新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题24 圆锥曲线与外心问题（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上的高且 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹一定过 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 方向为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴正方向如图建立空间直角坐标系，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
而直线 SKIPIF 1 < 0 平分线段 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
根据三角形外心的性质可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹一定过 SKIPIF 1 < 0 的外心，故选：A.
2．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，过其左焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线l交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为 SKIPIF 1 < 0 的外心，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．3C．4D．以上都不对
【解析】根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，故可设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立椭圆方程可得： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则其坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 轴垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，故可设 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
3．已知双曲线M： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合）， SKIPIF 1 < 0 的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则有： SKIPIF 1 < 0
又有： SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，此时两条渐近线垂直，即 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 均与 SKIPIF 1 < 0 轴的夹角均为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的中点
若双曲线M经过点 SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线的对称性可知：当且仅当 SKIPIF 1 < 0 轴时，且点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的顶点
此时有： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为12，则有： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，故双曲线的实轴长为： SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
4．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，△PF1F2的面积为2 SKIPIF 1 < 0 a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±xB．y＝ SKIPIF 1 < 0 xC．y＝ SKIPIF 1 < 0 xD．y＝± SKIPIF 1 < 0 x
【解析】由△PF1F2的外心M SKIPIF 1 < 0 ，知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故∠F1PF2＝ SKIPIF 1 < 0 ，
在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，故双曲线的渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
5．已知坐标平面 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左支上， SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心，若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【解析】不妨设点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线知直线 SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 在第三象限时，同理可得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
6．设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题,因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线,
因为点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
设双曲线的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,则点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点,
则在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,由双曲线定义可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,整理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,故选:D
7．已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 上有两个动点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，始终使 SKIPIF 1 < 0 ，三角形 SKIPIF 1 < 0 的外心轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 在一象限内的动点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，①
将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入①可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的外心轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
8．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点 SKIPIF 1 < 0 恰为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个顶点，设椭圆E的上焦点为P，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l交双曲线C右支于点A、B，若点A在第一象限， SKIPIF 1 < 0 的外心Q恰好落在y轴上，则直线l的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由椭圆 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆E的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆E的上焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，
设双曲线的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线l斜率不存在时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，AB边上中垂线为x轴，
若 SKIPIF 1 < 0 外心Q落在y轴上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
但此时 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则不符合题意；
当直线l斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 消去y可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为A，B位于双曲线C的右支，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设AB的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则Q在AB的中垂线上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
综上所述：直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．在平面直角坐标系xOy中，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与抛物线C： SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，点 SKIPIF 1 < 0 为线段AB的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的为（ ）
A．N为 SKIPIF 1 < 0 的外心B．M可以为C的焦点
C．l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 可以小于2
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则N为 SKIPIF 1 < 0 的外心，A正确；
易得直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不为0，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
由 SKIPIF 1 < 0 作差得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：AC.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点 SKIPIF 1 < 0 均在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，则下列命题正确的有（ ）
A．若直线BC过点 SKIPIF 1 < 0 ，则存在点A使 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形；
B．若直线BC过点 SKIPIF 1 < 0 ，则存在 SKIPIF 1 < 0 使抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点恰为 SKIPIF 1 < 0 的重心；
C．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点恰为 SKIPIF 1 < 0 的外心；
D．若边AC的中线 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 三点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
A选项，直线BC过点 SKIPIF 1 < 0 ，设BC方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去x得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而点O在抛物线上，故A正确；
B选项，直线BC过点 SKIPIF 1 < 0 ，设BC方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去x，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点恰为 SKIPIF 1 < 0 的重心，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将A点坐标代入抛物线方程，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
C选项，设以抛物线焦点 SKIPIF 1 < 0 为圆心的圆半径为r，
其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点，
不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点恰为 SKIPIF 1 < 0 的外心，故C不正确；
D选项，AC的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设AC中点 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故D不正确.
故选：AB.
11．设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线上异于顶点的一点，且 SKIPIF 1 < 0 在准线上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 的中点在 SKIPIF 1 < 0 轴上
B． SKIPIF 1 < 0 的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上
C．当 SKIPIF 1 < 0 的垂心在抛物线上时， SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 的垂心在抛物线上时， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形
【解析】对于A选项，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，所以，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对于B选项，由抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 的重心、垂心、外心、内心都在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切，B错；
对于C选项，设点 SKIPIF 1 < 0 为第一象限内的点，
若 SKIPIF 1 < 0 的垂心 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上时，设点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项，当 SKIPIF 1 < 0 的垂心在抛物线上时，点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 轴，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，D错.
故选：AC.
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴及双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的三个不同交点构成集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为重心、 SKIPIF 1 < 0 为外心、 SKIPIF 1 < 0 为垂心，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，此时双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为重心、 SKIPIF 1 < 0 为垂心、 SKIPIF 1 < 0 为外心，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 不成立；
若 SKIPIF 1 < 0 为重心、 SKIPIF 1 < 0 为垂心、 SKIPIF 1 < 0 为外心，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，此时双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为重心， SKIPIF 1 < 0 为垂心、 SKIPIF 1 < 0 为外心，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，此时双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 为重心、 SKIPIF 1 < 0 为垂心、 SKIPIF 1 < 0 为外心，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
此时双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为重心， SKIPIF 1 < 0 为垂心、 SKIPIF 1 < 0 为外心，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 都不成立.
综上所述： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点．设过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【解析】由题意知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，且不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心，∴ SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线的交点，
SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
14．在直角坐标系xOy中直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线C： SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点．若D为直线 SKIPIF 1 < 0 外一点，且 SKIPIF 1 < 0 的外心M在C上，则M的坐标为 ．
【解析】联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设线段AB的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则线段AB的中垂线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或4，
从而 SKIPIF 1 < 0 的外心M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的外心 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为0，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 .
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线与双曲线右支交于两点可得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
16．已知点 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点 SKIPIF 1 < 0 恰好为 SKIPIF 1 < 0 的外心，若 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为 .
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 的中点为C，连接BC、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又C为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 恰好为 SKIPIF 1 < 0 的外心，所以点 SKIPIF 1 < 0 在直线BC上，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
同时除以 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去).
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知抛物线E： SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，准线为l，过焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)若 SKIPIF 1 < 0 垂直l于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求AF的长 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的外心C的轨迹方程.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
易得OA､OB的中垂线方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 外心C的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径的最大值是 SKIPIF 1 < 0 椭圆的离心率是 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 作斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线交椭圆于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的外心为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【解析】（1）由题意知∶ SKIPIF 1 < 0 ，∴a=2c， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设△ SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为r，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故当 SKIPIF 1 < 0 面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，把a=2c， SKIPIF 1 < 0 代入，解得∶a=2， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程得 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此可得 SKIPIF 1 < 0
所以AB的中点坐标为( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )
因为G是△ABQ的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段BQ的垂直平分线的交点，
由题意可知B，Q关于y轴对称，故 SKIPIF 1 < 0 ，
AB的垂直平分线方程为 SKIPIF 1 < 0
令y=0，得 SKIPIF 1 < 0 ，即G( SKIPIF 1 < 0 ，0)，所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为定值，定值为4.
19．已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 ，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线C焦点F且垂直于x轴时， SKIPIF 1 < 0 面积为2．
（1）求抛物线C标准方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 为抛物线C的两条切线，设 SKIPIF 1 < 0 的外心为M（点M不与焦点F重合），求 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值．
【解析】（1）当直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线焦点F且垂直于x轴时，A，B两点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线C标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 ，同理直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的中垂线方程分别为：
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值为1．
20．已知从曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为 SKIPIF 1 < 0 、一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程．
【解析】（1）由题意，则 SKIPIF 1 < 0 ，由渐近线方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线 SKIPIF 1 < 0 .
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
①当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入双曲线方程，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 边上中垂线为 SKIPIF 1 < 0 轴，若外心 SKIPIF 1 < 0 的横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，但此时，， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则不符合题意；
②当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 位于双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支，则直线 SKIPIF 1 < 0 与渐近线方程 SKIPIF 1 < 0 应满足 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的中垂线上，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又因 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
21．在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面内两点G，M同时满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交点：②M是△ABC的外心；③ SKIPIF 1 < 0
(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；
(2)若点P（2，0）与（1）中轨迹上的点E，F三点共线，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
【解析】（1）设C（x，y），G（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），M（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
因为M是△ABC的外心，所以 SKIPIF 1 < 0
所以M在线段AB的中垂线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又G是△ABC三条边中线的交点，所以G是△ABC的重心，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以顶点C的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点所在直线斜率存在且不为0，
设所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
22．已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点 SKIPIF 1 < 0 的距离与它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为2.记M的轨迹为曲线E.
(1)求E的方程；
(2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处的切线过△PQA的外心.
【解析】（1）解:设动点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,则根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ,
两边同时平方,化简可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）由题设点 SKIPIF 1 < 0 ,因为点 SKIPIF 1 < 0 不在 SKIPIF 1 < 0 轴上,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的切线斜率存在,设为 SKIPIF 1 < 0 ,则在点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为: SKIPIF 1 < 0 ,
联立方程组: SKIPIF 1 < 0 ,整理得: SKIPIF 1 < 0 ,
因为双曲线的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以在点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 中垂线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 中垂线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 中垂线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
得外心坐标 SKIPIF 1 < 0 ．
将外心横坐标 SKIPIF 1 < 0 代入过点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得到 SKIPIF 1 < 0 ,与外心的纵坐标相等．
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 点的切线经过 SKIPIF 1 < 0 的外心．