新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题34 圆锥曲线中的综合问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．已知右焦点为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足直线 SKIPIF 1 < 0 过坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设椭圆左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合椭圆对称性得 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：A

2．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 准线于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
由梯形中位线可知 SKIPIF 1 < 0 ，

因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
3．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
4．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，过 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方）. SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】解：如图所示：

设 SKIPIF 1 < 0 分别以OF，EF，OE为底，高为h，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线AB的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
直线BD的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴左侧，且 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 轴上方，点 SKIPIF 1 < 0 关于坐标原点 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】如图所示，作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 具有相同的左、右焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为它们在第一象限的交点，动点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，若记曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆性质可知：当 SKIPIF 1 < 0 为椭圆短轴顶点时， SKIPIF 1 < 0 取到最大值，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
.
7．已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．有一个角为 SKIPIF 1 < 0 的三角形D．面积为定值的三角形
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将直线方程与抛物线 SKIPIF 1 < 0 联立得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确．
当直线无限接近平行于对称轴时，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不一定是等腰三角形，同时 SKIPIF 1 < 0 无限接近 SKIPIF 1 < 0 ，故AC不正确；
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 不为定值．故D错误．
故选：B．
8．如图所示， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 的右支上存在一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 左支的交点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ①，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ②，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以①式与②式相比，得
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
二、多选题
9．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是C上相异两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以F为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
根据抛物线的对称性知，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于D，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作准线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，

由抛物线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当点N、A、M三点共线时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，且最小值为 SKIPIF 1 < 0 .正确.
故选：ACD.
10．设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上一动点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为上、下焦点， SKIPIF 1 < 0 为原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 最小值为7
B．若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均不重合），则 SKIPIF 1 < 0
C．若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的上支，则 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0
D．过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不同两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有4条
【解析】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
设 SKIPIF 1 < 0 两点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
由双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，可得通径长为 SKIPIF 1 < 0 ，且实轴长 SKIPIF 1 < 0 ，
所以这样的直线 SKIPIF 1 < 0 有4条，故D正确.

故选：BCD
11．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 与准线分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 时，延长 SKIPIF 1 < 0 交准线于 SKIPIF 1 < 0
【解析】抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 代入，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，由B选项知， SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由选项A知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：ACD．

12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右两焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法中正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 ；
显然直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：

由椭圆定义可知 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，中点 SKIPIF 1 < 0 ；
将直线和椭圆方程联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入直线方程解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误；
根据B选项，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 点在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆上；
又 SKIPIF 1 < 0 点在椭圆上，即可得圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有交点，
根据对称性可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以可得离心率 SKIPIF 1 < 0 ，即C正确；
若 SKIPIF 1 < 0 时，由选项B可知联立直线和椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以可得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0
易知 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
即可得 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，P是C右支上一点，线段 SKIPIF 1 < 0 与C的左支交于点M．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
【解析】因为点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 右支上一点，线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左支交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0
由双曲线定义得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
14．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，过直线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 ．
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0

15．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为e，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与C的左、右两支交于点M，N.若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，对称性知：四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由面积公式得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，

由双曲线定义知： SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
16．已知点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，与线段 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上靠近 SKIPIF 1 < 0 的四等分点，则抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①；
又点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
故 SKIPIF 1 < 0 ②，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ③，
②联立得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ③，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0
四、解答题
17．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆C交于点A、B， SKIPIF 1 < 0 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由离心率为 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可设直线PA的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是定值 SKIPIF 1 < 0 .
18．在平面直角坐标系中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线和 SKIPIF 1 < 0 的中垂线相交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 是轨迹 SKIPIF 1 < 0 上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，圆 SKIPIF 1 < 0 内切于 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值.
【解析】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 为轨迹上任意一点 ，由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点 ，以 SKIPIF 1 < 0 为准线的抛物线 ，
设其方程 为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 内切于△PRN ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ①，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以化简①得， SKIPIF 1 < 0 ②，
圆 SKIPIF 1 < 0 内切于△PRN ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ③，
由②③可知， SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
等号当且仅当 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 等号成立，此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 )或 SKIPIF 1 < 0 .
故当 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积取最小值 SKIPIF 1 < 0 .

19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ．
(1)直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2) SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点，记直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，试问直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
【解析】（1）
将直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程联立，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ，与已知不符，舍去；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，符合题意．
20．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，右焦点 SKIPIF 1 < 0 到一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【解析】（1）由题知 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条斩近线为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题易知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .

21．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 的左顶点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .

22．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的周长为8.

(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
(3)以 SKIPIF 1 < 0 为圆心4为半径作圆，过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值及取得最小值时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【解析】（1）根据椭圆定义知 SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意有 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设线段 SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即设线段 SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即存在 SKIPIF 1 < 0 满足题设；
（3）直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则弦 SKIPIF 1 < 0 的长： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 .