辽宁省沈阳市东北育才学校2023年数学八上期末质量检测试题【含解析】

这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校2023年数学八上期末质量检测试题【含解析】，共23页。试卷主要包含了下列命题中，逆命题是真命题的是，已知，已知一次函数y＝kx﹣b等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，直线经过点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．若4x2+m+9y2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．6xyB．±12xyC．36xyD．±36xy
3．如图，在四边形中，点是边上的动点，点是边上的定点，连接，分别是的中点，连接.点在由到运动过程中，线段的长度（ ）
A．保持不变B．逐渐变小C．先变大，再变小D．逐渐变大
4．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等；B．同旁内角互补，两直线平行；
C．对顶角相等；D．如果，那么
5．若等腰三角形的周长为，其中一边为，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．B．或C．或D．
6．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（ ）个．
A．5B．6C．7D．8
7．如图，菱形的对角线长分别为，则这个菱形面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为( )
A．8B．10C．12D．14
9．已知：如图，下列三角形中，，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
10．已知一次函数y＝kx﹣b（k≠0）图象如图所示，则kx﹣1＜b的解集为（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞0D．x＜0
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为.连接，并求的长__________．
12．如图，已知 ， 则 _________．
13．甲、乙二人做某种机械零件,己知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，依题意列方程为_________．
14．分解因式：a3－a=
15．分解因式：_______．
16．如图，在中，，是的平分线，⊥于点，点在上，，若，，则的长为_______．
17．已知x＝+1，则x2﹣2x﹣3＝_____．
18．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+1的图象经过A（a，m），B（a+1，n）两点，则m_____n．（填“＞”或“＜”）
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知，在中，，，，垂足为点，且，连接.
（1）如图①，求证：是等边三角形；
（2）如图①，若点、分别为，上的点，且，求证：；
（3）利用（1）（2）中的结论，思考并解答：如图②，为上一点，连结，当时，线段，，之间有何数量关系，给出证明.
20．（6分）如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．过点F作FN垂直于BA的延长线于点N．
（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．猜想BD，AF，DM三条线段的等量关系，并证明．
21．（6分）如图，边长分别为a,b的两个正方形并排放在一起，请计算图中阴影部分面积，并求出当a+b=16,ab=60时阴影部分的面积.
22．（8分）如下图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，，，，．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为 ，的坐标为 ．
（2）可以发现变换过程中……的纵坐标均为 ．
（3）按照上述规律将△OAB进行n次变换得到，则可知的坐标为 ， 的坐标为 ．
（4）线段的长度为 ．
23．（8分）计算
（1）；
（2）
24．（8分）如图，点，过点做直线平行于轴，点关于直线对称点为．
（1）求点的坐标；
（2）点在直线上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到，若点恰好落在直线上，求点的坐标和直线的解析式；
（3）设点在直线上，点在直线上，当为等边三角形时，求点的坐标．
25．（10分）如图,中,,,,若点从点出发以每秒的速度向点运动,设运动时间为秒.
(1)若点恰好在的角平分线上,求出此时的值;
(2)若点使得时,求出此时的值.
26．（10分）为开拓学生的视野，全面培养和提升学生的综合素质，让学生感受粤东古城潮州的悠久历史，某中学组织八年级师生共420人前往潮州开展研学活动．学校向租车公司租赁A、B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车5辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车3辆，则15人没座位．
（1）求A、B两种车型各有多少个座位？
（2）租车公司目前B型车只有6辆，若A型车租金为1800元/辆，B型车租金为2100元/辆，请你为学校设计使座位恰好坐满师生且租金最少的租车方案．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【详解】解：观察图象知：当时，，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．
2、B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：∵4x2+m+9y2＝（2x）2+m+（3y）2是一个完全平方式，
∴m＝±12xy，
故选：B．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键．
3、A
【分析】连接AQ，则可知EF为△PAQ的中位线，可知EF＝AQ，可知EF不变．
【详解】如图，连接AQ，
∵E、F分别为PA、PQ的中点，
∴EF为△PAQ的中位线，
∴EF＝AQ，
∵Q为定点，
∴AQ的长不变，
∴EF的长不变，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
4、B
【分析】先分别写出各命题的逆命题，再分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：A.全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等是假命题，所以A选项不符合题意；
B.同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补是真命题，所以B选项符合题意；
C.“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，所以C选项不符合题意；
D. 如果，那么的逆命题为如果，那么是假命题，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
5、C
【分析】分底为7cm和腰为7cm两种情况进行讨论，再根据三角形的三边关系进行验证．
【详解】分两种情况讨论：
①当底为7cm时，此时腰长为4cm和4cm，满足三角形的三边关系；
②当腰为7cm时，此时另一腰为7cm，则底为1cm，满足三角形的三边关系；
综上所述：底边长为1cm或7cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，分两种情况讨论是解答本题的关键．
6、D
【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB，②若BC=BA，③若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题．
【详解】①若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；
②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；
③若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．
∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．
综上所述：符合条件的点C的个数有8个．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
7、A
【解析】直接根据菱形的面积等于它的两条对角线的乘积的一半求出答案即可．
【详解】∵AC=5cm，BD=8cm，
∴菱形的面积=×5×8=10cm1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，熟知菱形ABCD的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
8、B
【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.
故选B.
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.
9、C
【分析】顶角为：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一条直线把等腰三角形分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形．
【详解】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能．
10、C
【分析】将kx-1＜b转换为kx-b＜1，再根据函数图像求解.
【详解】由kx-1＜b得到：kx-b＜1．
∵从图象可知：直线与y轴交点的坐标为（2，1），
∴不等式kx-b＜1的解集是x＞2，
∴kx-1＜b的解集为x＞2．
故选C．
【点睛】
本题考查的是一次函数的图像，熟练掌握函数图像是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】设，则，由翻折的性质可知，在Rt△ENC中，由勾股定理列方程求解即可求出DN，连接AN，由翻折的性质可知FN=AN，然后在Rt△ADN中由勾股定理求得AN的长即可．
【详解】解：如图所示，连接AN，
设，则，
由翻折的性质可知：，
在中，
有，，
解得：，
即cm．
在Rt三角形ADN中，
，
由翻折的性质可知．
【点睛】
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，利用勾股定理的到关于x的方程是解题的关键．
12、45°
【分析】根据三角形外角的性质得出∠ACD=∠2+∠B，再利用即可求出∠DCE的度数.
【详解】∵∠ACD=∠2+∠B=∠1+∠DCE，
∴，
故答案为：45°.
【点睛】
此题考查三角形的外角性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并熟练运用是解题的关键.
13、＝
【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x-6)个零件,再根据题中的等量关系即可列出方程.
【详解】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x-6)个零件,由甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等列出方程为＝.
【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出等量关系进行列方程.
14、
【解析】a3－a=a(a2-1)=
15、
【分析】根据提公因式法即可解答．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分解因式，解题的关键是掌握提公因式法，准确提出公因式．
16、
【分析】由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DE=DC，再由BD=DF，利用HL得到三角形FCD与三角形BDF全等，利用全等三角形对应边相等得出CD=BE，利用AAS得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，由AB=AE+EB，得出AB=AF+2BE．再利用直角三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
；
在和中，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：．
故答案：.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
17、1
【分析】将x的值代入原式，再依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】解：当x＝+1时，
原式＝（+1）2﹣2（+1）﹣3
＝6+2﹣2﹣2﹣3
＝1，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算顺序和运算法则．
18、＞
【解析】将点A，点B坐标代入可求m，n的值，即可比较m，n的大小．
【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+1的图象经过A（a，m），B（a+1，n）两点，
∴m＝﹣2a+1，n＝﹣2a﹣1
∴m＞n
故答案为＞
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式．
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）详见解析；（3），理由详见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一定理，得到，即可得到结论成立；
（2）由（1）得，，然后证明，即可得到结论成立；
（3）在上取一点，连接，使.，由（2）得，则，，然后得到，即可得到.
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴；
（3）；
理由如下：如图②，在上取一点，连接，使.
由（1）（2）可得，
∴，
在和中
∴
∴
∴；
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形进行证明.
20、（1）∠EAF=135°；（2）BD= AF+2DM，证明见解析
【分析】（1）证明△EBC≌△FNE，根据全等三角形的对应边相等和正方形的临边相等可证明NA=NF，由此可证△NAF为等腰直角三角形，可求得∠EAF；
（2）过点F作FG∥AB交BD于点G，证明四边形ABGF为平行四边形和△FGM≌△CDM，即可证得结论．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，FN垂直于BA的延长线于点N，
∴∠B=∠N=∠CEF=90°，BC=AB=CD，
∴∠NEF+∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠NEF=∠ECB，
∵EC=EF，
∴△EBC≌△FNE，
∴FN=BE, EN=BC ,
∴EN=AB，
∴EN﹣AE=AB﹣AE
∴AN=BE，
∴FN=AN，
∵FN⊥AB，
∴∠NAF=45°，
∴∠EAF=135°．
（2）三条线段的等量关系是BD=AF+2DM．
证明：过点F作FG∥AB交BD于点G．
由（1）可知∠EAF=135°，
∵∠ABD=45°
∴∠EAF=135°+∠ABD=180°，
∴AF∥BG，
∵FG∥AB，
∴四边形ABGF为平行四边形，
∴AF=BG，FG=AB，
∵AB=CD，
∴FG=CD，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠FGM=∠CDM，
∵∠FMG=∠CMD
∴△FGM≌△CDM，
∴GM=DM，
∴DG=2DM，
∴BD=BG+DG=AF+2DM．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定，平行线的性质．（1）中证明三角形全等属于“一线三等角（三个直角）”模型，熟识模型是解决此题的关键；（2）能正确作出辅助线是解题关键．
21、1
【解析】由题意表示出AB，AD，CG、FG，进而表示出BG，阴影部分面积=正方形ABCD+正方形ECGF面积-三角形ABD面积-三角形FBG面积，求出即可．
【详解】如图，
由题意得：AB=AD=a，CG=FG=b，BG=BC+CG=a+b，
∴S阴影=S正方形ABCD+S正方形ECGF-S直角△ABD-S直角△FBG
=AB•AD+CG•FG-AB•AD-BG•FG
=a2+b2-a2-（a+b）b
=（a2+b2-ab）
= [（a+b）2-3ab]，
∵a+b=16，ab=60，
∴S阴影=×（162-3×60）=1．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22、（1）(16，2)；(32，0)；（2）2；（3）(2n，2)；(2n+1，0)；（4）
【分析】（1）根据A1、A2、A3和B1、B2、B3的坐标找出规律，求出A4的坐标、B4的坐标；
（2）根据A1、A2、A3的纵坐标找出规律，根据规律解答；
（3）根据将△OAB进行n次变换得到△OAnBn的坐标变化总结规律，得到答案；
（4）根据勾股定理计算．
【详解】（1）∵A1（2，2），A2（4，2）A3（8，2），
∴A4的坐标为（16，2），
∵B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0），
∴B4的坐标为（32，0），
故答案为：（16，2）；（32，0）；
（2）变换过程中A1，A2，A3……An的纵坐标均为2，
故答案为：2；
（3）按照上述规律将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则可知An的坐标为（2n，2），
Bn的坐标为（2n+1，0）
故答案为：（2n，2）；（2n+1，0）；
（4）∵An的横坐标为2n，Bn﹣1的横坐标为2n，
∴AnBn﹣1⊥x轴，
又An的纵坐标2，
由勾股定理得，线段OAn的长度为：＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是坐标与图形、图形的变换、图形的变化规律，正确找出变换前后的三角形的变化规律、掌握勾股定理是解题的关键．
23、（1） ；（2） ．
【分析】（1）原式利用绝对值的意义，负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）
=
；
（2）
①×2得： ③，
③+②得：，
∴，
代入①得：，
∴，
∴原方程组的解为：．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24、（1）（3，0）；（2）A（1，）；直线BD为；（3）点P的坐标为（，）或（，）.
【分析】（1）根据题意，点B、C关于点M对称，即可求出点C的坐标；
（2）由折叠的性质，得AB=CB，BD=AD，根据勾股定理先求出AM的长度，设点D为（1，a），利用勾股定理构造方程，即可求出点D坐标，然后利用待定系数法求直线BD.
（3）分两种情形：如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ，PA．证明点P在AC的垂直平分线上，构建方程组求出交点坐标即可．如图3中，当点P在第三象限时，同法可得△CAQ≌△CBP，可得∠CAQ=∠CBP=30°，构建方程组解决问题即可．
【详解】解：（1）根据题意，
∵点B、C关于点M对称，且点B、M、C都在x轴上，
又点B（），点M（1，0），
∴点C为（3，0）；
（2）如图：
由折叠的性质，得：AB=CB=4，AD=CD=BD，
∵BM=2，∠AMB=90°，
∴，
∴点A的坐标为：（1，）；
设点D为（1，a），则DM=a，BD=AD=，
在Rt△BDM中，由勾股定理，得
，
解得：，
∴点D的坐标为：（1，）；
设直线BD为，则
，解得：，
∴直线BD为：；
（3）如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ，PA．
∵△ABC，△CPQ都是等边三角形，
∴∠ACB=∠PCQ=60°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵CA=CB，CP=CQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP=BQ，
∵AD垂直平分线段BC，
∴QC=QB，
∴PA=PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
由，解得，
∴P（，）．
如图3中，当点P在第三象限时，同法可得△CAQ≌△CBP，
∴∠CAQ=∠CBP=30°，
∵B（-1，0），
∴直线PB的解析式为，
由，解得：，
∴P（，）.
【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
25、 (1) 5秒 (2) 秒
【分析】(1) 作PD⊥AB于D，依据题意求出∽ ，设AP为x，用x表示PC，求出x即可.
(2)当P在AC上时，作PD⊥AB于D，由题意可得△ABP为等腰三角形PD也是中线，求出AD，根据∽，求出AP即可求出时间t.
【详解】(1)如图，作PD⊥AB于D，
∵点恰好在的角平分线上
∴PC=PD
∵
∴∽
∴
∵
∴
设AP为x，PC=
根据勾股定理得到
解得：x=5
∴AP=5
∴t=5 秒
答：若点恰好在的角平分线上，t为5秒.
(2)作PD⊥AB于D，
∵ PB+PC=AC
∴ PA=PB
∴AD=BD=5
∵∠A=∠A ∠ADP=∠ACB
∴∽
∴
∵ ,
∴
∴t=秒
答：为秒.
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理及相似三角形，熟记概念是解题的关键，重点是分类讨论.
26、（1）每辆A型车有45个座位，每辆B型车有60个座位；（2）租4辆A型车、4辆B型车所需租金最少
【分析】（1）设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位，根据“若租用A型车3辆，B型车5辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车3辆，则15人没座位”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租m辆A型车，n辆B型车，根据所租车辆的座位恰好坐满，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n为非负整数且n≤6，即可得出各租车方案，再求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设每辆型车有个座位，每辆型车有个座位，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆型车有45个座位，每辆型车有60个座位．
（2）设租辆型车，辆型车，
依题意，得：，
．
，均为非负整数，
当时，，，不合题意，舍去；当时，；当时，，
共有两种租车方案，方案1：租4辆型车，4辆型车；方案2：租8辆型车，1辆型车．
方案1所需费用为（元；
方案2所需费用为（元．
，
组4辆型车、4辆型车所需租金最少．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．