辽宁省沈阳市皇姑区五校2023-2024学年数学八年级第一学期期末经典试题【含解析】

这是一份辽宁省沈阳市皇姑区五校2023-2024学年数学八年级第一学期期末经典试题【含解析】，共19页。试卷主要包含了若方程组的解中，则等于，已知，下面是一名学生所做的4道练习题等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．利用乘法公式计算正确的是（ ）
A．（2x﹣3）2=4x2+12x﹣9B．（4x+1）2=16x2+8x+1
C．（a+b）（a+b）=a2+b2D．（2m+3）（2m﹣3）=4m2﹣3
2．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范圈是（ ）
A．B．C．且D．或
3．如图，是的中线，于点，已知的面积是5，，则的长为（ ）
A．B．C．D．1
4．若方程组的解中，则等于( )
A．2018B．2019C．2020D．2021
5．已知：一次函数的图像经过点A（，1）和点B（，-3）且＜，则它的图像大致是（ ）．
A．B．C．D．
6．人数相同的八年级一、二两班同学在同一次数学单元测试，班级平均分和方差如下：，，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A．一班B．二班C．两班成绩一样稳定D．无法确定
7．要使分式 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≠3C．x＜3D．x=3
8．下面是一名学生所做的4道练习题：①；②；③，④，他做对的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．某学校计划挖一条长为米的供热管道，开工后每天比原计划多挖米，结果提前天完成．若设原计划每天挖米，那么下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．蝴蝶标本可以近似地看做轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，于，于，若，平分，则下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）个
A．B．C．D．
12．在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法不正确的是（ ）
A．众数是5B．中位数是5C．平均数是6D．方差是3.6
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为_____．
14．如图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件，则这个正八边形的每个内角为_______．
15．请写出一个小于4的无理数：________.
16．如图，，要使，还需添加一个条件是：______．（填上你认为适当的一个条件即可）
17．如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则=_________．
18．把直线y＝﹣x向下平移_____个单位得到直线y＝﹣x﹣1．
三、解答题（共78分）
19．（8分）（1）计算：
（2）计算：
（3）因式分解：
（4）解方程：
20．（8分）已知 的积不含 项与 项，求 的值是多少？
21．（8分）观察下列等式
第1个等式
第2个等式
第3个等式
第4个等式
……
（1）按以上规律列出第5个等式 ；
（2）用含的代数式表示第个等式 （为正整数）.
（3）求的值．
22．（10分）小明遇到这样一个问题
如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且BD=BC，求证：∠ABC=2∠ACD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．
方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．
根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC=2∠ACD．
23．（10分）如图，点在上，，.求证：.
24．（10分）解方程：解下列方程组
（1）
（2）
25．（12分）已知x＝1﹣，y＝1+，求下列代数式的值：
（1）x1+1xy+y1；
（1）x1﹣y1．
26．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度数；
（1）求证：∠AEB=∠ACF；
（3）求证：EF1+BF1=1AC1．

参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】根据完全平方公式和平方差公式进行分析对照可得出结论.
【详解】A. （2x﹣3）2=4x2+12x+9,故本选项不能选；
B. （4x+1）2=16x2+8x+1, 故本选项能选；
C. （a+b）（a+b）=a2+2ab+b2，故本选项不能选；
D. （2m+3）（2m﹣3）=4m2﹣9，故本选项不能选.
故选B
【点睛】
本题考核知识点：整式乘法公式. 解题关键点：熟记完全平方公式和平方差公式.
2、C
【分析】先解分式方程,再根据解是非负数可得不等式,再解不等式可得.
【详解】方程两边乘以（x-1）得
所以
因为方程的解是非负数
所以,且
所以且
故选:C
【点睛】
考核知识点:解分式方程.去分母,解分式方程,根据方程的解的情况列出不等式是关键.
3、A
【分析】根据三角形的中线的性质得：的面积是2.5，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】∵是的中线， 的面积是5，
∴的面积是2.5，
∵，，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查三角形的中线的性质以及三角形的面积公式，掌握三角形的中线把三角形的面积平分，是解题的关键．
4、C
【分析】将方程组的两个方程相加，可得x＋y＝k−1，再根据x＋y＝2019，即可得到k−1＝2019，进而求出k的值．
【详解】解：,
①＋②得，5x＋5y＝5k−5，即：x＋y＝k−1，
∵x＋y＝2019，
∴k−1＝2019，
∴k＝2020，
故选：C．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解法，整体代入是求值的常用方法．
5、B
【分析】结合题意，得，；结合＜，根据不等式的性质，得；再结合与y轴的交点，即可得到答案．
【详解】∵一次函数的图像经过点A（，1）和点B（，-3）
∴，
∴，
∵＜
∴
∴
∴选项A和C错误
当时，
∴选项D错误
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像和不等式的性质，从而完成求解．
6、B
【分析】根据方差的意义判断．方差越小，波动越小，越稳定．
【详解】解：∵，
∴成绩较为稳定的班级是乙班．
故选：B．
【点睛】
本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
7、B
【分析】根据分式的分母不为0可得关于x的不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：根据题意，得：，解得：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，属于应知应会题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
8、B
【分析】根据零次幂、积的乘方、完全平方公式、负整数指数幂进行判断.
【详解】解：①，正确；
②，错误；
③，错误；
④，正确.
故选B.
【点睛】
本题考查了整式乘法和幂的运算，正确掌握运算法则是解题关键.
9、A
【分析】若计划每天挖x米,则实际每天挖x+5米,利用时间=路程÷速度,算出计划的时间与实际时间作差即可列出方程．
【详解】原计划每天挖x米,则实际每天挖x+5米,
那么原计划所有时间:;实际所有时间: ．
提前10天完成,即．
故选A．
【点睛】
本题考查分式方程的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
10、B
【分析】根据轴对称图形的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得解.
【详解】由题意，得
点的坐标为
故选：B.
【点睛】
此题主要考查平面直角坐标系中轴对称图形坐标的求解，熟练掌握，即可解题.
11、D
【分析】根据角平分线的性质即可判断①；根据HL可得Rt△DBE≌Rt△DCF，进而可得∠DBE=∠C，BE=CF，于是可判断②；根据平角的定义和等量代换即可判断③；根据HL可得Rt△ADE≌Rt△ADF，于是可得AE=AF，进一步根据线段的和差关系即可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵平分，于，于，
∴，DE=DF，故①正确；
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
∵DE=DF，，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴∠DBE=∠C，BE=CF，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∵DE=DF，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴，故④正确；
综上，正确的结论是：①②③④，有4个．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
12、D
【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．
【详解】A、数据中5出现2次，所以众数为5，此选项正确；
B、数据重新排列为3、5、5、7、10，则中位数为5，此选项正确；
C、平均数为（7+5+3+5+10）÷5=6，此选项正确；
D、方差为×[（7﹣6）2+（5﹣6）2×2+（3﹣6）2+（10﹣6）2]=5.6，此选项错误；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【解析】试题分析：由垂线段最短可知，当PQ与OM垂直的时候，PQ的值最小，根据角平分线的性质可知，此时PA=PQ=1．
故答案为1．
考点：角平分线的性质；垂线段最短．
14、135°
【分析】根据正多边形的内角和公式计算即可．
【详解】∵八边形的内角和为（8-2）×180°=1080°，
∴正八边形的每个内角为1080°÷8=135°，
故答案为：135°．
【点睛】
本题考查了正多边形的内角和，掌握知识点是解题关键．
15、答案不唯一如，等
【分析】开放性的命题，答案不唯一，写出一个小于4的无理数即可.
【详解】开放性的命题，答案不唯一，如等．
故答案为不唯一，如等．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
16、或或
【分析】由∠1=∠2可得∠AEB=∠AEC，AD为公共边，根据全等三角形的判定添加条件即可．
【详解】∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC，
∵AE为公共边，
∴根据“SAS”得到三角形全等，可添加BE=CE；根据“AAS”可添加∠B=∠C；根据“ASA”可添加∠BAE=∠CAE；
故答案为：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，全等三角形的常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
17、
【分析】根据直角三角形的性质得到BE=2DE=2（1+2.5）=7，过O作OF⊥AB于F，根据等腰三角形的性质得到BF=AF，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵,
∴DE=1+2.5=3.5
∵DE⊥BC，∠B=30°，
∴BE=2DE=7，
过O作OF⊥AB于F，
∵点D是BC的中点，
∴OC=OB，∠BDE=90°，
∵OC=OA，
∴OB=OA，∴BF=AF，
∵
∴∠FEO=60°，
∴∠EOF=30°，
∴EF=OE=，
∴BF=BE-EF=7- ，
∴AF=BF=，∴AE=AF-EF= ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
18、1．
【分析】直接根据“上加下减”的原则即可解答．
【详解】解：∵0﹣（﹣1）＝1，
∴根据“上加下减”的原则可知，把直线y＝﹣x向下平移1个单位得到直线y＝﹣x﹣1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一次函数的图像与几何变换，熟知图像平移的法则是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）10；（2）；（3）；（4）原方程无解
【分析】（1）利用零指数幂，负整数指数幂的意义化简即可得到结果；
（2）利用平方差公式及完全平方公式化简即可得到结果；
（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（4）先把分式方程化为整式方程，求出x的值，再代入最减公分母进行检验即可；
【详解】解：（1）
=
=10；
（2）
=
=；
（3）
=
=；
（4）
方程两边同乘以最简公分母（x+2）（x-2），
得：-（x+2）2+16= -（x+2）（x-2），
-x2-4x-4+16=-x2+4，
-4x=-8
∴x=2，
经检验：x=2不是原方程的根，
∴原方程无解．
【点睛】
本题考查整式的混合运算，因式分解的提公因式法与公式法的综合运用，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则．解分式方程一定注意要验根．
20、x3+1
【解析】试题分析：先根据多项式乘多项式的法则计算，再让x2项和x项的系数为0，求得a，c的值，代入求解．
解：∵（x+a）（x2﹣x+c），
=x3﹣x2+cx+ax2﹣ax+ac，
=x3+（a﹣1）x2+（c﹣a）x+ac，
又∵积中不含x2项和x项，
∴a﹣1=0，c﹣a=0，
解得a=1，c=1．
又∵a=c=1．
∴（x+a）（x2﹣x+c）=x3+1．
考点：多项式乘多项式．
21、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）、（2）根据题干中的规律，继续往下写即可；
（3）先提取公因式，然后发现用裂项相消发可以抵消掉中间项，从而算得结果.
【详解】（1）根据题干规律，则第5项为：
（2）发现一般规律，第n项是的形式，写成算式的形式为：
（3）
=+++
=[+++]
=
=
【点睛】
本题考查找规律，需要注意，当我们找到一般规律后，建议多代入几项进行验证，防止出错.
22、见解析
【分析】方法1，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC=2∠ACD．
方法2，作BE⊥CD，垂足为点E．利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等，即可得出∠ABC=2∠ACD．
方法3，作CF⊥AB，垂足为点F．利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到∠ACF=2∠ACD，再根据同角的余角相等，即可得到∠B=∠ACF，进而得出∠B=2∠ACD．
【详解】方法1：如图，∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°-∠ACD，
又∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴△BCD中，
∠ABC=180°-∠BDC -∠BCD =180°-2∠BCD=180°-2（90°-∠ACD）=2∠ACD；
方法2：如图，作BE⊥CD，垂足为点E．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
又∵BC=BD，BE⊥CD，
∴∠ABC=2∠CBE，
∴∠ABC=2∠ACD；
方法3：如图，作CF⊥AB，垂足为点F．
∵∠ACB=90°，∠BFC=90°，
∴∠A+∠ABC =∠BCF+∠ABC =90°，
∴∠A=∠BCF，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，即∠BCF+∠DCF=∠A+∠ACD，
∴∠DCF=∠ACD，
∴∠ACF=2∠ACD，
又∵∠ABC +∠BCF=∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ABC =∠ACF，
∴∠ABC =2∠ACD．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．
23、见解析
【分析】由BF=DC得出BC=DF，由得出∠B=∠D，结合∠A=∠E即可证出.
【详解】解：证明：
∵BF=DC，即BC+CF=DF+FC，
∴BC=DF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠D，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（AAS）.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，两直线平行，内错角相等．
24、（1）；（2）
【分析】（1）根据代入消元法即可解出；
（2）根据加减消元法即可解答．
【详解】解：（1），
由①可得：，代入②可得：，解得：，
将代入可得：
故原方程组的解为：；
（2）
由①-②得： ，解得：，
由①+②得：，解得：
故原方程组的解为：．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是灵活运用加减消元法和代入消元法．
25、（1）16；（1）﹣8
【分析】（1）根据已知条件先计算出x+y＝4，再利用完全平方公式得到x1+1xy+y1＝（x+y）1，然后利用整体代入的方法计算；
（1）根据已知条件先计算出x+y＝4，x﹣y＝﹣1，再利用平方差公式得到x1﹣y1＝（x+y）（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）∵x＝1﹣，y＝1+，
∴x+y＝4，
∴x1+1xy+y1＝（x+y）1＝41＝16；
（1））∵x＝1﹣，y＝1+，
∴x+y＝4，x﹣y＝﹣1，
∴x1﹣y1＝（x+y）（x﹣y）
＝4×（﹣1）
＝﹣8．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟记完全平方公式和平方差公式，利用整体思想方法解决问题是解答的关键．
26、（1）∠AEB=15°；（1）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根据三角形内角和定理求出即可；
（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，由SAS得出△BAF≌△CAF，从而得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案；
（3）根据全等得出BF=CF，由已知得到∠CFG=∠EAG=90°，由勾股定理得出EF1+BF1=EF1+CF1=EC1， EC1=AC1+AE1=1AC1，即可得到答案.
【详解】解：（1）∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAC=40°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=40°+90°=130°，
∴∠AEB=（180°﹣130°）÷1=15°；
（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAF=∠CAF．
在△BAF和△CAF中
，
∴△BAF≌△CAF（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF；
（3）∵△BAF≌△CAF，
∴BF=CF，
∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴EF1+BF1=EF1+CF1=EC1，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴EC1=AC1+AE1=1AC1，即EF1+BF1=1AC1．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等，能正确和熟练地应用这些知识解决问题是关键.