2025届高考数学一轮复习教师用书第六章第四节平面向量的应用讲义（Word附解析）

第四节　平面向量的应用【核心考点·分类突破】考点一　平面向量与几何问题的综合[例1](1)(2023·漳州模拟)已知P为△ABC所在平面内一点,AB+2PB+2PC=0,AB=4,PB=PC=3,则△ABC的面积等于 (　　)A.43　 B.83　 C.42　 D.82【解析】选D.因为PB=PC=3,所以P位于线段BC的垂直平分线上,设线段BC的中点为D,由AB+2PB+2PC=0得,AB=-2(PB+PC)=-4PD=4DP,所以AB⊥BC,DP=1,如图所示,所以BC=2BD=232-12=42,所以S△ABC=12BC·AB=12×42×4=82.(2)如图所示,已知在正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC的中点,AF与DE交于点M.①设AB=a,AD=b,用a,b表示AF,DE;②猜想AF与DE的位置关系,并用向量法证明你的猜想.【解析】①AF=AB+BF=AB+12BC=AB+12AD=a+12b,DE=AE-AD=12AB-AD=12a-b;②AF⊥DE,证明如下:由①知AF=a+12b,DE=12a-b,所以AF·DE=(a+12b)·(12a-b)=12a2-12b2-34a·b,设a=b=t,则AF·DE=12a2-12b2-34a·b=12t2-12t2-34×0=0,所以AF⊥DE,所以AF⊥DE,得证.【解题技法】平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基向量法:适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.【对点训练】1.P为△ABC内一点,满足PA+PB+2PC=0,则△PAB和△ABC的面积比为________. 【解析】如图,取AB的中点D,连接PA,PB,PC,PD,则PA+PB=2PD,又由题意PA+PB+2PC=0,所以2PD+2PC=0,故C,D,P三点共线,且满足CP=12CD,所以P为CD的中点,从而S△PAB∶S△ABC=1∶2.答案:1∶22.(一题多法)(2023·东莞模拟)如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC边的中点,CE⊥AB,AD与CE交于点F.(1)求CE和AD的长度;(2)求cos∠CFD.【解析】(1)因为CE是高,所以∠AEC=π2,在Rt△AEC中,AC=2,∠EAC=π3,所以CE=ACsin∠EAC=2sin π3=3.因为AD是中线,所以AD=12(AB+AC),所以AD2=[12(AB+AC)]2=14(AB2+2AB·AC+AC2)=14(32+2×3×2cos π3+22)=194,所以AD=192.(2)方法一:因为AE=AC·cos π3=1=13AB,所以AE=13AB,所以EC=AC-AE=AC-13AB,所以AD·EC=12(AB+AC)·(AC-13AB)=12(AC2+23AB·AC-13AB2)=12(22+23×3×2cos π3-13×32)=32,所以cos∠CFD=cos=AD·ECADEC=32192×3=5719.方法二:过D作DG∥CE交BE于G,因为D是BC的中点,所以G是BE的中点,所以AE=EG=GB=1,EF是△AGD的中位线,DG是△BCE的中位线,所以EF=12GD=14CE=34,AF=12AD=194,cos∠CFD=cos∠AFE=EFAF=34194=5719.考点二　平面向量在物理中的应用[例2](1)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知F1=1 N,F3=2 N,F1与F3的夹角为60°,则F2的大小为 (　　)A.1 N　 B.3 N　 C.7 N　 D.3 N【解析】选C.根据三力平衡得F1+F3+F2=0,即F1+F3=-F2,两边同时平方得F12+2F1·F3+F32=F22,即F12+2F1F3cos 60°+F32=F22,即12+2×1×2×12+22=7=F22,解得F2=7 N.(2)(2023·温州模拟)物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W=F·s(其中W是功,F是力,s是位移).一物体在力F1=(2,4)和F2=(-5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于(　　)A.25　 B.5　 C.-5　 D.-25【解析】选A.因为F1=(2,4),F2=(-5,3),所以F1+F2=(-3,7),又A(1,0),B(2,4),所以AB=(1,4),故W=(F1+F2)·AB=-3+7×4=25.【解题技法】平面向量对物理背景问题主要研究下面三类1.求几个力的合力,可以用几何法通过解三角形求解,也可以用向量法求解.2.如果一个物体在力F的作用下产生位移为s,那么力F所做的功W=|F||s|cos θ,其中θ是F与s的夹角.由于力和位移都是向量,所以力所做的功就是力与位移的数量积.3.速度向量速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用求向量和的平行四边形法则,求两个速度的合速度.【对点训练】1.在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且F1=F2,F1与F2的夹角为θ.给出以下结论:①θ越大越费力,θ越小越省力;②θ的范围为[0,π];③当θ=π2时,F1=G;④当θ=2π3时,F1=G.其中正确结论的序号是 (　　)A.①③　 B.①④C.②③　 D.②④【解析】选B.对于②,当θ=π时,F1+F2=0,故无法提动行李包,故②错误;对于①,根据题意,得G=F1+F2,所以G2=F12+F22+2F1F2cos θ=2F12(1+cos θ),解得F12=G22(1+cosθ),因为θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,所以θ越大越费力,θ越小越省力,故①正确;对于③,因为F12=G22(1+cosθ),所以当θ=π2时,F12=G22,所以F1=22G,故③错误;对于④,因为F12=G22(1+cosθ),所以当θ=2π3时,F12=G2,所以F1=G,故④正确.2.某河流南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度的大小为v1=8 km/h,水流速度的大小为v2=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°