2025届高考数学一轮复习教师用书第四章第四节第1课时利用导数研究恒(能)成立问题讲义（Word附解析）

第四节　导数的综合应用第1课时　利用导数研究恒(能)成立问题　【命题分析】恒(能)成立问题与有解问题是高考数学的重要知识,其中不等式恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇,综合考查学生分析问题、解决问题的能力,一般作为压轴题出现.【核心考点·分类突破】题型一　分离参数求参数范围[例1]已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若对任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g'(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=xln x,所以f'(x)=ln x+1.令f'(x)0,所以a≥ln x-32x-12x在(0,+∞)上恒成立.设h(x)=ln x-32x-12x(x>0),则h'(x)=1x-32+12x2=-(x-1)(3x+1)2x2.令h'(x)=0,得x1=1,x2=-13(舍去).当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表:所以当x=1时,h(x)取得极大值,也是最大值,且h(x)max=h(1)=-2,所以若a≥h(x)在(0,+∞)上恒成立,则a≥h(x)max=-2,即a≥-2,故实数a的取值范围是[-2,+∞).【解题技法】分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量.构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;存在x,a≥f(x)成立⇔a≥f(x)min;存在x,a≤f(x)成立⇔a≤f(x)max.【对点训练】(2023·成都诊断节选)已知函数f(x)=sin x-2ax,a∈R,若关于x的不等式f(x)≤cos x-1在区间(π2,π)上恒成立,求a的取值范围.【解析】不等式f(x)≤cos x-1在区间(π2,π)上恒成立,即2a≥sinx-cosx+1x在区间(π2,π)上恒成立.设g(x)=sinx-cosx+1x,则g'(x)=xcosx+xsinx-sinx+cosx-1x2.设h(x)=xcos x+xsin x-sin x+cos x-1,则h'(x)=-xsin x+xcos x=x(cos x-sin x).因为当x∈(π2,π)时,sin x>0,cos xh(0)=0,即ex-12x2-x-1>0恒成立,故当x∈(0,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(2,+∞)时,g'(x)0,解得10,得0