2025届高考数学一轮复习教师用书第九章第五节第2课时椭圆的几何性质讲义（Word附解析）

第2课时　椭圆的几何性质【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】椭圆的几何性质【微点拨】(1)椭圆焦点位置与x2,y2的系数有关.(2)离心率表示椭圆的扁平程度,e越接近0,椭圆越接近于圆;e越接近1,椭圆越扁平.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 (　　)A.椭圆的顶点坐标,长轴长,短轴长,离心率都与焦点所在的坐标轴有关B.椭圆的焦点一定在长轴上C.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中的参数ba不能刻画椭圆的扁平程度,而ca能刻画椭圆的扁平程度D.椭圆x24+y23=1比椭圆x216+y215=1更扁一些【解析】选BD.椭圆的长轴长,短轴长,离心率都与焦点所在的坐标轴无关,故A错误;椭圆的焦点一定在长轴上,故B正确;椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中的参数ba,ca均能刻画椭圆的扁平程度,故C错误;椭圆x24+y23=1的离心率为12,椭圆x216+y215=1的离心率为14.所以椭圆x24+y23=1比椭圆x216+y215=1更扁一些.故D正确.2.(选择性必修第一册P112练习T4变形式)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1,-32b),且C的离心率为12,则C的方程是 (　　)A.x24+y23=1　 B.x28+y26=1C.x24+y22=1　 D.x28+y24=1【解析】选A.由题可知,1a2+3b24b2=1ca=1-b2a2=12,解得a2=4b2=3,所以椭圆的方程为x24+y23=1.3.(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a= (　　)A.233 B.2 C.3 D.6【解析】选A.由e2=3e1,得e22=3e12,即4-14=3×a2-1a2,解得a=233.4.(椭圆的相关概念不清致误)若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m的值为________,焦点坐标为________. 【解析】设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,由题意可得:2a=2×2b,则a2=4b2,因为椭圆方程为x2+my2=1,即x2+y21m=1,且焦点在y轴上,则a2=1m,b2=1,可得a2=1m=4,解得m=14,所以c=a2-b2=3,即焦点坐标为(0,±3).答案:14　(0,±3)【巧记结论·速算】1.设P为椭圆上不同于长轴两端点的点,F1,F2为椭圆的两个焦点,则①b≤|OP|b>0)上的任意一点,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的左、右焦点,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,其中e=ca.6.椭圆系方程:①与x2a2+y2b2=1共焦点的椭圆系为x2a2-k+y2b2-k=1(k0).【即时练】1.已知椭圆的标准方程为x2100+y264=1,则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离|OP|的取值范围为 (　　)A.[6,10] 　 B.[6,8]　 C.[8,10] 　 D.[16,20]【解析】选C.方法一:设点P(x0,y0),则|OP|=x02+y02.由椭圆的范围,知|x0|≤a=10,|y0|≤b=8.因为点P在椭圆上,所以x02100+y0264=1,则y02=64-1625x02,所以|OP|=925x02+64.因为0≤x02≤100,所以64≤925x02+64≤100,即8≤|OP|≤10.方法二:设x0=10cos θ,y0=8sin θ,θ∈[0,2π),则|OP|=x02+y02=100cos2θ+64sin2θ=64+36cos2θ,因为cos2θ∈0,1,所以8≤|OP|≤10.2.若椭圆C:x2m+y29=1(m>9)比椭圆D:x26+y23=1更扁,则C的长轴长的取值范围是 (　　)A.(6,62)　 B.(18,36)C.(62,+∞)　 D.(36,+∞)【解析】选C.椭圆C的离心率e1=m-9m,椭圆D的离心率e2=6-36=22,因为椭圆C比椭圆D更扁,所以e1>e2,即m-9m>22,解得m>18,则2m>62,所以椭圆C的长轴长的取值范围是(62,+∞).3.(一题多法)过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________. 【解析】方法一:(待定系数法)设所求椭圆方程为y225-k+x29-k=1(kb>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,若以F1F2为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P,且△OPF2是等边三角形,则椭圆E的离心率为 (　　)A.12　 B.3-12　 C.2-3　 D.3-1【解析】选D.由题意知∠F1PF2=90°,O为F1F2的中点,故|OP|=12|F1F2|=c,△OPF2是等边三角形,即有|PF2|=c,∠PF2F1=60°,所以|PF1|=3c,又P在椭圆上,故|PF1|+|PF2|=2a,即3c+c=2a,所以ca=23+1=3-1,即椭圆E的离心率为3-1.(2)(2024·成都模拟)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 (　　)A. (0,22)　 B. (0,12]　 C.(0,1)　 D.[22,1)【解析】选A.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为 MF1·MF2=0⇒MF1⊥MF2,所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆,又M点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即c