2025届高考数学一轮复习教师用书拓展拔高6双变量问题讲义（Word附解析）

拓展拔高6　双变量问题【高考考情】近几年,在高考试题中常涉及“双变量”或“双参”问题,试题常常出现在“压轴题”的位置.这类试题不仅形式多样,而且联系的知识面较广,构造思维要求较高,因此具有很好的区分度.【解题关键】一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量满足的关系式,并把含双变量问题转化为含单变量的问题;二是巧妙构造函数,并借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.视角一　利用双变量的关系化为单变量[例1](2023·长春模拟)已知f(x)=12x2-2x+2aln x有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)>-3.【切入点】x1,x2是函数f(x)的两个不等的极值点,则x1,x2是方程f'(x)=0的两个不等实根,由根与系数的关系可得x1,x2之间的关系,由此可利用替换法将双变量化为单变量.【证明】f'(x)=x-2+2ax=x2-2x+2ax(x>0).因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,所以方程x2-2x+2a=0有两个正根x1,x2.所以x1+x2=2,x1·x2=2a>0,且Δ=4-8a>0,解得02,即证(1+t)lntt-1>2(t>1).设g(t)=ln t-2(t-1)t+1(t>1),g'(t)=1t-2(t+1)-2(t-1)(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0,所以g(t)在(1,+∞)上单调递增.g(t)>g(1)=0.于是,当t>1时,有ln t>2(t-1)t+1,所以ln x1+ln x2>2成立,即x1x2>e2.【思维升华】　对含参数的双变量不等式的证明,一般要利用条件消去参数,把所证明的不等式化为仅含x1,x2的式子,通过运算,构造t=x1x2,t=x1x2,t=x1-x2等为变量的新函数,利用这个新函数的性质解决.视角三　分离构造法微切口1:若两个变量能分离[例3]已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1,若a