2025届高考数学一轮复习教师用书第八章第七节利用空间向量研究距离问题讲义（Word附解析）

第七节　利用空间向量研究距离问题【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.两点距即求空间中两个点连线的线段长,转化为向量的模求解.2.点到直线的距离设A是直线l上的定点,P是直线l外一点,若u是直线l的单位方向向量,AQ是AP在l上的投影向量,设AP=a,则点P到直线l的距离PQ=|AP|2-|AQ|2=a2-(a·u)2.【微点拨】已知向量a,直线l的单位方向向量为e,则向量a在e方向上的投影向量为acos·e,即aa·eae·e=a·ee·e,故其模为a·e.3.点到平面的距离公式如图,点P为平面α外一点,点A为平面α内的定点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度,则PQ=|AP·n|n||=|AP·n|n||=|AP·n||n|.4.异面直线间的距离(1)定义:两条异面直线间的公垂线段的长即为异面直线间的距离.(2)求解公式:如图,设两条异面直线a,b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a,b上任取A,B两点,则向量AB在n上的正射影长就是两条异面直线a,b的距离.则d=|AB·n|n||=|AB·n||n|.即两异面直线间的距离,等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是(　　)A.点到平面的距离是该点与平面上点距离的最小值B.点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线长度的最小值C.直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等D.直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α【解析】选ABC.由距离的最小性可知AB正确;C中直线l上任意点到平面α的距离相等,正确;D中直线l可能与平面α相交.2.(选择性必修一P34例6·变形式)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　)A.2 B.2 C.22 D.322【解析】选A.由正方体性质可知,A1A∥平面B1D1DB,A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面B1D1DB的距离,连接A1C1,交B1D1于O1(图略),A1O1的长即为所求,由题意可得A1O1=12A1C1=2.3.(选择性必修一P35练习2·变形式)直线l的方向向量为m=(1,0,-1),且l过点A(1,1,1),则点P(-1,2,1)到l的距离为(　　)A.2 B.3 C.6 D.22【解析】选B.直线l的方向向量为m=(1,0,-1),且l过点A(1,1,1),又点P(-1,2,1),则AP=(-2,1,0),则|AP|=5,又因为AP·mm=|-2×1+1×0+0×(-1)|2=2,所以点P(-1,2,1)到l的距离为(5)2-(2)2=3.4.(不能正确使用公式)若两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则两平面间的距离是________. 【解析】依题意,平行平面α,β间的距离即为点O到平面β的距离,而OA=(2,1,1),所以平行平面α,β间的距离d=|n·OA||n|=|-1×2+0×1+1×1|(-1)2+02+12=12=22.答案:22【巧记结论·速算】1.空间中的距离都是指两个点集的元素之间距离的最小值.2.平行线间的距离可以转化为点到直线的距离.3.平面的平行线到平面的距离以及两平行平面间的距离都可以转化为点到平面的距离.【即时练】　如图正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2.动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是(　　)A.13 B.23C.1 D.43【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,2),由题意可知,线段PQ长度的最小值为异面直线C1D与AC的公垂线的长度,则AC=(-1,1,0),DC1=(0,1,2),DA=(1,0,0),设向量n=(x,y,z),满足n⊥AC,n⊥DC1,则n·AC=-x+y=0n·DC1=y+2z=0,解得x=yz=-y2,令y=2,则x=2,z=-1,即n=(2,2,-1),故|PQ|min=|DA·n|n=23.【核心考点·分类突破】考点一　点线距及其应用[例1](1)空间中有三点P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),则点P到直线MN的距离为(　　)A.22 B.23 C.3 D.25【解析】选A.因为MN=(1,1,1),所以MN的一个单位方向向量为u=33(1,1,1).因为PM=(1,-1,3),故|PM|=12+(-1)2+32=11,PM·u=33×(1-1+3)=3,所以点P到直线MN的距离为PM2-(PM·u)2=11-3=22.(2)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,已知E为CC'上一点,且2CE=EC',在平面CDD'C'内作EF∥A'B,交C'D'于点F,则直线EF与A'B之间的距离为__________. 【解析】以A为坐标原点,AB,AD,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A'(0,0,1),B(1,0,0),E(1,1,13),直线EF与A'B之间的距离等于E到直线A'B的距离,BA'=(-1,0,1),BE=(0,1,13),BA'·BE=13,|BA'|=2,|BE|=1+19=103,cos∈[0,π],所以sin=103×9510=386.答案:386【解题技法】向量法求点到直线的距离的方法方法一:(1)求直线的方向向量.(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.(3)利用勾股定理求解.方法二:在直线上设出垂线段的垂足的坐标,利用共线和垂直求出垂足坐标,再求向量的模.方法三:(1)求直线的方向向量;(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量与直线的方向向量夹角的余弦值,进而求出正弦值;(3)求出所求点与直线上某一点所构成的向量的模,再乘以夹角的正弦值即为所求.提醒:平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解.【对点训练】　如图,ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若P在正方体内部且满足AP=35AB+12AD+23AE,则P到直线AB的距离为(　　)A.34 B.45 C.56 D.35【解析】选C.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1),所以AB=(1,0,0),AD=(0,1,0),AE=(0,0,1),则AP=35(1,0,0)+12(0,1,0)+23(0,0,1)=(35,12,23),因为AB=(1,0,0),所以AP在AB上的投影向量的长度为AP·ABAB=35,所以点P到AB的距离|AP|2-(35) 2=56.考点二　点面距及其应用[例2]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.(1)求证:AD⊥PB;(2)(一题多法)求点A到平面PBC的距离.【解析】(1)取AD的中点O,连接OP,OB,BD,(图略)因为底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,所以AD=AB=BD.因为O为AD的中点,所以BO⊥AD.在△PAD中,PA=PD,O为AD的中点,所以PO⊥AD.因为BO∩PO=O,所以AD⊥平面POB.因为PB⊂平面POB,所以AD⊥PB.(2)方法一:由题意及(1)易知OP=1,BO=3,PB=2,所以OP2+BO2=PB2,所以OP⊥OB,所以OP,OA,OB两两垂直,如图建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-2,3,0),P(0,0,1),所以AP=(-1,0,1),PB=(0,3,-1),PC=(-2,3,-1),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则n·PB=3y-z=0n·PC=-2x+3y-z=0,所以x=0z=3y,不妨取y=1,则n=(0,1,3),所以点A到平面PBC的距离d=|AP·n||n|=32.方法二:因为PA=PD,∠APD=90°,所以PO=12AD=1,由题意及(1)知PB=2,又AD⊥PB,BC∥AD,所以BC⊥PB,记A到平面PBC的距离为h,S△PBC=12×2×2=2,则由VA-PBC=VP-ABC得23h=13×12×2×2sin 120°×1,所以h=32,即A到平面PBC的距离为32.【解题技法】求点面距的步骤(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.(3)求向量:求出相关向量的坐标(AP,α内两不共线向量,平面α的法向量n).(4)求距离d=|AP·n||n|.提醒:求线面距、面面距可转化为点面距求解.【对点训练】1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,BC=12AB=12AA1=2,BC1=23,M为线段AB上的动点.(1)证明:BC1⊥CM;(2)若E为A1C1的中点,求点A1到平面BCE的距离.【解析】(1)因为AB⊥平面BB1C1C,C1B⊂平面BB1C1C,所以AB⊥C1B,在△BCC1中,BC=2,BC1=23,CC1=AA1=4,所以BC2+BC12=CC12,所以CB⊥C1B.因为AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,所以C1B⊥平面ABC.又因为CM⊂平面ABC,所以C1B⊥CM.(2)由(1)知,AB⊥C1B,BC⊥C1B,AB⊥BC,以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.则B(0,0,0),C(2,0,0),C1(0,23,0),A1(-2,23,4),E(-1,23,2),BC=(2,0,0), BE=(-1,23,2),设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则n·BC=0n·BE=0,即2x=0-x+23y+2z=0,令y=3,则n=(0,3,-3).又因为A1C=(4,-23,-4),故点A1到平面BCE的距离d=|0×4+(-23)×3+(-4)×(-3)|23=3.2.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分别是OA,BC,AD的中点.求:(1)直线MN与平面OCD的距离;(2)平面MNR与平面OCD的距离.【解析】(1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,所以OA⊥AD,OA⊥AB,AB⊥AD,以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),因为M,R分别为OA,AD的中点,则MR∥OD,因为MR⊄平面OCD,OD⊂平面OCD,所以MR∥平面OCD,因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN∥RD且CN=RD,所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD,因为RN⊄平面OCD,CD⊂平面OCD,所以RN∥平面OCD,因为MR∩RN=R,MR,RN⊂平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,因为MN⊂平面MNR,所以MN∥平面OCD,设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),DC=(2,0,0),DO=(0,-2,2),则n·DC=2x=0n·DO=-2y+2z=0,取y=1,可得n=(0,1,1),NC=(0,1,0),所以,直线MN与平面OCD的距离为d1=|NC·n||n|=12=22.(2)由(1)知平面MNR∥平面OCD,则平面MNR与平面OCD的距离为d2=|NC·n||n|=12=22.【加练备选】　　 如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点,直线AC到平面PEF的距离为________. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,12,0),F(12,1,0),PE=(1,12,-1),PF=(12,1,-1),AP=(-1,0,1),设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),则n·PE=0n·PF=0,即x+12y-z=012x+y-z=0,解得x=y,令x=y=2,得n=(2,2,3),因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又EF⊂平面PEF,AC⊄平面PEF,所以AC∥平面PEF,所以直线AC到平面PEF的距离为AP·nn=117=1717.答案: 1717考点三　异面直线之间的距离[例3](1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,则异面直线AC与BC1之间的距离是(　　)A.55 B.77 C.66 D.67【解析】选D.以D为原点建立空间直角坐标系如图所示,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),C1(0,1,3),所以CA=(2,-1,0),BC1=(-2,0,3),设CA和BC1的公垂线的方向向量为n=(x,y,z),则有n·CA=0n·BC1=0,即2x-y=0-2x+3z=0,不妨取x=3,所以n=(3,6,2),又AB=(0,1,0),所以异面直线AC与BC1之间的距离d=AB·nn=632+62+22=67.(2)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE之间的距离是(　　)A.13 B.2121C.23 D.22121【解析】选D.如图,连接AD1,由长方体的结构特征可知,AB∥C1D1,AB=C1D1,则四边形ABC1D1为平行四边形,得BC1∥AD1,因为AD1⊂平面AD1E,BC1⊄平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E,则异面直线BC1与AE之间的距离即为BC1到平面AD1E的距离,也就是B点到平面AD1E的距离,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),B(1,2,0),AD1=(-1,0,2),AE=(-1,2,1),AB=(0,2,0),设平面AD1E的一个法向量为n=(x,y,z),则n·AD1=-x+2z=0n·AE=-x+2y+z=0,取z=1,得n=2,12,1,所以B点到平面AD1E的距离d=|n·AB|n=12×24+14+1=1212=22121.【解题技法】求异面直线间的距离的方法(1)异面直线AB与CD间的距离可用以下公式求解d=|AC·n||n|,其中n满足n·AB=0n·CD=0.(2)求公垂线段所在的向量的坐标,进而求出模.(3)求异面直线之间的距离.【对点训练】　在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,DA=3,M为PC中点,则异面直线PA与BM之间的距离为________. 【解析】因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD,因为底面ABCD为矩形,所以AD⊥CD,所以DA,DC,DP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,因为PD=DC=4,DA=3,M为PC中点,所以AP=(-3,0,4),BM=(-3,-2,2),AB=(0,4,0),设PA与BM的公垂线的方向向量为m=(x,y,z),m·AP=-3x+4z=0m·BM=-3x-2y+2z=0,令x=4,m=(4,-3,3),所以异面直线PA与BM之间的距离为|m·AB|m=1234=63417.答案:63417课程标准能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.考情分析考点考法:高考题常以体积为载体,考查空间中点线距、点面距.求空间几何体的体积是高考热点,主要在解答题中体现.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.类型辨析改编易错题号12,34