[数学]河南省2024届高考考前模拟考试试题(解析版)

这是一份[数学]河南省2024届高考考前模拟考试试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数的模长为1，则的模长是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】设，则，
即，
又z2=a+bi2=a2-b2+2abi，
所以
.
故选：A.
2. 把函数fx=cs5x的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A. y=cs5x+1B. y=cs5x+15
C. y=cs5x-1D. y=cs5x-15
【答案】A
【解析】由题意新函数解析式为y=cs5(x+15)=cs(5x+1).
故选：A．
3. 下面四个数中，最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，即，
所以，，故B，C错误；
又，所以.
故选：D.
4. 从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；
要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，
所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；
数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.
所以该三位数能被3整除的概率为.
故选：D.
5. 若等差数列 的前n项和为S ，且满足 ，对任意正整数 ，都有 则 的值为（ ）
A. 21B. 22C. 23D. 24
【答案】C
【解析】依题意，，则，
又，则，，
等差数列的公差，因此数列单调递减，
，且，
即任意正整数，恒成立，
所以对任意正整数，都有成立的.故选：C.
6. 已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
又由a2+b2-c2=2abcsC，
所以.
所以
所以，又因为在中，，所以.
故选：A.
7. 椭圆的离心率为e，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（ ）
A. 必在圆内B. 必在圆上
C. 必在圆外D. 与圆的关系与e有关
【答案】A
【解析】根据题目条件有，e=ca.
由和是方程的两个根，故由韦达定理得，x1x2=-ca，
从而x12+x22=x1+x22-2x1x2=b2a2+2ca=b2+2aca2
=a2-c2+2aca2=1+2ca-c2a2=1+2e-e2=2-1-e25，则，故C正确；
对于D，M=x,y∣y=x，或y=-x,N=x,y∣y=x，
则，故D正确.
故选：ACD.
10. 如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆与横杆组成，为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆始终保持水平．如图2所示，以点为原点，水平方向为轴正方向建立平面直角坐标系．若点距水平地面的高度为1米，转动杆的长度为1.6米，横杆的长度为2米，绕点在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角（ ）

A. 则点运动的轨迹方程为（其中）
B. 则点运动的轨迹方程为（其中）
C. 若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则横杆距水平地面的高度为米
D. 若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则点运动轨迹的长度为米
【答案】BC
【解析】对于A：点P的轨迹显然是以O为原点，OP为半径的圆，
故点P运动轨迹方程为（其中），故A错误；
对于B：设，因为PQ平行于x轴，
所以，所以，又因为在加圆上，
所以点Q的运动轨迹是以为圆心，1.6为半径的圆，
所以点Q的轨迹方程为（其中），故B正确；
对于C：若OP绕点O从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，
横杆PQ达到最高点，此时横杆PQ距水平地面的高度为，故C正确；
对于D：因为绕点O从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，
故绕点转动的角度与点绕点转动的角度一样为，
所以点Q运动轨迹的长度即为圆（其中）的弧长，等于，故D错误.
故选：BC.
11. 同余关系是数论中的重要概念，在我国南北朝时期的著作《孙子算经》中就对同余除法有了较深的研究.设a，b，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.则下列选项中正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】若，则或，故，故A正确；
因为，所以被3除得的余数为1，56被除得的余数为2，故B错误；
由得，由得，
，被m除得余数为2，而被m除得的余数为3，故C错误；
若，则，
，
，
所以，故D正确，
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出函数的一条斜率为正的切线方程：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】，，则，
取切点为，则斜率为，
又，
则切线方程为：，即.
故答案为：（答案不唯一）.
13. 已知，，，，则的值为__________．
【答案】
【解析】∵，，∴，，
∴，
，
∴
．
14. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则___________；___________.
【答案】
【解析】在1-20内与12互质的数有1，5，7，11，13，17，19，所以 ；
根据定义，对于 整数的x不存在，则a是12的二次非剩余数，
显然，当a=1时，x=11；当a=13时，x=7；
当a=5，7，11，17，19时，x不存在；
.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式.其中，.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式.
（1）利用以上信息，证明三角形的面积公式；
（2）在中，，，求面积的最大值.
解：（1）因为，即，
可得
，
且，则，所以
（2）因为，
由题意可得，即，
整理得，
由正弦定理可得，即，
面积
，
因为，当且仅当时，等号成立，
则，
所以面积的最大值为.
16. 已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）求证：．
（1）解：因为，所以，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知曲线在点处的切线方程为，
所以，解得(负值舍去)，所以.
（2）证明：由第1问可知，.
要证，即要证，
只需证.
构造函数，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，所以，所以.
17. 如图所示，四边形为梯形，，，，以为一条边作矩形，且，平面平面．

（1）求证：；
（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成二面角为，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．
（1）证明：如图所示的等腰梯形中，过点，分别作，，垂足为，，
则为矩形，，在中，，，
所以，则，
在中，，
∴，∴，∴．
又∵平面平面，平面平面，
平面，
∴平面，又平面，
所以.

（2）解：由（1）可知平面，又，如图建立空间直角坐标系，
则A3,0,0，，，，，设，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
取，
又平面的一个法向量为，
所以，
因，，所以，
设平面与平面所成的角为，则，
又，所以存在使得，
易知平面，平面，
所以是在平面上的正投影，
，
由，所以，
所以在线段上存在点，使得.

18. 为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为；若该区域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为.已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为0.2.现用2台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.
（1）若.
（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；
（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到0.001）；
（2）若监测系统在监测识别中，当时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍稀动物活动时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，该区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为0.9.求的范围（精确到0.001）.
（参考数据：）
解：（1）记事件为“监测系统判定指定区域有珍稀动物活动”，事件为“监测区域实际上有珍稀动物活动”，
（i）；
（ii）
，
则；
（2），
，
由题意可得，即，
令，，得，，故，，
即，即，则，
因为，所以，所以，
故，即，所以，
故.
19. 阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
（1）已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；
（2）已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为椭圆过点P(4,0)，
则，得，又，所以，所以，
所以椭圆C的方程为.
根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即；
（2）由题意，设点Q的坐标为(,)，
因为点Q在直线上运动，所以，
联立，得，，
该方程无实数根，所以直线与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外，
又QM，QN都与椭圆C相切，
所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.
对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为，
将代入，整理得，
又因为定点T的坐标与的取值无关，
所以，解得，所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.
当时，T是线段MN的中点，
设，直线MN的斜率为，则，
两式相减，整理得，即，
所以当时，直线MN的方程为，即.