辽宁省沈阳市于洪区2023年数学八年级第一学期期末质量检测试题【含解析】

这是一份辽宁省沈阳市于洪区2023年数学八年级第一学期期末质量检测试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，在平面直角坐标系中，若要使等式成立，则等于，计算，点都在直线上，则与的大小关系是等内容，欢迎下载使用。
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如果分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
2．如图，△ABE≌△ACF，若AB=5，AE=2，则EC的长度是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
4．国际数学家大会的会标如图1所示，把这个图案沿图中线段剪开后能拼成如图2所示的四个图形，则其中是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=α，在AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF的周长最小．此时，∠EDF=( )
A．αB．C．D．180°-2α
6．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）
7．若要使等式成立，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．计算：
A．0B．1C．D．39601
9．点都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能比较
10．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CEB．AD=AEC．DA=DED．BE=CD
11．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )．
A．5B．6C．12D．16
12．正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．分解因式：__________.
14．如图，已知的面积为，平分，且于点，则的面积是____________．
15．如图，正方形ODBC中，OB=，OA=OB，则数轴上点A表示的数是__________.
16．的倒数是____．
17．若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 _________．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A(-3，2)，B(0，4)，C(0.2)，在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为______________

三、解答题（共78分）
19．（8分）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定天数是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙合做来完成，则该工程施工费用是多少？
20．（8分）（基础模型）
已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，过点C任作一条直线l（不与CA、CB重合），过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于 E．
（1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：△ACD≌△CBE
（模型应用）
在平面直角坐标性xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点 B．以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC．
（2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，点C的坐标为 ．
（3）若D是函数y＝x（x＜0）图象上的点，且BD∥x轴，当点C在第四象限时，连接CD交y轴于点E，则EB的长度为 ．
（4）设点C的坐标为（a，b），探索a，b之间满足的等量关系，直接写出结论．（不含字母k）
21．（8分）如图，是等边三角形，是的角平分线上一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点．
（1）若，求的长．
（2）连接，，试判断的形状，并说明理由．
22．（10分）某公司为增加员工收入，提高效益，今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率（）较去年翻一番，求今年该公司产品的利润率．
23．（10分）如图，在中，．求的度数．
24．（10分）如图，已知直线与直线、分别交于点、，点在上，点在上，，，求证：．
25．（12分）如图，点是等边三角形的边上一点，交于，延长至，使，连结交于．
（1）请先判断的形状，并说明理由．
（2）请先判断和是否相等，并说明理由．
26．已知一次函数的图象经过点，并且与轴相交于点，直线与轴相交于点，点恰与点关于轴对称，求这个一次函数的表达式．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据分式值为0得出x-2=0且x+1≠0，求出即可．
【详解】由分式的值为零的条件得x-2=0，x+1≠0，
由x-2=0，得x=2，
由x+1≠0，得x≠-1，
即x的值为2.
故答案选：C．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是熟练的掌握分式的值为零的条件.
2、B
【分析】根据△ABE≌△ACF，可得三角形对应边相等，由EC=AC-AE即可求得答案．
【详解】解：∵△ABE≌△ACF，AB＝5，AE＝2，
∴AB＝AC＝5，
∴EC=AC-AE=5-2=3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3、B
【解析】分析：如图，连接BF，
在菱形ABCD中，∵∠BAD=80°，
∴∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=CD，
∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°．
∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°．
∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°．
∵在△BCF和△DCF中，BC=CD，∠BCF=∠DCF，CF=CF，∴△BCF≌△DCF（SAS）．
∴∠CDF=∠CBF=60°．故选B．
4、C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,逐一判断即可．
【详解】解：①是轴对称图形，故符合题意；
②不是轴对称图形，故不符合题意；
③是轴对称图形，故符合题意；
④是轴对称图形，故符合题意．
共有3个轴对称图形
故选C．
【点睛】
此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键．
5、D
【分析】作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E，交BC于F，则点E，F即为所求．根据四边形内角和等于360°,可得∠ADC的度数,进而可得∠P+∠Q的度数，由对称性可得∠EDP+∠FDQ的度数，进而即可求解．
【详解】作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E，交BC于F，则点E，F即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=α，
∴∠ADC=180°-α，
∴∠P+∠Q=180°-∠ADC=α，
由对称性可知：EP=ED，FQ=FD，
∴∠P=∠EDP，∠Q=∠FDQ，
∴∠EDP+∠FDQ=∠P+∠Q=α，
∴
故选D．
【点睛】
本题主要考查轴对称的性质和应用，四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理，掌握掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
6、A
【解析】点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选A．
7、B
【分析】利用A=（3x+4y）2-（3x-4y）2，然后利用完全平方公式展开合并即可．
【详解】解：∵（3x+4y）2=9x2+24xy+16y2，（3x-4y）2=9x2-24xy+16y2，
∴A=9x2+24xy+16y2-（9x2-24xy+16y2）=48xy．
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2,掌握公式是关键．
8、B
【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可.
【详解】解：1002-2×100×99+992
=（100-99）2
=1．
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键.
9、A
【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．
【详解】解：∵直线中，-1＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵-4＜1，
∴y1＞y1．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质．解答此题要熟知一次函数y=kx+b：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
10、C
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误；
B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误；
C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确；
D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误．
故选C．
11、C
【分析】设此三角形第三边长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找到符合条件的x值即可．
【详解】设此三角形第三边长为x，则
10-4﹤x﹤10+4，即6﹤x﹤14，
四个选项中只有12符合条件，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
12、A
【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】先提取公因式3xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】3x3y﹣12xy
=3xy(x2﹣4)
=3xy(x+2)(x﹣2)．
故答案为：3xy(x+2)(x﹣2)．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14、9
【分析】延长AP交BC于D点，可证△APB≌△DPB，可得AP=PD，△APC的面积等于△CPD的面积，利用面积的加减可得△BPC的面积是△ABC面积的一半．
【详解】延长AP交BC于D点，
∵平分，且
∴∠APB=∠DPB，∠APB=∠BPD=90°
又BP=BP
∴△APB≌△DPB（ASA）
∴AP=PD，S△APB=S△BPD
∴S△APC=S△PCD
∴S△APB+S△APC =S△BPD +S△PCD
∴S△BPC==9
故答案为：9
【点睛】
本题考查的是三角形的全等及三角形的面积，掌握等底等高的三角形面积相等是关键．
15、
【解析】∵OB=，
∴OA=OB=，
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是−，
故答案为：−.
16、．
【分析】由倒数的定义可得的倒数是，然后利用分母有理化的知识求解即可求得答案．
【详解】∵．
∴的倒数是：．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了分母有理化的知识与倒数的定义．此题比较简单，注意二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
17、a＜b＜c
【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可．
【详解】解：∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4004=2000+2×1002，
1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1．
∴a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c.
【点睛】
这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式．
18、 (-2，0)
【分析】作点B关于x轴的对称点D，连接AD，则AD与x轴交点即为点P位置，利用待定系数法求出AD解析式，再求出点P坐标即可．
【详解】解：作点B关于x轴的对称点D，则点D坐标为（0，-4），连接AD，则AD与x轴交点即为点P位置．
设直线AD解析式为y=kx+b（k≠0），
∵点A、D的坐标分别为（-3,2），（0，-4），
∴
解得
∴直线AD解析式为y=-2x-4，
把y=0代入y=-2x-4，
解得x=-2，
∴点P的坐标为（-2,0）．
【点睛】
本题考查了将军饮马问题，根据题意作出点B关于x轴对称点D，确定点P位置是解题关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）这项工程的规定时间是30天；（2）该工程的施工费用为153000元
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据工程问题的等量关系列分式方程求解；
（2）通过第一问求出的甲、乙单独完成的时间，算出合作需要的时间，乘以每天的费用得到总费用．
【详解】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
，
解得，
经检验是方程的解，
答：这项工程的规定时间是30天；
（2）该工程由甲、乙合做完成，所需时间为；
(天），
则该工程的施工费用是：18×（5500+3000）=153000（元），
答：该工程的施工费用为153000元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，解题的关键是掌握工程问题中的列式方法．
20、（1）详见解析；（2）(﹣6，﹣2)；（3）2；（1）a+ b=-1或b﹣a＝1．
【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠CAD＝∠BCE，进而利用AAS即可得出结论；
（2）先求出直线l的解析式，进而确定出点A，B坐标，再判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；
（3）同（2）的方法可得△OAB≌△FBC，从而得BF＝OA＝1，再证△BED≌△FEC（AAS），即可得到答案；
（1）分点C在第二象限，第三象限和第四象限三种情况：先确定出点A，B坐标，再同（2）（3）的方法确定出点C的坐标（用k表示），即可得出结论．
【详解】（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵直线l：y＝kx﹣1k经过点(2，﹣3)，
∴2k﹣1k＝﹣3，
∴k＝，
∴直线l的解析式为：y＝x﹣6，
令x＝0，则y＝﹣6，
∴B(0，﹣6)，
∴OB＝6，
令y＝0，则0＝x﹣6，
∴x＝1，
∴A(1，0)，
∴OA＝1，
同（1）的方法得：△OAB≌△EBC（AAS），
∴CE＝OB＝6，BE＝OA＝1，
∴OE＝OB﹣BE＝6﹣1＝2，
∵点C在第三象限，
∴C(﹣6，﹣2)，
故答案为：(﹣6，﹣2)；
（3）如图2，
对于直线l：y＝kx﹣1k，
令x＝0，则y＝﹣1k，
∴B(0，﹣1k)，
∴OB＝1k，
令y＝0，则kx﹣1k＝0，
∴x＝1，
∴A(1，0)，
∴OA＝1，
过点C作CF⊥y轴于F，则△OAB≌△FBC（AAS），
∴BF＝OA＝1，CF＝OB＝1k，
∴OF＝OB+BF＝1k+1，
∵点C在第四象限，
∴C(1k，-1k-1)，
∵B(0，﹣1k)，
∵BD∥x轴，且D在y＝x上，
∴D(﹣1k，﹣1k)，
∴BD＝1k＝CF，
∵CF⊥y轴于F，
∴∠CFE＝90°，
∵BD∥x轴，
∴∠DBE＝90°＝∠CFE，
∵∠BED＝∠FEC，
∴△BED≌△FEC（AAS），
∴BE＝EF＝BF＝2，
故答案为：2；
（1）①当点C在第四象限时，由（3）知，C(1k，-1k-1)，
∵C(a，b)，
∴a＝1k，b＝-1k-1，
∴a+ b=-1；
②当点C在第三象限时，由（3）知，B(0，﹣1k)，A(1，0)，
∴OB＝1k，OA＝1，
如图1，由（2）知，△OAB≌△EBC（AAS），
∴CE＝OB＝1k，BE＝OA＝1，
∴OE＝OB﹣BE＝1k﹣1，
∴C(﹣1k，-1k+1)，
∵C(a，b)，
∴a＝﹣1k，b＝-1k+1，
∴b﹣a＝1；
③当点C在第二象限时，如图3，由（3）知，B(0，﹣1k)，A(1，0)，
∴OB＝1k，OA＝1，
∵△OAB≌△MBC（AAS），
∴CM＝OB＝1k，BM＝OA＝1，
∴OM＝BM﹣BO＝1﹣1k，
∴C(﹣1k，1﹣1k)，
∵C(a，b)，
∴a＝﹣1k，b＝1﹣1k，
∴b﹣a＝1；
④点C不可能在第一象限；
综上所述：a+ b=-1或b﹣a＝1．
图3
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质定理与等腰直角三角形的性质定理以及一次函数图象的综合，掌握“一线三垂直”三角形全等模型，是解题的关键．
21、（1）；（2）是直角三角形，理由见解析．
【分析】（1）由是等边三角形，是的平分线，得，结合，，即可得到答案；
（2）由，得，由垂直平分线段，得，进而即可得到结论．
【详解】（1）∵是等边三角形，是的平分线，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴；
（2）是直角三角形．理由如下：
连接、，
∵是等边三角形，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质定理，中垂线的性质定理以及直角三角形的判定与性质定理，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
22、今年该公司产品的利润率．
【分析】设去年产品出厂价为a，去年产品成本为b，根据利润率计算公式列出方程，求出a和b的数量关系，进而求出产品的利润率．
【详解】解：设去年产品出厂价为a，去年产品成本为b，根据题意，
,
整理得：，
解得：，
∴今年的利润率为．
答：今年该公司产品的利润率．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，解答本题的关键是正确设出产品的出厂价和成本价，并表示今年的出厂价和成本，利用今年的利润率较去年翻一番列出方程．
23、37.5°
【分析】利用等边对等角的性质结合三角形内角和定理可求出，再根据外角的性质可得的度数.
【详解】证明：∵，，
∴
．
又∵，
∴．
而，
∴．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，还涉及了三角形内角和定理及三角形外角的性质，灵活利用等腰三角形等边对等角的性质是解题的关键.
24、证明见详解
【分析】由题意易得∠1=∠AFB=∠2，则有DM∥BN，进而可得∠B=∠AMD，则问题可得证．
【详解】证明：，，
∠1=∠AFB=∠2，
DM∥BN，
∠B=∠AMD，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
25、（1）等边三角形，证明见解析；（2），证明见解析．
【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质，即可完成证明；
（2）根据（1）的结论，结合，可得；再根据平行线性质，得，，从而得到，即可得到答案．
【详解】（1）∵是等边三角形
∴
∵
∴，
∴
∴是等边三角形；
（2）∵是等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴，
在和中
∴
∴．
【点睛】
本题考查了等边三角形、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、平行线、全等三角形的性质，从而完成求解．
26、y=-4x-1．
【分析】先求出点Q的坐标，继而根据关于x轴对称的点的坐标特征求出点P的坐标，然后将（-2，5），点P坐标代入解析式利用待定系数法进行求解即可．
【详解】∵直线与轴相交于点，
当x=0时，y=-x+1=1，
∴Q（0，1），
∵点恰与点关于轴对称，
∴P（0，-1），
将（-2，5）、（0，-1）分别代入y=kx+b，得
，
解得：，
所以一次函数解析式为：y=-4x-1．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求出点P的坐标是解题的关键．