2025届高考数学一轮复习教师用书第一章第二节充要条件与量词讲义（Word附解析）

第二节　充要条件与量词【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念【微点拨】p是q的充分不必要条件,等价于¬q是¬p的充分不必要条件.2.全称量词命题与存在量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定【微点拨】1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.2.对省略了全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量词再对其否定.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 (　　)A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题C.已知集合A,B,A∪B=A∩B的充要条件是A=BD.命题“∃x∈R,sin2x2+cos2x2=12”是真命题【解析】选ABC.A选项,充分条件与必要条件是相对而言的,正确;B选项,任意三角形的内角和为180°,正确;C选项,由集合的运算知,正确;D选项,由同角基本关系式易知,对任意实数x,sin2x2+cos2x2=1,错误.2.(必修第一册P18例1变条件)已知a∈R,则“a>1”是“a2>1”的 (　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的性质,当a>1时,一定有a2>1;当a2>1时,有a>1或a1.则“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件.3.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.a2=b2,即(a+b)(a-b)=0,解得a=-b或a=b;a2+b2=2ab,即(a-b)2=0,解得a=b;故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”,充分性不成立.“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”,必要性成立.故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.4.(不能正确运用充要关系建立不等关系致误)若x2-x-2