2025届高考数学一轮复习教师用书第七章第五节数列求和讲义（Word附解析）

第五节　数列求和【核心考点·分类突破】考点一　分组、并项、倒序相加求和[例1](1)数列112,214,318,…的前n项和为Sn= (　　)A.n2-1n B.n(n+1)2+2nC.n(n+1)2-12n+1 D.n2n-1【解析】选C.数列112,214,318,…的前n项和为Sn=(1+2+3+…+n)+(12+14+18+…+12n)=n(n+1)2+12(1-12n)1-12=n(n+1)2-12n+1.(2)设f(x)=x21+x2,则f(12 024)+f(12 023)+…+f(1)+f(2)+…+f(2 024)=________. 【解析】因为f(x)=x21+x2,所以f(x)+f(1x)=1.令S=f(12 024)+f(12 023)+…+f(1)+f(2)+…+f(2 024),①则S=f(2 024)+f(2 023)+…+f(1)+f(12)+…+f(12 024),②所以2S=4 047,所以S=4 0472.答案:4 0472(3)(2023·深圳模拟)已知公差为2的等差数列an的前n项和为Sn,且满足S2=a3.①若a1,a3,am成等比数列,求m的值;②设bn=an-2an,求数列bn的前n项和Tn.【解析】①由题意知数列an是公差为2的等差数列,设公差为d,则d=2,又因为S2=a3,所以a1+a2=a3,即2a1+d=a1+2d,得a1=d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n(n∈N*).又因为a1,a3,am成等比数列,即a32=a1am,所以36=2×2m ,得m=9 .②因为bn=an-2an=2n-4n,所以 Tn=(2×1-41)+(2×2-42)+…+(2×n-4n) =2×(1+2+…+n)-(41+42+…+4n) =2×n(n+1)2-4×(1-4n)1-4 =n(n+1)-43×(4n-1) =n2+n+43-4n+13.【解题技法】　分组转化与并项求和法(1)数列的项可以拆分成两类特殊数列,分别对这两类数列求和,再合并后即为原来的数列的前n项和;(2)数列的项具有一定的周期性,相邻两项或多项的和是一个有规律的常数,可以将数列分成若干组求和.【对点训练】1.已知数列an的通项公式为an=ncos(n-1)π,Sn为数列的前n项和,则S2 023=(　　)A.1 009 B.1 010 C.1 011 D.1 012【解题提示】将an=ncos(n-1)π化为an=n×-1n-1,利用并项法求和.【解析】选D.因为当n为奇数时cos(n-1)π=1,当n为偶数时cos(n-1)π=-1,所以cos(n-1)π=-1n-1,所以an=ncos(n-1)π=n×-1n-1.S2 023=(1-2)+(3-4)+…+(2 021-2 022)+2 023=-1 011+2 023=1 012.2.设f(x)=4x4x+2,若S=f(12 024)+f(22 024)+…+f(2 0232 024),则S=________. 【解析】因为f(x)=4x4x+2,所以f(1-x)=41-x41-x+2=22+4x,所以f(x)+f(1-x)=4x4x+2+22+4x=1.S=f(12 024)+f(22 024)+…+f(2 0232 024),①S=f(2 0232 024)+f(2 0222 024)+…+f(12 024),②①+②,得2S=[f(12 024)+f(2 0232 024)]+ [f(22 024)+f(2 0222 024) ]+…+[f(2 0232 024)+f(12 024) ]=2 023,所以S=2 0232.答案:2 02323.已知an是公差d≠0的等差数列,其中a2,a6,a22成等比数列,13是a4和a6的等差中项;数列bn是公比q为正数的等比数列,且b3=a2,b5=a6.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)令cn=an+bn,求数列cn的前n项和Tn.【解析】(1)因为a2,a6,a22成等比数列,所以a62=a2a22,即(a1+5d)2=(a1+d)(a1+21d)①.因为13是a4和a6的等差中项,所以a4+a6=26,即(a1+3d)+(a1+5d)=26 ②,由①②可得:a1=1,d=3,所以an=1+(n-1)×3=3n-2,从而b3=a2=4,b5=a6=16.因为数列bn是公比q为正数的等比数列,所以b5=b3q2,即16=4q2,所以q=2,从而bn=b3qn-3=2n-1.(2)由于bn=2n-1,所以b1=1.因为cn=an+bn,所以Tn=c1+c2+…+cn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn) =(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=n+n(n-1)2×3+1-2n1-2 =2n+32n2-12n-1.考点二　裂项相消法求和[例2](1)已知函数f (x)=xa的图象过点(4,2),令an=1f(n+1)+f(n),n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 025=________. 【解析】由f (4)=2可得4a=2,解得a=12,则f (x)=x12,所以an=1f(n+1)+f(n)=1n+1+n=n+1-n,S2 025=a1+a2+a3+…+a2 025=(2-1)+(3-2)+(4-3)+…+(2 025-2 024)+(2 026-2 025)=2 026-1.答案:2 026-1(2)已知数列an的各项均为正数,Sn是其前n项的和.若Sn>1,且6Sn=an2+3an+2(n∈N*).①求数列an的通项公式;②设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和Tn.【解析】①因为6Sn=an2+3an+2,(i)n=1时,6S1=6a1=a12+3a1+2,即a12-3a1+2=0,解得a1=2或a1=1,因为Sn>1,所以a1=2;(ii)n≥2时,由6Sn=an2+3an+2,有6Sn-1=an-12+3an-1+2,两式相减得6(Sn-Sn-1)=an2-an-12+3an-3an-1,所以6an=an2-an-12+3an-3an-1,所以an2-an-12-3an-3an-1=0,所以(an+an-1)(an-an-1)-3(an+an-1)=0,所以(an+an-1)(an-an-1-3)=0.因为数列an的各项均为正数,所以an+an-1≠0,所以an-an-1-3=0,即an-an-1=3,综上所述,an是首项a1=2,公差d=3的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1,所以数列an的通项公式为an=3n-1.②由①知an=3n-1,所以an+1=3(n+1)-1=3n+2,所以bn=1anan+1=1(3n-1)(3n+2)=13×(3n+2)-(3n-1)(3n-1)(3n+2)=13×(13n-1-13n+2),所以Tn=13×(12-15)+13×(15-18)+13×(18-111)+…+13×(13n-1-13n+2)=13×(12-15+15-18+18-111+…+13n-1-13n+2)=13×(12-13n+2)=13×3n+2-22(3n+2)=n6n+4,所以数列bn的前n项和Tn=n6n+4.【解题技法】破解裂项相消求和的关键点(1)定通项:根据已知条件求出数列的通项公式.(2)巧裂项:根据通项公式的特征进行准确裂项,把数列的每一项,表示为两项之差的形式.(3)消项求和:通过累加抵消掉中间的项,达到消项的目的,准确求和.(4)常见的裂项结论:①设等差数列an的各项不为零,公差为d(d≠0),则1anan+1=1d(1an-1an+1);②14n2-1=12(12n-1-12n+1);③1n(n+1)(n+2)=12(n+1)(1n-1n+2)=12[1n(n+1)-1(n+1)(n+2)];④n24n2-1=14(4n2-1)+144n2-1=14+18(12n-1-12n+1);⑤an=2n(2n+b)(2n+1+b)=12n+b-12n+1+b;⑥an=n+1n2(n+2)2=14[1n2-1(n+2)2].提醒:要注意正负相消时,可以通过写出前几项观察消去规律的方法,确定消去了哪些项,保留了哪些项,不可漏写未被消去的项.【对点训练】1.{an}是等比数列,a2=12,a5=116,bn=an+1(an+1)(an+1+1),则数列{bn}的前n项和为(　　)A.2n-12(2n+1) B.2n-12n+1C.12n+1 D.2n-12n+2【解析】选A.a5=a2·q3,所以q3=18,所以q=12,a1=1,所以an=(12)n-1.bn=(12) n[(12) n-1+1][(12) n+1]=1(12) n+1-1(12) n-1+1,所以b1+b2+b3+…+bn=[1(12) 1+1-1(12) 0+1]+[1(12) 2+1-1(12) 1+1]+[1(12) 3+1-1(12) 2+1]+…+[1(12) n+1-1(12) n-1+1]=1(12) n+1-12=2n-12(2n+1).2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a2=8,Sn=an+12-n-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列2×3nanan+1的前n项和Tn.【解析】(1)因为a2=8,Sn=an+12-n-1,所以a1=S1=a22-2=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+12-n-1-(an2-n),即an+1=3an+2.又a2=8=3a1+2,所以an+1=3an+2,n∈N*,所以an+1+1=3(an+1),所以数列{an+1}是等比数列,且首项为a1+1=3,公比为3,所以an+1=3×3n-1=3n,所以an=3n-1.(2)因为2×3nanan+1=2×3n(3n-1)(3n+1-1)=13n-1-13n+1-1,所以数列2×3nanan+1的前n项和Tn=(13-1-132-1)+(132-1-133-1)+…+(13n-1-13n+1-1)=12-13n+1-1.考点三　错位相减法求和[例3]已知数列an中,a1=8,且满足an+1=5an-2·3n.(1)证明:数列an-3n为等比数列,并求数列an的通项公式;(2)若bn=n(an-3n),求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)因为an+1=5an-2·3n,所以an+1-3n+1=5an-5·3n=5(an-3n),所以数列an-3n是以a1-31=5为首项,以5为公比的等比数列,所以an-3n=5×5n-1=5n,所以an=3n+5n.(2)因为an=3n+5n,所以bn=n(an-3n)=n×5n,所以Sn=b1+b2+b3+…+bn,即Sn=1×51+2×52+3×53+…+n×5n①,所以5Sn=1×52+2×53+3×54+…+n×5n+1②,由①-②得:-4Sn=1×51+1×52+1×53+…+1×5n-n×5n+1,-4Sn=5(1-5n)1-5-n×5n+1,化简得:Sn=5+(4n-1)×5n+116.【解题技法】错位相减法求和的解题策略(1)巧分拆,即将数列的通项公式分拆为等差数列与等比数列积的形式,并求出公差和公比.(2)构差式,即写出Sn的表达式,再乘公比或除以公比,然后将两式相减.(3)后求和,根据差式的特征准确进行求和.提醒:错位相减法求和的注意点①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=1,应用公式Sn=na1.【对点训练】　已知数列an的前n项和为Sn=3n2+8n-6,bn是等差数列,且an=bn+bn+1(n≥2).(1)求数列an和bn的通项公式;(2)令cn=bn·2n+2n+1,求数列cn的前n项和Tn.【解析】(1)Sn=3n2+8n-6,所以n≥2时,Sn-1=3(n-1)2+8(n-1)-6,所以an=Sn-Sn-1=6n+5.n=1时,a1=S1=5,不满足an=6n+5,所以an=5(n=1)6n+5(n≥2);设bn的公差为d,an=bn+bn+1(n≥2),所以an-1=bn-1+bn(n≥3),所以an-an-1=bn+1-bn-1,所以2d=6,所以d=3.因为a2=b2+b3,所以17=2b2+3,所以b2=7⇒b1=4,所以bn=3n+1;(2)cn=3(n+1)2n,所以Tn=32×2+3×22+…+(n+1)2n①,所以2Tn=32×22+3×23+…+(n+1)2n+1②,①-②得,-Tn=3[2×2+22+23+…+2n-(n+1)2n+1]=6+32(1-2n)1-2-(n+1)2n+1=-3n·2n+1,所以Tn=3n·2n+1,所以数列cn的前n项和Tn=3n·2n+1.课程标准1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.考情分析考点考法:高考命题常以等差、等比数列为载体,考查裂项相消、错位相减求和等数列求和方法,涉及奇偶项的求和问题是高考的热点,常以解答题的形式出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.