点P6的坐标是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）先化简，再求值：（1﹣）÷，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
20．（6分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
求甲、乙两种商品的每件进价；
该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
21．（6分）如图,点E,F在线段BC上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE交于O,求证:OE=OF.
22．（8分）发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数；
验证：（1） 的结果是4的几倍？
（2）设三个连续的整数中间的一个为n，计算最大数与最小数这两个数的平方差，并说明它是4的倍数；
延伸：说明任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是8的倍数.
23．（8分）如图，是上一点，与交于点，，．线与有怎样的数量关系，证明你的结论．
24．（8分）已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.
(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.
25．（10分）已知如图，等边的边长为，点分别从、两点同时出发，点沿向终点运动，速度为；点沿，向终点运动，速度为，设它们运动的时间为．
（1）当为何值时，？当为何值时，？
（2）如图②，当点在上运动时，与的高交于点，与是否总是相等？请说明理由．
26．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形．
（2）求△ABC的面积．
（3）若P点在x轴上，当BP+CP最小时，直接写出BP+CP最小值为 ．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边长的取值范围，再结合已知条件求出第三边长的最大整数值，即可求出三角形的周长最大值．
【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为和
∴5－2＜第三边长＜5＋2
解得：3＜第三边长＜7
∵第三边长为整数，
∴第三边长可以为4、5、6
∴第三边长的最大值为6
∴三角形的周长最大值为2＋5＋6=13
故选C．
【点睛】
此题考查的是根据三角形的两边长，求第三边的取值范围和求三角形的周长，掌握三角形的三边关系和三角形的周长公式是解决此题的关键．
2、B
【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度确定出点的横坐标与纵坐标，即可得解．
【详解】∵点在第四象限且到x轴距离为3，到y轴距离为6，
∴点的横坐标是6，纵坐标是-3，
∴点的坐标为（6，-3）．
故选B．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
3、C
【分析】根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【详解】∵∠GFA＝90°，∠A＝45°，
∴∠CGD＝45°，
∴∠BDC＝∠CGD＋∠C＝75°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
4、B
【解析】根据二次根式的性质进行化简，即可得到答案.
【详解】解：，
故选：B.
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行计算.
5、B
【解析】首先确定x轴、y轴的位置，然后根据轴对称图形的定义确定放的位置．
【详解】解：棋盘中心方子的位置用表示，则这点所在的横线是x轴，左下角方子的位置用，则这点向右两个单位所在的纵线是y轴，则小莹将第4枚圆子放的位置是时构成轴对称图形．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和坐标位置的确定，正确确定x轴、y轴的位置是关键．
6、D
【解析】先用含k的代数式表示出x的值，然后根据方程的解是正整数，且k为整数讨论即可得到k的值.
【详解】∵，
∴9-3x=kx，
∴kx+3x=9，
∴x=,
∵方程的解是正整数，且k为整数,
∴k+3=1，3，9，
k=-2，0，6，
当k=0时，x=3，分式方程无意义，舍去，
∴k=-2，6.
故选D.
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验.
7、D
【解析】试题分析：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
考点：特殊平行四边形的判定
8、C
【分析】由作图可知，DN为AC的垂直平分线，求得CD=12，再求出∠DAB=30°，BD=6，问题得解．
【详解】解：由作图可知，DN为AC的垂直平分线，
∴AD=CD=12，
∴∠C=∠CAD=30°，
∵，
∴∠CAB=60°，
∴∠DAB=30°，
∴，
∴BC=BD+CD=1．
故选：C
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、性质，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形性质．由作图得到“DN为AC的垂直平分线”是解题关键．
9、B
【解析】试题解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．
10、C
【分析】首先根据Rt△ABC的勾股定理得出AB的长度，根据AM=AC得出BM的长度，然后根据BN=BC得出BN的长度，从而根据MN=BN－BM得出答案．
【详解】∠ACB=90°，AC=40，CB=9
AB===41
又AM=AC，BN=BC
AM=40，BN=9
BM=AB-AM=41-40=1
MN=BN-BM=9-1=8
故选C
考点：勾股定理
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、3a（b-1）1
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式=3a（b1-1b+1）=3a（b-1）1，
故答案为：3a（b-1）1．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12、
【分析】不等式组整理后，根据4个整数解确定出a的范围即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
解得：1＜x＜-a-2，
由不等式组有4个整数解，得到整数解为2，3，4，5，
∴5＜-a-2≤6，
解得：-8≤a＜-7，
故答案为：-8≤a＜-7
【点睛】
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13、1
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=12cm，
∴∠A=∠ABD=15°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°，
∴在Rt△BCD中，BC=BD=×12=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
14、2
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长度，即可解决问题．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝10°，AB＝15，AC＝12，
∴BC＝ ＝＝1．
∴S△ABC＝×1×12＝2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查勾股定理的知识，属于基础题，解题关键是掌握勾股定理的形式．
15、
【分析】利用线段垂直平分线的性质和等边对等角可得，从而可求得，再利用三角形内角和定理即可得解．
【详解】解：∵DE垂直平分BC交BC于点D，，
∴EC=BE，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．理解垂直平分线的点到线段两端距离相等是解题关键．
16、
【分析】根据绝对值较小的数用科学记数法表示的一般形式是（n为正整数），其中n由原数左边第一个不为0的数左边所有0的个数决定，由此易用科学记数法表示出0.1．
【详解】∵绝对值较小的数的科学记数法的表示为（n为正整数），且0.1中1左边一共有个0
∴n=-6
∴0.1=
【点睛】
本题考查的知识点是科学记数法，掌握绝对值较小的数如科学记数法表示时10的指数与原数中左边第一个不为0的数的左边所有0的个数的关系是关键．
17、8
【解析】试题分析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可
考点：(1)、幂的乘方；(2)、积的乘方
18、 (27，0)
【分析】利用勾股定理和坐标轴上点的坐标特征分别求出P1、P2、P3的坐标，然后利用坐标变换规律写出P4，P5，P6的坐标．
【详解】解：由题意知OA＝1，OB＝，
则AB＝AP1＝ ＝2，
∴点P1（0，3），
∵BP1＝BP2＝ ＝2，
∴点P2（3，0），
∵P1P3＝P1P2＝ ＝6，
∴点P3（0，9），
同理可得P4（9，0），P5（0，27），
∴点P6的坐标是（27，0）．
故答案为（27，0）．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图和规律探索，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了从特殊到一般的方法解决规律型问题的方法．
三、解答题(共66分)
19、原式=
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式==
当x=1时，原式==1．
考点：分式的化简求值．
20、 甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【解析】设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）)元根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可；
设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式进行求解即可．
【详解】设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
甲乙两种商品的销售量为，
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
，
解得，
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键.
21、详见解析
【解析】求出BF=EC，可证△ABF≌△DCE，推出∠AFB=∠DEC，根据等角对等边即可得出答案．
【详解】∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=EC，
在△ABF和△DCE中，
∵，
∴△ABF≌△DCE(AAS)，
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定的应用，解答此题的关键是推出△ABF≌△DCE．
22、验证：（1）详见解析；（2）详见解析；延伸：详见解析.
【分析】（1）计算出的值即可知结论；（2）设三个连续的整数中间的一个为n，则最大的数为，最小的数为，由题意可得，化简即可；延伸：设中间一个数为，则最大的奇数为，最小的奇数为，由题意可得，化简即可.
【详解】解：发现：
即的结果是4的倍；
(2) 设三个连续的整数中间的一个为n，则最大的数为，最小的数为
又∵n是整数，
∴任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数；
延伸：设中间一个数为，则最大的奇数为，最小的奇数为

又∵n是整数
∴任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是8的倍数
【点睛】
本题主要考查可乘法公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
23、,证明详见解析
【解析】利用平行线的性质求得，然后利用ASA定理证明，从而使问题求解．
【详解】证明： ∵
∴
又∵，
∴（ASA）
∴
【点睛】
本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，题目比较简单，掌握两直线平行，内错角相等及ASA定理证明三角形全等是解题关键．
24、（1）见解析；（2）见解析
【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；
(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.
【详解】解：（1）连结AD ,

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,
∴AD⊥BC ,BD=AD ,
∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,
又∵BE=AF ,
∴△BDE≌△ADF（SAS）,
∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
（2）连结AD
∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,
∴AD=BD ,AD⊥BC ,
∴∠DAC=∠ABD=45° ,
∴∠DAF=∠DBE=135°,
又∵AF=BE ,
∴△DAF≌△DBE（SAS）,
∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.
∴△DEF为等腰直角三角形.
【点睛】
本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．
25、（1）当时，PQ∥AB，当时，；（2）OP=OQ，理由见解析
【分析】（1）当PQ∥AB时，△PQC为等边三角形，根据PC=CQ列出方程即可解出x的值，当PQ⊥AC时，可得，列出方程解答即可；
（2）作QH⊥AD于点H，计算得出QH=DP，从而证明△OQH≌△OPD（AAS）即可．
【详解】解：（1）∵当PQ∥AB时，
∴∠QPC=∠B=60°，
又∵∠C=60°
∴△PQC为等边三角形
∴PC=CQ，
∵PC=4-x，CQ=2x，
由4-x=2x
解得：，
∴当时，PQ∥AB；
若PQ⊥AC，
∵∠C=60°，
∴∠QPC=30°，
∴，
即，
解得：
∴当时，
（2）OP=OQ，理由如下：
作QH⊥AD于点H，
∵AD⊥BC，
∠QAH=30°，
∴，
∵DP=BP-BD=x-2，
∴DP=QH，
∴在△OQH与△OPD中
∴△OQH≌△OPD（AAS）
∴OQ=OP
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，全等三角形的性质及判定，几何中的动点问题，解题的关键是灵活运用等边三角形及全等三角形的性质及判定．
26、（1）见解析；（2）2；（3）
【分析】（1）△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，根据轴对称的性质画出三个点的对称点再连接即可作出△A1B1C1；
（2）用割补法求△ABC的面积即可；
（3）P点在x轴上，当BP+CP最小时，即可求出BP+CP最小值．
【详解】解：如图所示，
（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积为：；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，
连接CB′交x轴于点P，此时BP+CP最小，
BP+CP的最小值即为CB′＝．
故答案为．
【点睛】
本题结合网格图和平面直角坐标系考查了作已知图形的对称图形，割补法求三角形面积，简单的动点与最值问题，熟练掌握相关知识点是解答关键.