新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题19 抛物线中的定点、定值、定直线问题（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线l与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．无法确定
【解析】设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故选：A
2．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上（异于顶点）， SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【解析】法一：依题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，易得直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线的定义易知 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故选:A.
法二：特殊值法.不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，易得直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选:A.
3．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线l交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线QM的方程可能为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 三点向准线作垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ，准线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，即直线 SKIPIF 1 < 0 一定过点 SKIPIF 1 < 0 ,
由四个选项可知，只有选项 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
4．已知直线l与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l恒过定点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
需满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l为： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即直线l恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
5．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且不与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线与抛物线相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．为定值 SKIPIF 1 < 0 B．为定值 SKIPIF 1 < 0
C．不是定值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 D．不是定值，最小值为 SKIPIF 1 < 0
【解析】若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，此时，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，不合乎题意；
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程中，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
6．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，设不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 轴是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，则直线 SKIPIF 1 < 0 一定过点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意，直线的斜率不等于零，且直线过的定点应该在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
设直线为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立，消元得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 轴是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率互为相反数，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线过定点 SKIPIF 1 < 0 .故选：A．
7．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上三个不同的点，且抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，若直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为焦点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
8．已知抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过其焦点F的直线交此抛物线于M．N两点，交y轴于点E，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【解析】根据条件可得F（1，0），
则设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），
所以E（0，﹣k），联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
则x1+x2＝ SKIPIF 1 < 0 ，x1x2＝1，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2，即有λ1＝ SKIPIF 1 < 0 ，λ2＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作两条直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）分别交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 位于 SKIPIF 1 < 0 轴上方），直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．则下列说法正确的（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的纵坐标之积为 SKIPIF 1 < 0
B．点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上
C．点 SKIPIF 1 < 0 与抛物线上各点的连线中， SKIPIF 1 < 0 最短
D．无论 SKIPIF 1 < 0 旋转到什么位置，始终有 SKIPIF 1 < 0
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，
将直线l的方程 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
由题得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，故点Q在直线 SKIPIF 1 < 0 上，故B正确；
设抛物线上任一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小，此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 最短，故C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，所以D错误.
故选：ABC.
10．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过其准线上的点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，直线AB的斜率为2D．直线AB过定点 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为准线上的点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故A错；
根据抛物线方程得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，同理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的解， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由B选项得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错；
由B选项得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，联立得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：BD．

11．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上异于点 SKIPIF 1 < 0 的两点（ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A选项，易知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合时，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点，不合乎题意，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C选项，易知 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由于直线 SKIPIF 1 < 0 不过原点，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，C错；
对于D选项，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，D对．
故选：ABD．
12．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上一点，则（ ）
A．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得过点 SKIPIF 1 < 0 任意作弦 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 为定值
B．不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得过点 SKIPIF 1 < 0 任意作弦 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 为定值
C．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得过点 SKIPIF 1 < 0 任意作弦 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 为定值
D．不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得过点 SKIPIF 1 < 0 任意作弦 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 为定值
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，B错误；
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
如果 SKIPIF 1 < 0 为定值，则必有 SKIPIF 1 < 0 ，而此方程组无解，
所以 SKIPIF 1 < 0 不为定值，故C错误，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设A、B为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 （O为原点），则直线 SKIPIF 1 < 0 必过的定点坐标为 ．
【解析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 必经过定点 SKIPIF 1 < 0 .
14．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点（不在 SKIPIF 1 < 0 轴上），以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心且过原点 SKIPIF 1 < 0 的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】如图，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为圆的直径， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知AB，CD是过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点F且互相垂直的两弦，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【解析】由题设，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率一定存在，
设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立抛物线方程，可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立抛物线，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 .
16．经过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线交此抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，抛物线在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点处的切线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 必定在直线 上．（写出此直线的方程）
【解析】抛物线 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线整理得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴过 SKIPIF 1 < 0 点切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，同理过 SKIPIF 1 < 0 点切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，两式相除得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在准线 SKIPIF 1 < 0 上．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是C上两个不同的点．
(1)求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与C相切；
(2)若O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
【解析】（1）联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在C上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此直线 SKIPIF 1 < 0 与C相切．
（2）由（1）知，设 SKIPIF 1 < 0 ，切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故点P在定直线 SKIPIF 1 < 0 上．
18．设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【解析】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 ，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．于是 SKIPIF 1 < 0 ，∴焦点弦 SKIPIF 1 < 0 ，解得p＝2．故抛物线E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因 SKIPIF 1 < 0 在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，解得t＝1，
∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得 SKIPIF 1 < 0 ．
易知直线MN的斜率存在，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 为定值2．
19．已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 （点O为坐标原点），M，N，P是抛物线上横坐标不同的三点，直线MP过定点 SKIPIF 1 < 0 ，直线NP过定点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)证明：直线MN过定点.
【解析】（1）设直线AB方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立得 SKIPIF 1 < 0 ，消x得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为M、P、C三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，①
因为N、P、D三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，②
直线MN方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ③
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入③得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线MN过定点 SKIPIF 1 < 0 .
20．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 （M在第一象限）， SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值.
(2)若斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 与到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）如图所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以△ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .

（2）由（1）可知抛物线的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 与到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比是定值，定值为3.
21．已知动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，与 SKIPIF 1 < 0 轴相切，记圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若斜率为4的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别交曲线 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，动圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1，
因为动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
证明：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ，△ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 联立，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据对应系数相等可得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
22．已知抛物线E： SKIPIF 1 < 0 （p>0），过点 SKIPIF 1 < 0 的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ,消元得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
由弦长公式得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）法一：因为l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ．
直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，同理，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点 SKIPIF 1 < 0 必在垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线上，所以只需证 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为定值即可．由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为2，即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上．
法二：设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．
直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，同理，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，．
因为 SKIPIF 1 < 0 在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点 SKIPIF 1 < 0 必在垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线上，所以只需证 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为定值即可．由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为2，即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上．