辽宁省铁岭市昌图县2023-2024学年八年级数学第一学期期末学业水平测试试题【含解析】

这是一份辽宁省铁岭市昌图县2023-2024学年八年级数学第一学期期末学业水平测试试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知点P等内容，欢迎下载使用。
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．10
2．以二元一次方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．如图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A．B．C．D．
5．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误( )．
A．①B．②C．③D．④
6．如图，，，过作的垂线，交的延长线于，若，则的度数为（ ）
A．45°B．30°C．22.5°D．15°
7．如图，在平面直角坐标系中有一个3×3的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）A的坐标为（﹣1，1），左上角格点B的坐标为（﹣4，4），若分布在过定点（﹣1，0）的直线y＝﹣k（x+1）两侧的格点数相同，则k的取值可以是（ ）
A．B．C．2D．
8．已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（﹣m，1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线，当∠ACE＝35°时，∠BAD的度数是（ ）
A．55°B．40°C．35°D．20°
10．我们知道方程x2＋2x-3＝0的解是x1＝1，x2＝-3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)-3＝0，它的解是( )．
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝-3
C．x1＝-1，x2＝3D．x1＝-1，x2＝-3
11．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前了8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C．D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是B．﹣49的平方根是±7
C．11的算术平方根是D．（﹣1）2的立方根是﹣1
二、填空题（每题4分，共24分）
13．分式与的最简公分母是____．
14．如图，，的平分线相交于点，过点作，交于，交于，那么下列结论：①，都是等腰三角形；②；③的周长为；④．其中正确的是________．
15．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．
16．点和点关于轴对称，则的值是______．
17．如图所示，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位到达点，点表示，设点所表示的数为，则的值是__________．
18．如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）甲、乙两名队员参加设计训练，成绩分别被制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）表格中 ， ， ；
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
（3）如果乙再射击次，命中环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”“变小”或“不变”）
20．（8分）如图，是等边三角形，点是的中点，，过点作，垂足为,的反向延长线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：垂直平分．
21．（8分）已知，如图，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝60°，求∠CAE的度数．（写出推理过程）
22．（10分）（1）计算：
（2）计算：
23．（10分）某服装店用4 500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2 100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
(1)这两次各购进这种衬衫多少件？
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1 950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？
24．（10分）计算题
（1）
（2）
25．（12分）（模型建立）
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△CDA≌△BEC．
（模型运用）
（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
（模型迁移）
如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．
26．已知x、y是实数，且x＝++1，求9x﹣2y的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】试题分析：根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解．
解：∵正n边形的一个内角为135°，
∴正n边形的一个外角为110°﹣135°=45°，
n=360°÷45°=1．
故选C．
考点：多边形内角与外角．
2、A
【分析】求出方程组的解，即可作出判断．
【详解】
①+②得：2y=8，
解得：y=4，
把y=4代入②得：x=3，
则（3，4）在第一象限，
故选：A．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及点的坐标，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3、D
【详解】选项A、B中的图形是轴对称图形，只有1条对称轴；
选项C中的图形不是轴对称图形；
选项D中的图形是轴对称图形，有2条对称轴.
故选D.
4、B
【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A．此图案是轴对称图形，不符合题意；
B．此图案不是轴对称图形，符合题意；
C．此图案是轴对称图形，不符合题意；
D．此图案是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5、B
【解析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：
．
故从第②步开始出现错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6、C
【分析】连接AD，延长AC、DE交于M，求出∠CAB=∠CDM，根据全等三角形的判定得出△ACB≌△DCM，求出AB=DM，求出AD=AM，根据等腰三角形的性质得出即可．
【详解】解：连接AD，延长AC、DE交于M，
∵∠ACB=90°，AC=CD，
∴∠DAC=∠ADC=45°，
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠CAB=∠CDM，
在△ACB和△DCM中
∴△ACB≌△DCM（ASA），
∴AB=DM，
∵AB=2DE，
∴DM=2DE，
∴DE=EM，
∵DE⊥AB，
∴AD=AM，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM是解此题的关键．
7、B
【分析】由直线解析式可知:该直线过定点（﹣1，0），画出图形，由图可知：在直线CD和直线CE之间，两侧格点相同，再根据E、D两点坐标求k的取值
【详解】解:∵直线y＝﹣k（x+1）过定点（﹣1，0），分布在直线y＝﹣k（x+1）两侧的格点数相同，
由正方形的对称性可知，直线y＝﹣k（x+1）两侧的格点数相同，
∴在直线CD和直线CE之间，两侧格点相同，（如图）
∵E（﹣3，3），D（﹣3，4），
∴﹣1＜﹣k＜﹣，则＜k＜1．
故选B．
【点睛】
此题考查的是一次函数与图形问题，根据一次函数的图像与点的坐标的位置关系求k的取值是解决此题的关键.
8、A
【分析】根据y轴的负半轴上的点横坐标等于零，纵坐标小于零，可得m的值，再根据不等式的性质解答．
【详解】解：∵点P（0，m）在y轴的负半轴上，
∴m＜0，
∴﹣m＞0，
∴点M（﹣m，1）在第一象限，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系有关的概念和不等式及其性质．解题的关键是掌握y轴的负半轴上的点的特点．
9、D
【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵CE是∠ACB的平分线，∠ACE＝35°，
∴∠ACB＝2∠ACE＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
10、D
【分析】将作为一个整体，根据题意，即可得到的值，再通过求解一元一次方程，即可得到答案．
【详解】根据题意，得：或
∴或
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
11、B
【解析】关键描述语为：“提前了1天完成任务”；等量关系为：原计划用时-实际用时=1．
【详解】原计划用时为天，而实际用时＝天．那么方程应该表示为．
故选B．
【点睛】
列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
12、C
【详解】解：A、的立方根是：，故此选项错误；
B、﹣49没有平方根，故此选项错误；
C、11的算术平方根是，正确；
D、的立方根是1，故此选项错误；
故选C．
【点睛】
本题考查一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案．
【详解】解：∵分式的分母，都是单项式，
∴分式与的最简公分母是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查的是最简公分母，熟知当各分母都是单项式时，即有最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里是解答此题的关键．
14、①②③
【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质以及等量代换可得∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理也是等腰三角形；②根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC,然后等量代换即可判定；③根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC ，然后再判定即可；④无法判断．
【详解】解：①∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF=∠CBF
又∵DE//BC
∴∠CBF=∠DFB
∴∠ABF=∠DFB
∴DB=DF，即△BDF是等腰三角形，
同理可得是等腰三角形，故①正确；
②∵△BDF是等腰三角形，
∴DB=DF
同理：EF=EC
∴DE=DF+EF=BD+CE,故②正确；
③∵DF=BD,EF=EC
∴的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF= AD+BD+AE+CE=AB+AC，故③正确；
④无法判断BD=CE，故④错误．
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用，涉及面较广，因此灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
15、1
【解析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：＝11，
则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−11＝1（cm）．
故答案为1．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．
16、3
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
【详解】解：∵点A和点B关于y轴对称，
∴可得方程组，
解得：，
∴a-b=3，
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等得出a，b是解题关键．
17、
【分析】先根据数轴上点的平移的性质求得m，将m的值代入，根据绝对值的性质（）进行化简即可．
【详解】解：由题意知，A点和B点的距离为2，A的坐标为，
∴B点的坐标为；
∴
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查实数与数轴，化简绝对值，无理数的估算．能估算的正负，并且根据绝对值的意义化简是解决此题的关键．
18、1
【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．
【详解】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=1，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=1．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=1．
【点睛】
此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）7；7.5；7（2）乙，理由见解析；（3）变小．
【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；
（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析；
（3）根据方差公式即可求解判断．
【详解】（1）甲的平均成绩a＝＝7（环），
甲的成绩的众数c＝7（环），
∵乙射击的成绩从小到大重新排列为：3、4、6、7、7、1、1、1、9、10，
∴乙射击成绩的中位数b＝＝7.5（环），
故答案为7；7.5；7
（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，
从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，
从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中1环的次数最多，
从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；
综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大；
（3）乙再射击次，命中环，那么乙的射击成绩的方差为：
×[（3−7）2＋（4−7）2＋（6−7）2＋3×（7−7）2＋3×（1−7）2＋（9−7）2＋（10−7）2]
＝×（16＋9＋1＋3＋4＋9）
≈3.1．
故方差变小
故答案为：变小．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．
20、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先证明≌得到，再根据等边三角形即可求解；
（2）根据得到，得到△ABM是等腰三角形，根据三线合一即可求解．
【详解】证明：（1）∵点是的中点
∴
∵
∴
在和中
∴≌
∴
∴
∴
（2）∵点是等边中边的中点
∴且平分
∴,
∵
∴
∴
∴是等腰三角形
又∵
∴是中边的中线
又
∴垂直平分．
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质与证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定、等边三角形的性质及垂直平分线的判定．
21、130°，见解析
【分析】根据AD∥BC利用平行线的性质证得∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，即可得到答案.
【详解】∵AD∥BC(已知)，
∴∠EAD=∠B=70°（两直线平行，同位角相等），
∠CAD=∠C＝60°（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAE=∠EAD+∠CAD=130°.
【点睛】
此题考查平行线的性质，熟记性质定理并运用解题是关键.
22、（1）；（2）1
【分析】（1）依次将各式化成最简二次根式，合并即可；
（2）按照二次根式性质进行化简，再计算即可.
【详解】解：（1）原式＝+2﹣
＝；
（2）原式＝2×﹣3+×3
＝1﹣3+2
＝1．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合加减运算以及实数的混合计算，解答关键是根据法则进行计算.
23、 (1)第一批衬衫进了30件，第二批进了15件(2)第二批衬衫每件至少要售170元
【解析】试题分析：（1）设第一批衬衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x-10）元，再根据等量关系：第二批进的件数=×第一批进的件数可得方程；
（2）设第二批衬衫每件售价y元，由利润=售价-进价，根据这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，可列不等式求解．
试题解析：（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x﹣10）元，根据题意可得：，
解得：x=150，
经检验x=150是原方程的解，
答：第一批T恤衫每件进价是150元，第二批每件进价是140元，
（件），（件），
答：第一批T恤衫进了30件，第二批进了15件；
（2）设第二批衬衫每件售价y元，根据题意可得：
30×50+15（y﹣140）≥1950，
解得：y≥170，
答：第二批衬衫每件至少要售170元
【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．
24、 (1)11;(2)
【分析】（1）原式利用完全平方公式展开，合并即可得到答案；
（2）原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．
【详解】（1）
（2）原式
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）；（3）点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
【分析】（1）由“AAS”可证△CDA≌△BEC；
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E，由（1）可知△BOA≌△AED，可得DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，可求点D坐标，由待定系数法可求解析式；
（3）分两种情况讨论，通过证明△OAP≌△CPB，可得OP＝BC＝4，即可求点P坐标．
【详解】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
又CA＝BC，∠D＝∠E＝90°
∴△CDA≌△BEC（AAS）
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E
∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
由（1）得△BOA≌△AED，
∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，
∴OE＝7，
∴D（﹣7，3）
设l2的解析式为y＝kx+b，
得
解得
∴直线l2的函数表达式为：
（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，
∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（4，0）
若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，
∴∠APE＝∠PBC，
∵∠AOE＝∠BCO＝30°，
∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（﹣4，0）
综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
【点睛】
本题是一道关于一次函数的综合题目，涉及到的知识点有全等三角形的判定定理及其性质、一次函数图象与坐标轴的交点、用待定系数法求一次函数解析式、旋转的性质等，掌握以上知识点是解此题的关键．
26、-1.
【解析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得，y﹣5≥0，5﹣y≥0
∴y＝5 x＝1
∴9x﹣2y＝9×1﹣2×5＝﹣1
∴9x﹣2y的值为﹣1
【点睛】
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
平均数（环）
中位数（环）
众数（环）
方差
甲
乙