2025届高考数学一轮复习教师用书第四章第二节导数与函数的单调性讲义（Word附解析）

第二节　导数与函数的单调性【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的单调性与导数的关系2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步,确定函数的定义域;第2步,求出导数f'(x)的零点;第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是(　　)A.若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0B.若函数y=f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,则y=f(x)在(a,b)上一定单调递增C.若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增D.如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性【解析】选ABC.2.(选修二P97T2·变形式)函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是(-∞,-2),(23,+∞). 【解析】由f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)>0,得x23,故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(23,+∞).3.(2022·浙江高考节选)设函数f(x)=e2x+ln x(x>0).则f(x)的单调递减区间为(0,e2),单调递增区间为(e2,+∞). 【解析】f'(x)=-e2x2+1x=2x-e2x2,当00.故f(x)的单调递减区间为(0,e2),单调递增区间为(e2,+∞).4.(单调性与充要条件的关系把握不准)若函数f(x)=sin x+kx在(0,π)上单调递增,则实数k的取值范围为[1,+∞). 【解析】因为f'(x)=cos x+k≥0,所以k≥-cos x,x∈(0,π)恒成立.当x∈(0,π)时,-112a或0b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b【解析】选C.易知f'(x)=ex+x2-xxex=ex+(x-12) 2-14xex,又x∈(0,+∞)时,ex>1, (x-12)2-14≥-14,所以f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(73)>f(2)>f(32),即c>b>a.(2)(2023·衡阳模拟)已知函数f(x)=x2-cos x,则f(35),f(0),f(-12)的大小关系为f(0)2,所以不等式f(x)>2x3+2x的解集为{x|x>2}.(2)已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)>1的解集为(32,+∞). 【解析】f(x)=ex-e-x-2x+1,定义域为R,f'(x)=ex+e-x-2≥2ex·e-x-2=0,当且仅当x=0时取“=”,所以f(x)在R上单调递增,又f(0)=1,所以原不等式可化为f(2x-3)>f(0),即2x-3>0,解得x>32,所以原不等式的解集为(32,+∞).角度3 根据函数的单调性求参数的范围[例5](1)金榜原创·易错对对碰已知g(x)=2x+ln x-ax.①若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增,则实数a的取值范围为[-3,+∞). ②若函数g(x)在区间[1,2]上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为(-10,+∞). 【解析】①g'(x)=2+1x+ax2(x>0).所以g'(x)≥0在[1,2]上恒成立,即2+1x+ax2≥0在[1,2]上恒成立,所以a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立,所以a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2],(-2x2-x)max=-3,所以a≥-3.所以实数a的取值范围是[-3,+∞).②g(x)在[1,2]上存在单调递增区间,则g'(x)>0在[1,2]上有解,即a>-2x2-x在[1,2]上有解,所以a>(-2x2-x)min,又(-2x2-x)min=-10,所以a>-10,所以实数a的取值范围是(-10,+∞).(2)(2023·全国乙卷)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是[5-12,1). 【解析】由函数的解析式可得f'(x)=axln a+(1+a)xln (1+a)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,则(1+a)xln (1+a)≥-axln a,即1+aax≥-lnaln(1+a)在区间(0,+∞)上恒成立,故1+aa0=1≥-lnaln(1+a),而a+1∈(1,2),故ln (1+a)>0,故ln(a+1)≥-lna0