新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题10 双曲线中的最值问题（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，动点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为动点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，由双曲线定义可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 .故选：B．
2．过椭圆 SKIPIF 1 < 0 右焦点F的圆与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，该圆直径 SKIPIF 1 < 0 的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则 SKIPIF 1 < 0 长度最小值为（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【解析】椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为：以 SKIPIF 1 < 0 为焦点， SKIPIF 1 < 0 的双曲线的右支.
即 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，则 SKIPIF 1 < 0 长度最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
3．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的左支上，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， 如图所示：
SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时取等号，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
4．已知点A在双曲线C： SKIPIF 1 < 0 （b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l： SKIPIF 1 < 0 ，则|BD|的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】作出图形如图所示，
设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，
由BF2⊥AB，且∠F1AB=∠F2AB，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则点B落在圆 SKIPIF 1 < 0 上,
因为点O到直线l： SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
5．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F， SKIPIF 1 < 0 ，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．48B．49C．50D．42
【解析】由双曲线方程知：右焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 为双曲线上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；故选：A
6．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．20B．22C．24D．25
【解析】依题意得直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率都存在且不为0，
不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立．故选：C
7．双曲线 SKIPIF 1 < 0 右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径的圆与双曲线有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由圆与双曲线有公共点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，
化简为 SKIPIF 1 < 0 ，
由方程 SKIPIF 1 < 0 两根为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式的解为 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，由已知，得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，取得最小值 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
8．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 左焦点 SKIPIF 1 < 0 作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 依次交 SKIPIF 1 < 0 的左右两支于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .

故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
B．双曲线C的实轴长为8
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【解析】由双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A：双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B：双曲线C的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C：取焦点 SKIPIF 1 < 0 ，则焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：ABC.
10．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过其右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 在双曲线右支上，则 SKIPIF 1 < 0 的最短长度为1
B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同在双曲线右支上，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率大于 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最短长度为6
D．满足 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 有4条
【解析】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A：若 SKIPIF 1 < 0 在双曲线右支上，则 SKIPIF 1 < 0 的最短长度为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
对于B：双曲线的渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同在双曲线右支上，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率大于 SKIPIF 1 < 0 或小于 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B不正确；
对于C：当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同在双曲线右支上时， SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 最短，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线两支上时， SKIPIF 1 < 0 最短为实轴长 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最短长度为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C不正确；
对于D：当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同在双曲线右支上时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线两支上时， SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线对称性可知：满足 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 有4条，故选项D正确；
故选：AD.
11．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为2，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线的右支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为6，则（ ）
A．该双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为25D． SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为12
【解析】对于A，依题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，易知 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线渐近线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，由直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的右支交于两点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，因此 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选：ACD．
12．已知动点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
B．点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的左支时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．点 SKIPIF 1 < 0 到两渐近线的距离之积为定值
D．若 SKIPIF 1 < 0 是△ SKIPIF 1 < 0 的面积，则 SKIPIF 1 < 0 为定值
【解析】对A：因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，则离心率 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .故B错误；
对C：设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又双曲线渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 到两渐近线的距离之积为 SKIPIF 1 < 0 .故C正确；
对D：不妨设点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴下方时，同理可得 SKIPIF 1 < 0 .故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，双曲线C上存在一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的最大值为 .
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
即满足条件的 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，
又点 SKIPIF 1 < 0 存在于 SKIPIF 1 < 0 上，故双曲线与圆有交点，
则 SKIPIF 1 < 0 ,即实数a的最大值为2，
14．双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左，右顶点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【解析】由双曲线的对称性可知，只需研究 SKIPIF 1 < 0 在右支上时， SKIPIF 1 < 0 取最小值的情况.
由上可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，(当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立)．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上存在两动点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
16．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
【解析】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由点线距离公式得 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .动点P是双曲线C上任意一点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的中点Q的轨迹方程；
(3)已知点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【解析】（1）依题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线C的标准方程 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设动点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，由线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为Q，
则 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线C的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，所以Q的轨迹方程 SKIPIF 1 < 0 .
（3）动点P是双曲线C上任意一点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
18．在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离比是常数2.
(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹交于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【解析】（1）由已知可得： SKIPIF 1 < 0 ，整理化简可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 可设直线OP的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线OQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为6.
19．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，左､右顶点分别是 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，动直线 SKIPIF 1 < 0 与以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆相切，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左､右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【解析】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，故所求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆为
SKIPIF 1 < 0 ，而直线 SKIPIF 1 < 0 是其切线，所以应满足 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 坐标满足 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
求得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 （*），
由于 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 的左､右两支，故 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 代入，求得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
20．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且E的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求E的方程；
(2)过 SKIPIF 1 < 0 作两条相互垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
【解析】（1）由题意，得 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）根据题意，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率都存在且不为0，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均与 SKIPIF 1 < 0 的右支有两个交点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 的方程与 SKIPIF 1 < 0 联立，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
用 SKIPIF 1 < 0 替换 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
故四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．

21．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的实轴长为2，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，记直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为2，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
此时 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，均满足 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支分别相交．∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为6．
22．已知双曲线Γ： SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且其中一焦点 SKIPIF 1 < 0 到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.
【解析】（1）不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，到双曲线的一条渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
双曲线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 并化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ，依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 的开口向上，
判别式为 SKIPIF 1 < 0 ，故①成立.
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .