2025届高考数学一轮复习教师用书第九章第六节第2课时直线和双曲线讲义（Word附解析）

第2课时　直线和双曲线【核心考点·分类突破】考点一　直线与双曲线的位置关系[例1](1)(一题多法)直线3x-4y=0与双曲线y29-x216=1的交点个数是 (　　)A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选A.方法一:联立直线3x-4y=0与双曲线y29-x216=1的方程,y29-x216=13x-4y=0,得y29-169y216=1,方程组无解,说明直线与双曲线没有交点.方法二:由y29-x216=0,得3x±4y=0,所以双曲线的渐近线方程为3x±4y=0,因为直线3x-4y=0是双曲线y29-x216=1的一条渐近线,因此交点个数为0.(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值________. 【解析】C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),所以C的渐近线方程为y=±bax,结合渐近线的特点,只需01,所以10),联立解得:(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.①m=0时,-ba0,直线与双曲线相交于2点;Δ=0,m2+b2-a2k2=0,直线与双曲线相切于1点;Δ0),A为双曲线C的左顶点,B为虚轴的上顶点,直线l垂直平分线段AB,若直线l与C存在公共点,则双曲线C的离心率的取值范围是 (　　)A.(2,3) B.(2,+∞)C.(3,+∞) D.(1,2)【解析】选B.依题意,可得A(-a,0),B(0,b),则kAB=b-00+a=ba,又因为直线l垂直平分线段AB,所以kl=-ab,因为直线l与C存在公共点,所以-ab>-ba,即a20,b>0)的一条渐近线为y=bax,即bx-ay=0,则F2(c,0)到直线bx-ay=0的距离为|bc|b2+a2=b,因为以F2为圆心的圆与l相切于点P,所以|PF2|=b=4,因为e=53,即ca=53,则c=53a,又a2+b2=c2,即a2+16=259a2,所以a=3,c=5.在Rt△PF2O中,cos∠PF2F1=bc=45,在△PF2F1中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4,|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2-2|F1F2|·|PF2|·cos∠PF2F1=100+16-2×10×4×45=52,所以|PF1|=213,故A正确;对于B选项,当直线l的斜率为0时,A,B两点分别为双曲线的顶点,则|AB|=2a=6,又因为60,b>0)上一点A(-3,0)作两条渐近线的垂线,垂足分别为D,B,且|AD|·|AB|=32.①求双曲线C的方程.【解析】①双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,双曲线C上一点(x0,y0)到渐近线距离之积为|bx0+ay0|a2+b2·|bx0-ay0|a2+b2=|b2x02-a2y02|c2=a2b2c2,由题知a2=3,a2b2c2=32.因为c2=a2+b2,所以a=b=3,故双曲线C的方程为x23-y23=1.(2)(2024·郑州模拟)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点A(-3,0)作两条渐近线的垂线,垂足分别为D,B,且|AD|·|AB|=32.②已知点P(2,-1),两个不重合的动点M,N在双曲线C上,直线PM,PN分别与y轴交于点E,F,点Q在直线MN上,OE+OF=0且PQ⊥MN,试问是否存在定点T,使得|QT|为定值?若存在,求出点T的坐标和|QT|;若不存在,请说明理由.【解析】②显然直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程得y=kx+m,x2-y2=3,整理得(1-k2)x2-2kmx-m2-3=0,则1-k2≠0,Δ=4(m2+3-3k2)>0,x1+x2=2km1-k2,x1x2=-m2-31-k2,直线PM的方程为y=y1+1x1-2(x-2)-1,令x=0,则y=x1+2y12-x1,得E(0,x1+2y12-x1),同理得F(0,x2+2y22-x2),由OE+OF=0,可得x1+2y12-x1+x2+2y22-x2=0,所以x1+2(kx1+m)2-x1+x2+2(kx2+m)2-x2=0,所以[(2k+1)x1+2m](2-x2)+[(2k+1)x2+2m](2-x1)=(4k+2-2m)(x1+x2)-(4k+2)x1x2+8m=(4k-2m+2)×2km1-k2-(4k+2)×-m2-31-k2+8m=0,整理得m2+(2k+4)m+6k+3=(m+3)(m+2k+1)=0.当m+2k+1=0,即m=-2k-1时,直线MN的方程为y=k(x-2)-1,过点P(2,-1),与PQ⊥MN矛盾,舍去;当m=-3时,直线MN的方程为y=kx-3,恒过点G(0,-3),设PG的中点为T,则T(1,-2),因为PQ⊥MN,所以|QT|=12|PG|=2,为定值.故存在T(1,-2),使|QT|为定值2.【解题技法】双曲线的综合问题(1)当与圆、椭圆有关时,常常结合圆、椭圆的方程或性质,构造函数解决问题;(2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解;(3)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解.【对点训练】(多选题)(2024·玉溪模拟)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x29+y25=1的焦点相同,双曲线E的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于P,Q两点,PF1与y轴相交于点A,△PAF2的内切圆与边AF2相切于点B.若|AB|=1,则下列说法错误的有 (　　)A.双曲线E的离心率为2B.双曲线E的方程为x2-y23=1C.若PF1⊥PF2,则△PAF2的内切圆面积为3π16D.过点(1,1)与双曲线E有且仅有一个交点的直线有3条【解析】选ACD.如图,设PF1,PF2与△PAF2的内切圆分别相切于M,N两点,所以|PM|=|PN|,|AM|=|AB|=1,|F2N|=|F2B|,且|AF1|=|AF2|,因为2a=|PF1|-|PF2|=|PM|+|AM|+|AB|+|F2B|-|PN|-|F2N|=2,可得a=1,双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x29+y25=1的焦点相同,所以c2=b2+a2=9-5=4,可得b2=3,所以双曲线E的离心率为ca=2,故A错误;所以双曲线E的方程为x2-y23=1,故B正确;对于C,若PF1⊥PF2,设|PF2|=m,则|PF1|=m+2,|F1F2|=4,由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2可得(m+2)2+m2=16,解得m=7-1,可得|PA|=|PM|+1,|AF2|=1+|F2B|=1+|F2N|=1+7-1-|PN|=7-|PN|,由|PA|2+|PF2|2=|AF2|2得(|PM|+1)2+(7-1)2=(7-|PN|)2=(7-|PM|)2,解得|PM|=4-73,即内切圆的半径为r=4-73,则△PAF2的内切圆面积为4-732π,故C错误;对于D,当过点(1,1)的直线与x轴垂直时,其方程为x=1,与双曲线方程联立得x2-y23=1x=1,可得y=0,即直线x=1与双曲线E有一个交点;当过点(1,1)的直线与x轴不垂直时,设其方程为y-1=k(x-1),与双曲线方程联立得x2-y23=1y-1=k(x-1),可得(3-k2)x2+(2k2-2k)x+2k-4-k2=0,当k=±3时,此时可得直线y-1=k(x-1)与双曲线E有一个交点;当3-k2≠0即k≠±3时,由(2k2-2k)2-4(3-k2)(2k-4-k2)=0得-24k+48=0,可得k=2,此时直线y-1=k(x-1)与双曲线E有一个交点.综上所述,过点(1,1)与双曲线E有且仅有一个交点的直线有4条,故D错误.