2025届高考数学一轮复习教师用书第八章第五节空间向量的运算及其坐标表示讲义（Word附解析）

第五节　空间向量的运算及其坐标表示【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.空间向量有关概念(1)单位向量:模为1的向量.(2)共线向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.(3)共面向量:平行于同一个平面的向量.【微点拨】(1)零向量与任意向量平行;(2)空间中任意两个向量是共面向量,任意三个向量不一定是共面向量.2.空间向量有关定理(1)共线向量定理:对空间中任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.a,b,c叫做空间的一个基底.3.空间向量有关运算设a=a1,a2,a3,b=(b1,b2,b3),(1)坐标运算:则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R.(2)数量积运算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|cos.【微点拨】向量a在向量b方向上的投影向量:acos·bb=a·bb2·b.4.空间向量有关公式(1)空间两点间距离公式已知P1x1,y1,z1,P2x2,y2,z2,则P1P2=x2-x12+y2-y12+z2-z12.(2)空间两点的中点公式设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则x=x1+x22y=y1+y22z=z1+z22.(3)空间向量共线与垂直公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.a∥b⇔a=λb⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).(4)空间向量模与夹角公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则|a|=a·a=x12+y12+z12;cosa,b=a·b|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是(　　)A.若A,B,C,D是空间任意四点,则AB+BC+CD+DA=0B.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件C.空间中任意两非零向量a,b共面D.对于空间非零向量a,b,若a·b