2025届高考数学一轮复习教师用书第九章第十节圆锥曲线中的最值、范围问题讲义（Word附解析）

第十节　圆锥曲线中的最值、范围问题【核心考点·分类突破】考点一　最值问题角度1 运用基本不等式法求最值[例1](2024·三明模拟)已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,O为坐标原点,M为椭圆上任意一点,|MF|的最大值为2+3.当|OM|=|OF|时,△MOF的面积为12.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆的左、右顶点,点P满足AP=3PB,当M与A,B不重合时,射线MP交椭圆C于点N,直线AM,BN交于点T,求∠ATB的最大值.【解析】(1)设点M(x0,y0),则-a≤x0≤a,y02=b2-b2a2x02,因为|MF|=(x0-c)2+y02=x02-2cx0+c2+b2-b2a2x02=c2a2x02-2cx0+a2=|a-cax0|=a-cax0∈[a-c,a+c],所以|MF|max=a+c=2+3,设椭圆左焦点为E,因为|OM|=|OF|=12|EF|,所以∠EMF=90°,即|ME|2+|MF|2=|EF|2=4c2,又因为|ME|+|MF|=2a,所以|ME|2+|MF|2+2|ME|·|MF|=4a2,所以2|ME|·|MF|=4a2-4c2,所以|ME|·|MF|=2b2,所以S△MEF=12|ME||MF|=b2,因为此时S△MOF=12,所以S△MEF=1,所以b2=1,所以b=1.因为a2=b2+c2,所以a=2,c=3,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设点P(p,0),AP=(p+2,0),PB=(2-p,0),因为点P满足AP=3PB,则p+2=3(2-p),解得p=1,所以P(1,0),由题知MN不与x轴重合,设直线MN的方程为x=my+1,联立方程组x24+y2=1x=my+1,消去x整理得(m2+4)y2+2my-3=0,Δ=4m2+12(m2+4)=16m2+48>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-2mm2+4,y1y2=-3m2+4.因为AM的方程为y=y1x1+2(x+2),BN的方程为y=y2x2-2(x-2),两直线方程联立得:x-2x+2=y1(x2-2)y2(x1+2)=y1(my2+1-2)y2(my1+1+2)=my1y2-y1my1y2+3y2.因为my1y2=-3mm2+4=32(y1+y2),所以x-2x+2=32(y1+y2)-y132(y1+y2)+3y2=12y1+32y232y1+92y2=13,解得x=4,所以动点T的轨迹方程为x=4(y≠0).由椭圆的对称性不妨设T(4,t)(t>0),直线TA,TB的倾斜角为α,β,由图可知β>α,且0