2025届高考数学一轮复习教师用书第九章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系讲义（Word附解析）

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)【微点拨】判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).3.直线被圆截得的弦长(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2r2-d2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=1+k2·(xM+xN)2-4xMxN.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是 (　　)A.若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切B.若两圆没有公共点,则两圆一定外离C.若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立D.若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2【解析】选AD.直线与圆有一个公共点,则直线与圆相切,有两个公共点,则直线与圆相交,故A正确;两圆没有公共点,则两圆外离或内含,故B错误;若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切或内切,故C错误;若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故D正确.2.(选择性必修第一册P96例5变条件)圆O1:x2+y2-4y+3=0和圆O2:x2+y2-16y=0的位置关系是 (　　)A.外离　 B.相交　 C.相切　 D.内含【解析】选D.O1:x2+(y-2)2=1,O2:x2+(y-8)2=64,所以O1(0,2),r1=1,O2(0,8),r2=8,O1O2=(0-0)2+(2-8)2=6,则O1O2=60)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.无论两圆外切还是内切,将两圆方程(方程等号右边是0的形式)左右两边直接作差,消去x2,y2得到两圆的公切线方程.3.两圆相交时公共弦的性质圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F2>0)相交时:(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).【即时练】1.已知过圆x2+y2=4外一点P(3,4)作圆的两条切线,切点为A,B两点,则A,B所在的直线方程为 (　　)A.3x+4y-4=0　 B.3x+4y+4=0C.3x-4y-4=0　 D.3x-4y+4=0【解析】选A.A,B所在的直线方程为3x+4y-4=0.2.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所在直线的方程为x-y=0. 【解析】根据题意(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,①x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②由②-①得x-y=0,即为两圆公共弦所在直线的方程.【核心考点·分类突破】考点一　直线与圆的位置关系【考情提示】直线与圆相切求切线方程以及直线与圆相交求弦长是高考的重点,正确利用圆心到直线的距离与半径之间的关系是解决此类问题的关键.角度1 直线与圆的位置关系的判断[例1](1)(一题多法)已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0的位置关系是 (　　)A.相交、相切或相离　 B.相交或相切C.相交　 D.相切【解析】选C.圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圆心为C(3,4),半径为r=2.方法一　直线l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2rd=rdr1+r2无解4外切d=r1+r2一组实数解3相交|r1-r2|