2025届高考数学一轮复习教师用书第九章第五节第3课时直线和椭圆讲义（Word附解析）

第3课时　直线和椭圆【核心考点·分类突破】考点一　直线与椭圆位置关系的判断[例1](1)(2024·长沙模拟)椭圆x28+y22=1与直线y=k(x-1)的位置关系是 (　　)A.相离　 B.相交C.相切　 D.无法确定【解析】选B.直线过定点M(1,0)在椭圆内,故直线与椭圆相交.(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.①无公共点;【解析】①依题意,联立y=x+m9x2+16y2=144,消去y,得25x2+32mx+16m2-144=0,所以Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=-576m2+14 400,要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144无公共点,则Δ0,解得-50,得m=22,n=2,所以直线l的方程为x22+y2=1,即x+2y-22=0.方法二:设直线l的方程为xm+yn=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,设为Q,则Q(m2,n2),则kAB=0-nm-0=-nm,kOQ=n2m2=nm.由椭圆中点弦的性质知,kAB·kOQ=-b2a2=-12,即(-nm)·nm=-12,以下同方法一.答案:x+2y-22=0【解题技法】处理中点弦问题常用的求解方法【对点训练】1.(2024·南昌模拟)已知直线l交椭圆C:y29+x24=1于A,B两点,若点M(1,2)为A,B两点的中点,则直线l的斜率为 (　　)A.29　 B.-29 　 C.98　 D.-98【解析】选D.椭圆C:y29+x24=1,依题意可知直线l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y129+x124=1y229+x224=1,两式相减并化简得-94=y1+y2x1+x2·y1-y2x1-x2,即-94=42·y1-y2x1-x2,y1-y2x1-x2=-98,所以直线l的斜率为-98.2.若椭圆x24+y22=1的弦AB的中点为(-1,-1),则弦AB的长为 (　　)A.303　 B.263　 C.103　 D.153【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为弦AB的中点为(-1,-1),可得x1+x2=-2,y1+y2=-2,又因为A,B在椭圆上,可得x124+y122=1x224+y222=1,两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)4+(y1+y2)(y1-y2)2=0,可得y1-y2x1-x2=-2·(x1+x2)4·(y1+y2)=-12,即直线AB的斜率为k=-12,所以弦AB的直线方程为y+1=-12(x+1),即y=-12x-32,联立y=-12x-32x24+y22=1,整理得3x2+6x+1=0,可得x1+x2=-2,x1x2=13,由弦长公式,可得|AB|=1+(-12) 2·(x1+x2)2-4x1x2=54·(-2)2-4×13=303.【加练备选】已知椭圆G:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63,且过点3,1.(1)求椭圆G的方程;【解析】(1)由题意,e=ca=639a2+1b2=1a2=b2+c2,解得a2=12b2=4,故椭圆G的方程为x212+y24=1.已知椭圆G:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63,且过点3,1.(2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△ABP的面积.　【解析】(2)令AB为y=x+n,则AB中垂线方程为y=-(x+3)+2=-x-1,联立AB与椭圆方程得,x2+3(x+n)2=12,整理得4x2+6nx+3n2-12=0,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-3n2,x1x2=3n2-124,所以y1+y2=x1+x2+2n=n2,又(x1+x22,y1+y22)在AB中垂线上,所以3n4-1=n4,可得n=2,即x1+x2=-3,x1x2=0,所以|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=32,又P(-3,2)到AB的距离d=|-3-2+2|2=322,所以S△PAB=12|AB|·d=92.