新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题13 双曲线中的定点、定值、定直线问题（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．P为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于左右顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的任意一点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为定值 SKIPIF 1 < 0 ，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上异于左右顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的任意一点，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为定值 SKIPIF 1 < 0 B．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为定值 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为定值 SKIPIF 1 < 0 D．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为定值 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为定值.故选：D.
2．已知直线l： SKIPIF 1 < 0 与双曲线C： SKIPIF 1 < 0 交于P，Q两点，QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【解析】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
3．已知A，B是双曲线Γ： SKIPIF 1 < 0 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（ ）
A．k1＋k2B．|k1－k2|
C．k1k2D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，设P(m，n)(m＞0，n＞0)，
可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，又k1＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以k1k2＝ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以k1k2为定值
SKIPIF 1 < 0 ，不为定值；
SKIPIF 1 < 0 ，不为定值；
SKIPIF 1 < 0 ，不为定值
故选：C
4．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线上两动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意设 SKIPIF 1 < 0 直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 是过焦点 SKIPIF 1 < 0 的弦，且 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．16B．12C．8D．随 SKIPIF 1 < 0 变化而变化
【解析】由双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 过焦点 SKIPIF 1 < 0 ，如图
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得， SKIPIF 1 < 0 …………(1)，
SKIPIF 1 < 0 …………(2)
由(1)+(2)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：A
6．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，过双曲线 SKIPIF 1 < 0 中心的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 （异于 SKIPIF 1 < 0 ），直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则根据对称性可知 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
7．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为3，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 分别交F的左右两支于A，B两点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交F的左、右两支于C，D两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ①，同理得 SKIPIF 1 < 0 ②，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则E，M，N三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，将①②代入得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线l的斜率存在，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即点E在直线 SKIPIF 1 < 0 上.故选：A.
8．数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）的双曲线 SKIPIF 1 < 0 为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作 SKIPIF 1 < 0 ，过P作 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为A，B，直线 SKIPIF 1 < 0 与x，y轴分别交于M，N两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
由题意 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，圆心为 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
两式相减可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
C．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 D．点 SKIPIF 1 < 0 到两渐近线的距离的乘积为 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A错；
对于B选项，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C选项，若存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 必在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，故不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，C错；
对于D选项，设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：BD.
10．已知A，B分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点设 SKIPIF 1 < 0 的面积为S，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为定值B． SKIPIF 1 < 0 为定值
C． SKIPIF 1 < 0 为定值D． SKIPIF 1 < 0 为定值
【解析】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
对于选项A， SKIPIF 1 < 0 为定值．
对于选项B，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
因此若 SKIPIF 1 < 0 为定值，则 SKIPIF 1 < 0 为定值，从而 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是确定的值，矛盾，对于选项C，D，有 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 是定值， SKIPIF 1 < 0 不是定值．
故选：AC.
11．已知点P为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为定值B．O、P、M、N四点一定共圆
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 D．存在点P满足P、M、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，P、N、 SKIPIF 1 < 0 三点也共线
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （定值），故A正确；
当M、N均不与O重合时，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为直角三角形，
故M，N两点在以OP为直径的圆上；
当M、N有与O重合时，也满足O、P、M、N四点共圆．故B正确；
由双曲线的对称性可知 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立，故C正确；
如图，
利用双曲线的对称性，不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 垂直一条渐近线，垂足为M；直线 SKIPIF 1 < 0 垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点始终落在y轴上，故D不正确．
故选：ABC．
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为8
B．若直线l经过 SKIPIF 1 < 0 ，且与双曲线C交于另一点Q，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为6
C． SKIPIF 1 < 0 为定值
D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为 SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线C的两条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为 SKIPIF 1 < 0 ，
若Q在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是定值，C正确；
对于D，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
若直线l与双曲线C相切，则 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则点M，N的纵坐标之积 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【解析】渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由点到直线的距离公式有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
14．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的倾斜角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 .若直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）与双曲线交于A，B两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率的倒数和为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 恒经过的定点为 .
【解析】因为双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 一条渐近线的倾斜角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，恒经过的定点为 SKIPIF 1 < 0 .
15．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的左，右顶点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的一动点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，请写出所有满足条件 SKIPIF 1 < 0 的定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标 .
【解析】 SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 定点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
16．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．从双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 向 SKIPIF 1 < 0 轴作垂线，垂足恰为左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线的左、右顶点，点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 分别交双曲线左右两支于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上.
【解析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .

（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ①
直线 SKIPIF 1 < 0 ②
SKIPIF 1 < 0 ③
由①÷②可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
把③代入上式化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.

18．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且焦距为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的右支于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 总在某定直线上.
【解析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，

又A、P、B、Q四点共线，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，作差可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故点Q总在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
19．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上异于点 SKIPIF 1 < 0 的两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴分别相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求出该定点坐标.
【解析】（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，恒过定点 SKIPIF 1 < 0 符合题意，
综上所述，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .

20．已知点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 到一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)不过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求该定点的坐标.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 不过 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .

21．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 实轴 SKIPIF 1 < 0 长为4（ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的左侧），双曲线 SKIPIF 1 < 0 上第一象限内的一点 SKIPIF 1 < 0 到两渐近线的距离之积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，记直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.
① SKIPIF 1 < 0 为定值；② SKIPIF 1 < 0 为定值；③ SKIPIF 1 < 0 为定值
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线，
SKIPIF 1 < 0 到两条渐近线的距离之积 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）正确结论：③ SKIPIF 1 < 0 为定值.
证明如下：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合，所以可设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 联立： SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理可得： SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，不是定值，
② SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，不是定值，
③ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是定值.

22．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在与 SKIPIF 1 < 0 不同的定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . 所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）假设在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在与 SKIPIF 1 < 0 不同的定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，

当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线l的斜率存在且不为0时，设 SKIPIF 1 < 0 ，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，存在与 SKIPIF 1 < 0 不同的定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，且 SKIPIF 1 < 0 .