2025届高考数学一轮复习教师用书第三章第二节第1课时函数的单调性与最值讲义（Word附解析）

第二节　函数的基本性质第1课时　函数的单调性与最值【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的单调性(1)增函数与减函数(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做函数y=f(x)的单调区间.【微点拨】有多个单调区间时应分开写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.2.函数的最值【微点拨】(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到;(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是 (　　)A.对于函数y=f(x),若f(1)0,则函数f(x)在区间D上是增函数【解析】选ABC.2.(必修第一册P81练习T3·变条件)已知函数f(x)=2x+1,x∈[0,2],则f(x)的最大值为________,最小值为__________. 【解析】因为函数f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(2)=23.答案:2　233.(2023·北京高考)下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　)A.f(x)=-ln x B.f(x)=12xC.f(x)=-1x D.f(x)=3|x-1|【解析】选C.对A选项,y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,A选项错误;对B选项,y=2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=12x在(0,+∞)上单调递减,B选项错误;对C选项,y=1x在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=-1x在(0,+∞)上单调递增,C选项正确;对D选项,f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不是单调的,D选项错误.4.(忽视函数的定义域)已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)2a,得-1≤a0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f(x)的单调性相反;(4)复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关,简记:同增异减.2.增函数(减函数)的等价变形:∀x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,则:(1)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x1)-f(x2)x1-x2>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]