2025届高考数学一轮复习教师用书第八章第一节基本立体图形及几何体的表面积与体积讲义（Word附解析）

第一节　基本立体图形及几何体的表面积与体积【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.多面体的结构特征【微点拨】(1)棱柱概念中的“侧棱平行且相等”要特别关注;(2)棱台概念中的“上下两底相似”要特别关注.2.旋转体的结构特征3.直观图(1)画法:常用斜二测画法.(2)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴、y'轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式【微点拨】(1)S直棱柱侧=ch(c为底面周长,h为高).(2)S正棱锥侧=12ch'(c为底面周长,h'为斜高).(3)S正棱台侧=12(c'+c)h'(c',c分别为上、下底面周长,h'为斜高).(4)圆台、圆柱、圆锥的转化:当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥.S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r')lS圆锥侧=πrl.V圆柱=S底·hV圆台=13h(S上+S下+S上S下)V圆锥=13S底·h.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是(　　)A.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差B.锥体的体积等于底面积与高之积C.已知球O的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则R=32aD.圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS【解析】选AC.台体是由锥体截得,故A正确;锥体的体积等于底面积与高之积的三分之一,故B错误;球的内接正方体的体对角线等于球的直径,故C正确;由题意这个圆柱的侧面积为4πS,故D错误.2.(必修第二册P120T3·变形式)现有一个封闭的棱长为2的正方体容器,当按如图所示水平放置时,水面的高度正好为棱长的一半.若将正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器中水面的最大高度为(　　)A.1 B.2 C.3 D.22【解析】选B.因为正方体的面对角线的长为22,故将正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转的最大高度是22.又因为容器里水的体积正好是容器体积的一半,所以容器里水面的最大高度是面对角线长度的一半,即容器中水面的最大高度为2.3. (必修第二册P119例4·变形式)如图所示,以圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形,则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为________. 【解析】设圆锥的底面半径为r,由题意圆锥的轴截面是一个正三角形,可知圆锥的侧面积为πr·2r=2πr2,圆柱的侧面积为2πr·3r=23πr2,所以圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为23πr22πr2=3.答案:34.(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为________. 【命题意图】本题主要考查台体体积的运算公式,突出考查学生的空间想象能力及运用数学公式、原理解决实际问题的能力.【解析】方法一:由棱台性质可知,上下两个底面边长的相似比为1∶2,故截后棱台的高为3,上底面为边长为2的正方形,下底面为边长为4的正方形,代入棱台体积公式得:V=13×3×(22+42+22×42)=28.方法二:由题意易求正四棱锥高为6,V棱台=V大四棱锥-V小四棱锥=13×4×4×6-13×2×2×3=28.答案:28【核心考点·分类突破】考点一　基本立体图形【考情提示】基本立体图形作为考查空间想象能力的载体,因特殊几何体的概念贯穿于立体几何的考查中,成为高考题热点,涉及相关的概念及性质.角度1 直观图[例1]在平面直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示.已知O为坐标原点,A(22,0),B(22,2),C(0,6).在用斜二测画法画出的它的直观图中,四边形O'A'B'C'的周长为 (　　)A.8 B.10C.5+22 D.6+22【解析】选D.如图,画出直观图,过点A'作A'D⊥O'C',垂足为D.因为O'C'=12OC=3,∠C'O'A'=∠B'A'x'=45°,所以O'C'∥A'B',O'D=A'D=2,C'D=1=A'B',则A'D=B'C'=2,故四边形O'A'B'C'的周长为O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=6+22.角度2 侧面展开图[例2]一个圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3,弧长为2π的扇形,则该圆锥的体积等于(　　)A.423π B.22πC.223π D.23π【解析】选C.设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则2π=2π3l,解得l=3,又2πr=2π,解得r=1,所以圆锥的高为h=l2-r2=22,所以圆锥的体积是V=13×πr2×h=223π.【解题技法】空间几何体结构特征判断技巧(1)说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可;(2)斜二测画法中,平行于x轴、z轴的线段平行性不变,长度不变,平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.(3)在解决空间折线(段)最短问题时,一般考虑其展开图,采用化曲为直的策略.【对点训练】1.如图所示,在四边形OABC中,OA=2,AB=22,BC=3,OA⊥AB且OA∥BC,则四边形OABC水平放置时,用斜二测画法得到的直观图面积为(　 　)A.52 B.5 C.52 D.522【解析】选C.如图所示,O'A'B'C'为OABC的直观图,根据斜二测画法的规则可知O'A'=2,A'B'=2,B'C'=3,A'B'平行于y'轴,所以该图形的面积为S=12×3+2×2×22=52.2.已知圆锥的表面积为12π m2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为(　　)A.62π m3 B.833π m3C.233π m3 D.439 m3【解析】选B.设圆锥的底面半径为r,侧面展开图半圆的半径为R,则2πr=12×2πR,即R=2r.故圆锥的表面积为S=πr2+12πR2=3πr2=12π(m2),解得r=2,圆锥的高为h=R2-r2=23(m).故圆锥的体积为V=13πr2·h=13×4π×23=833π(m3).【加练备选】　　如图,正三棱锥A-BCD中,∠BAD=30°,侧棱AB=2,BD平行于过点C的截面CB1D1,则截面CB1D1与正三棱锥A-BCD侧面交线的周长的最小值为(　　)A.2 B.23 C.4 D.22【解析】选D.把正三棱锥A-BCD的侧面展开,两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值.正三棱锥A-BCD中,∠BAD=30°,所以AC⊥AC',AB=2,所以CC'=22,所以截面周长的最小值是22.考点二　空间几何体的表面积与侧面积[例3](1)如图,位于西安的大雁塔,是我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥,其侧棱与底面所成的角为45°,则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为(　　)A.32 B.22 C.33 D.34【解析】选D.塔顶是正四棱锥P-ABCD,如图,PO是正四棱锥的高,设底面边长为a,则底面积为S1=a2,AO=22a,又因为∠PAO=45°,所以PA=2×22a=a,则△PAB是正三角形,面积为S2=34a2,所以S2S1=34.(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,且a=1,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(　　)A.5π B.π C.113π D.73π【解析】选D.由三棱柱所有棱的长a=1,可知底面为正三角形,底面三角形的外接圆直径2r=1sin60°=233,所以r=33,设外接球的半径为R,则有R2=r2+(a2)2=13+14=712,所以该球的表面积S=4πR2=73π.【解题技法】空间几何体表面积的求解策略1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长、与对应侧面展开图中边的关系.2.多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理.【对点训练】1.如图,已知正方体的棱长为a,沿图1中对角面将它分割成两个部分,拼成如图2的四棱柱,则该四棱柱的表面积为(　　)A.8+22a2 B.2+42a2C.4+22a2 D.6-42a2【解析】选C.由题意,拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面,减少了原来两个正方形面,由于截面为矩形,长为2a,宽为a,所以面积为2a2,所以拼成的几何体的表面积为4a2+22a2=(4+22)a2.2.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为16,当细沙全部在上面的圆锥内时,其高度为圆锥高度的12(中间衔接的细管长度忽略不计).当细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此沙堆的侧面积为(　　)A.45π B. 85πC. 3217π D. 1617π【解析】选D.细沙在上部圆锥内时的体积V=13×π×42×8=128π3,漏入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8,设高为h1,则13×π×82·h1=128π3,所以h1=2,下部圆锥形沙堆的母线长l=82+22=217,故此沙堆的侧面积S侧=π×8×217=1617π.考点三　空间几何体的体积[例4](1)六氟化硫,化学式为SF6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电气工业方面具有广泛的用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(每个面都是正三角形的八面体),如图所示,硫原子位于正八面体的中心,6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子之间的距离为233,则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是(氟原子的大小可以忽略不计)(　　)A.423 B.823 C.42 D.82【解析】选D.如图,连接AC,BD,设AC,BD交于点O,连接OE,因为AE=CE,BE=DE,O为AC的中点,也是BD的中点,所以OE⊥AC,OE⊥BD,因为AC∩BD=O,AC,BD⊂平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD,令相邻两个氟原子之间的距离为2a,则2a=233,a=33,因为AB=BC=AE=2a,所以AC=22a,因为四边形ABCD为正方形,所以AO=12AC=2a,所以OE=AE2-AO2=2a,所以该正八面体的体积是13×2a2×2a×2=823a3=823×333=82.(2)某种药物呈胶囊形状,该胶囊中间部分为圆柱,左右两端均为半径为1的半球.已知该胶囊的表面积为10π,则它的体积为(　　)A.356π B.103π C.133π D.163π【解析】选C.设圆柱的高为h,所以4π·12+2π·1·h=10π,所以h=3;所以V=43π·13+π·12·3=13π3.(3)某校高一年级学生进行创客活动,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD-EFGH后所得的几何体,其中AB=2EF=2BF,AB=BC=6cm,AA1=4cm,为增强其观赏性和耐用性,现对该模型表面镀上一层金属膜,每平方厘米需要金属膜2mg,不考虑损耗,所需金属膜的质量为________mg. 【解析】由题意,长方体侧面4个面的面积和为4×4×6=96(cm2),底面积为6×6=36(cm2),正方形EFGH的面积为3×3=9(cm2).因为梯形ABFE的高为BF2-122AB-EF2=332(cm),故正四棱台的侧面积为4×123+6×332=273(cm2),故该模型的表面积为96+36+9+273=141+273cm2,故所需金属膜的质量为2×141+273=282+543mg.答案:282+543【解题技法】求空间几何体体积的常用方法【对点训练】1.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(7≈2.65)(　　)A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3【解析】选C.由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m),所以该棱台的体积V=13×9×(140+140×180+180)×106=60×(16+37)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3).2.如图,棱锥、棱柱、棱台的底面积和高均分别相等,为s,h,棱台上底面的面积为s2,现将装满水的棱锥、棱柱、棱台中的水分别倒入底面积为s的圆柱里,对应的水面高分别记为h1,h2,h3,则 (　　)A.h1