2025届高考数学一轮复习教师用书第九章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程讲义（Word附解析）

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为0°≤αk2　 B.k1-k2>0C.k3>k2>k1　 D.k1·k20,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b) (4a+1b)=5+ab+4ba≥9,当且仅当a=6,b=3时等号成立.所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x6+y3=1,即x+2y-6=0.角度2 由直线方程求参数的值或范围[例4]设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;【解析】(1)若2-a=0,解得a=2,因此直线的方程为3x+y=0,此时l在两坐标轴上的截距同为0,符合题意.若a+1=0,解得a=-1,原方程化为y+3=0,舍去.若a≠-1,2,化为xa-2a+1+ya-2=1,令a-2a+1=a-2,化为a+1=1,解得a=0,可得直线l的方程为x+y+2=0,l在两坐标轴上的截距同为-2.综上所述,直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0.[例4]设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(2)若l经过第二象限,求实数a的取值范围.【解析】(2)当y=-(a+1)x+a-2不经过第二象限时,-(a+1)≥0,a-2≤0,解得a≤-1,所以l经过第二象限时,实数a的取值范围是(-1,+∞).【解题技法】直线综合问题的求解策略(1)求解含有参数的直线过定点问题的方法是分项整理,将含参数的并为一项,不含参数的并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参数的项分别为零,解方程组所得的解即为所求定点.(2)涉及直线在坐标轴上的截距问题(或与坐标轴的交点构成的图形面积、周长等问题),常用直线的截距式方程求解.【对点训练】1.定义域为[a,b]的函数y=f(x)的图象的两个端点为A,B,M(x,y)是f(x)图象上的任意一点,其中x=λa+(1-λ)b(λ∈R),向量ON=λOA+(1-λ)OB,其中O是坐标原点.若不等式|MN|≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若y=x+1x在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围是____________. 【分析】由题意求得点A,B的坐标,写出直线AB的方程,再求出M,N两点的坐标以及|MN|,利用基本不等式求得|MN|的最大值,从而求出k的取值范围.【解析】由题意知a=1,b=2,所以A(1,2),B(2,52),所以直线AB的方程为y=12x+32.因为xM=λ+2(1-λ)=2-λ,ON=λ(1,2)+(1-λ) (2,52)= (2-λ,52-λ2),所以M,N两点的横坐标相同,且点N在直线AB上,所以|MN|=|yM-yN|=|x+1x-12x-32|=|x2+1x-32|,x2+1x≥2x2·1x=2,当且仅当x=2时取等号.又因为20,由基本不等式可得-k2-2k≥2(-k2)(-2k)=2,当且仅当k=-2时取等号,所以S△AOB=2-k2-2k≥2+2=4,当且仅当k=-2时取等号,所以△AOB面积最小时,直线l的方程为2x+y-4=0.2.(2024·温州模拟)已知直线l: kx-y+2-k=0(k∈R)交x轴正半轴于A,交y轴正半轴于B.(2)设点P是直线l经过的定点,求|PA|·|PB|的值最小时直线l的方程.【解析】(2)因为直线l的方程可化为k(x-1)+(2-y)=0,所以直线l经过定点P(1,2),所以PA=(-2k,-2),PB=(-1,-k),所以PA·PB=(-2k,-2)·(-1,-k)=2k+2k=|PA|·|PB|cos π=-|PA|·|PB|,又-2k>0,-2k>0,所以|PA|·|PB|=-2k-2k≥2(-2k)(-2k)=4,当且仅当k=-1时等号成立,所以|PA|·|PB|的值最小时,直线l的方程为x+y-3=0.【课程标准】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程.2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式.【考情分析】考点考法:本节内容高考一般不单独命题,时常与圆的方程相结合,考查直线与圆的位置关系,多以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学运算、逻辑推理、直观想象α0°0°