2025届高考数学一轮复习教师用书第十一章第三节随机事件的概率与古典概型讲义（Word附解析）

第三节　随机事件的概率与古典概型【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.有限样本空间与随机事件(1)样本点:随机试验的每个可能的基本结果.(2)样本空间:全体样本点的集合,一般用Ω表示.(3)有限样本空间:样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}.(4)随机事件(事件):样本空间Ω的子集.(5)基本事件:只包含一个样本点的事件.2.两个事件的关系和运算【微点拨】互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件.3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:1≥P(A)≥0.(2)P(Ω)=1,P(⌀)=0.(3)如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).(4)如果事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).(5)如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).4.古典概型(1)古典概型及其特点①有限性:样本空间的样本点只有有限个;②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概型.(2)古典概型的概率公式P(A)=kn=n(A)n(Ω).其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.5.频率与概率(1)频率的稳定性一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A).【微点拨】概率是一个常数,是一个理论值,不随试验次数的改变而改变;而频率是一个试验值,随着试验次数的改变而改变,是一个变量.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的有 (　　)A.事件发生的频率与概率是相同的B.两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生C.从-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同D.若A∪B是必然事件,则A与B是对立事件【解析】选BC.因为频率的稳定值为概率,所以选项A错误;由两个事件的和事件的定义可知,选项B正确;因为从-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,不是小于0,就是不小于0,各有12的可能,所以选项C正确;因为只有A∪B是必然事件,且A∩B=⌀时,A与B是对立事件,所以选项D错误.2.(必修第二册P235练习1改编)一个人打靶时连续射击两次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)A.至少有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶【解析】选B.射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”,与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.3.(必修第二册P246习题9改编)从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【解析】选B.由题意知该同学的身高小于160 cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位:cm)的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为1,故所求概率为1-0.2-0.5=0.3.4.(样本点理解错误)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为 (　　)A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选D.因为是有放回地随机摸3次,所以随机试验的样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)},共8个.5.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为________. 【解析】从5名同学中随机选3名的方法数为C53=10,甲、乙都入选的方法数为C31=3,所以甲、乙都入选的概率P=310.答案:310【巧记结论·速算】　若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).【即时练】根据多年气象统计资料,某地在夏至当日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该地在夏至当日为晴天的概率为 (　　)A.0.65 B.0.55 C.0.35 D.0.75【解析】选C.该地在夏至当日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该地在夏至当日为晴天的概率为P=1-0.45-0.20=0.35.【核心考点·分类突破】考点一　随机事件的频率与概率[例1](1)(多选题)一部机器有甲、乙、丙三个易损零件,在一个生产周期内,每个零件至多会出故障一次,工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如图所示的柱状图,由频率估计概率,在一个生产周期内,下列说法正确的是 (　　)A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大D.已知甲零件发生了故障,此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大【解析】选AD.由题图可知,在一个生产周期内机器正常的概率为20100=0.2,则至少有一个零件发生故障的概率为0.8,因此A正确;有两个零件发生故障的概率为10+15+5100=0.3,只有一个零件发生故障的概率为15+20+10100=0.45,因此有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小,B错误;乙零件发生故障的概率为20+10+5+5100=0.4,甲零件发生故障的概率为15+10+15+5100=0.45,则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小,C错误;由题图可知,丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率更大,D正确.(2)我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 (　　)A.134石 B.169石C.338石 D.1 365石【解析】选B.这批米内夹谷约为28254×1 534≈169(石).【解题技法】利用概率的统计定义求随机事件的概率(1)利用频率的计算公式计算出频率;(2)根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.【对点训练】1.某班要选一名学生做代表,每个学生当选的概率是相同的,若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的13,则这个班的女生人数占全班人数的百分比是__________. 【解析】设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13a,因为a+13a=1,所以a=34,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%.答案:75%2.通过手机验证码注册某APP时,收到的验证码由四位数字随机组成,如某人收到的验证码(a1a2a3a4)满足a1